大学经典课件之高等数学——10-2第二类曲线积分.pdf

第十章第十章第二节第二节机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束第二类曲线积分第二类曲线积分二、第二类曲线积分的概念与性质一、问题的提出三、第二类曲线积分的计算二、第二类曲线积分的概念与性质一、问题的提出三、第二类曲线积分的计算设定向曲线设定向曲线 L 的参数方程为：的参数方程为：))(()(⎪⎩⎪⎨⎧===tzztyytxxbat→: 表示表示 L 的起点对应 的起点对应 at =，终点对应 ，终点对应 bt = 一、问题的提出一、问题的提出定向曲线与切向量：定向曲线与切向量：定向曲线：带有确定走向的一条曲线定向曲线：带有确定走向的一条曲线机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束规定：规定： 定向曲线上各点处的切向量的方向总与曲线的走向一致定向曲线上各点处的切向量的方向总与曲线的走向一致 其中：当 其中：当 ba >时，取负号 时，取负号 则则L 的切向量为：的切向量为：{ {} })()()(tztytx′ ′′ ′′ ′± ±= =τ τvoxyABL1− −nM iM1− −iM2M1MixΔ ΔiyΔ Δ引例:引例:变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功,:BAL→设曲线→设曲线jyxQiyxPyxFrrr),(),(),(+ += =常力沿直线所作的功常力沿直线所作的功分割分割.),,(,),,(,1111110BMyxMyxMMAnnnn= == =− −− −− −L.ABFW⋅ ⋅= =r解解.)()(1jyixMMiiiirrΔ Δ+ +Δ Δ= =− −机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束“分割, 近似, 求和, 取极限”“分割, 近似, 求和, 取极限”变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功求和求和. ]),(),([1∑ ∑ = =Δ⋅+Δ⋅≈Δ⋅+Δ⋅≈niiiiiiiyQxPηξηξηξηξ取极限取极限. ]),(),([lim10∑ ∑ = =→→Δ⋅+Δ⋅=Δ⋅+Δ⋅=niiiiiiiyQxPWηξηξηξηξ λ λ近似值近似值精确值精确值,),(),(),(jQiPFiiiiiirrrη ηξ ξη ηξ ξη ηξ ξ+ += =取取.),(),(iiiiiiiyQxPWΔ Δ+ +Δ Δ≈ ≈Δ Δη ηξ ξη ηξ ξ即即∑ ∑ = =Δ=Δ=niiWW1oxyABL1− −nM iM1− −iM2M1M),(iiFη ηξ ξrixΔ ΔiyΔ Δ机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束,),(1iiiiiMMFW− −⋅ ⋅≈ ≈Δ Δη ηξ ξr∑ ∑ = =→→ΔΔ⋅=ΔΔ⋅=niiiiiiiyxQP10},{)},(),,({limηξηξηξηξ λ λ近似近似二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念定义：定义： 设 设 L是一条从点 是一条从点 A到点 到点 B的定向光的定向光滑滑（或分段光滑） 曲线， 向量函数（或分段光滑） 曲线， 向量函数)(MFr在 在 L上有定义。

用分点 上有定义用分点 BAAAAn= == =L,,10将 将 L按从 按从 A到 到 B的方向任意分成 的方向任意分成 n个小弧段，记每个小弧段的弧长为个小弧段，记每个小弧段的弧长为isΔ，并记 Δ，并记 iiirAArΔ Δ= =− −1，，), 2 , 1(niL= =，在每个小弧，在每个小弧上上任取一点 任取一点 iM，做数量积： ，做数量积： iirMFrrΔ Δ⋅ ⋅ )(，，), 2 , 1(niL= =， ， 机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束求和：求和：∑ ∑= =Δ⋅Δ⋅niiirMF1)(rr，令 ，令 { {} }0max→→Δ Δ= =iisλ λ，，若若此和式的极限存在（不依赖于曲线的分法和点此和式的极限存在（不依赖于曲线的分法和点iM的取法） ，则称此极限值为向量函数 的取法） ，则称此极限值为向量函数 )(MFr沿曲线 沿曲线 L从 从 A到 到 B的第二类曲线积分（也称对坐标的曲线积分） ，记作 的第二类曲线积分（也称对坐标的曲线积分） ，记作 rdMFrMF Lniiirrrr⋅=Δ⋅⋅=Δ⋅∫∑∫∑ = =→→)()(lim10λ λ其中有向曲线 其中有向曲线 L 称为积分曲线。

称为积分曲线 上式也称为第二类曲线积分的向量形式上式也称为第二类曲线积分的向量形式机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束（1）变力沿定向曲线所做的功：（1）变力沿定向曲线所做的功：rdMFWLrr⋅=⋅=∫ ∫)(说明：说明：（2） 若（2） 若L是封闭曲线， 则沿 是封闭曲线， 则沿 L的指定方向的第二类曲线积分记为 的指定方向的第二类曲线积分记为 rdMF Lrr⋅ ⋅∫ ∫)( 机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束定理（第二类曲线积分存在的充分条件） ： 定理（第二类曲线积分存在的充分条件） ： 设有向曲线设有向曲线BA)分段光滑，向量函数分段光滑，向量函数)(MFr，的，的各各个分量函数在个分量函数在BA)上连续或分段连续，则上连续或分段连续，则)(MFr沿曲线沿曲线BA)从点 从点 A到点 到点 B的第二类曲线积分存在 的第二类曲线积分存在 基本性质基本性质机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束注意：注意：第二类曲线积分第二类曲线积分没有没有第一类曲线积分的第一类曲线积分的对对称称性质及有关不等式的性质性质及有关不等式的性质 以下设有向曲线以下设有向曲线BA)分段光滑，向量函数分段光滑，向量函数)(MFr，，)(MGr的各个分量函数在的各个分量函数在BA)上连续或分段连续 上连续或分段连续 性质1：性质1：[][]rdMGkMFkBArrr )⋅+⋅+∫ ∫)()(21 rdMGkrdMFkBABArrrr ))⋅+⋅=⋅+⋅=∫ ∫∫ ∫)()(21性质2：性质2：rdMFrdMFABBArrrr ))⋅−=⋅⋅−=⋅∫ ∫∫ ∫)()(性质3：性质3：若若BCCABA)))+ += =，则 ，则 rdMFrdMFrdMFBCCABArrrrrr )))⋅+⋅=⋅⋅+⋅=⋅∫ ∫∫ ∫∫ ∫)()()(第二类曲线积分的坐标表示第二类曲线积分的坐标表示设设, ),(kkkyxA, ),(kkkMη ηξ ξ则则},{11− −− −− −− −= =iiiiyyxxiiiAAr1− −= =Δ Δr},{iiyx ΔΔ==ΔΔ==记记∑ ∑ = =Δ⋅Δ⋅∴∴niiirMF1)(rr∑ ∑ = =Δ+Δ=Δ+Δ=niiiiiiiyQxP1]),(),([ηξηξηξηξ机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束（1）若 （1）若 { {} }),(),,(),(yxQyxPyxF= =，，L是平面曲线弧， 是平面曲线弧， 令令的弧长为其中的弧长为其中iiiiiAAss1,0}{max− −Δ Δ→→Δ Δ= =λ λ若上式左端的极限存在，则右端的极限也存在记为若上式左端的极限存在，则右端的极限也存在记为rdyxF Lrr⋅ ⋅∫ ∫),(∫ ∫+=+=LdyyxQdxyxP),(),(上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示。

上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示2）若）若{ {} }),,(),,,(),,,(),,(zyxRzyxQzyxPzyxF= =r机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束L是空间曲线弧，则 是空间曲线弧，则 rdzyxFLrr⋅ ⋅∫ ∫),,(dzzyxRdyzyxQdxzyxPL),,(),,(),,(++=++=∫ ∫上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示上式右端称为第二类曲线积分的坐标表示的参数方程为：设有向曲线弧的参数方程为：设有向曲线弧 L,,,),,(γ γβ βα α处切线向量的方向角为在点处切线向量的方向角为在点zyxLbattzztyytxx→→= == == =:, )(, )(, )(∫ ∫∫ ∫++=++++=++LLdsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(γβαγβα则则处的上点，是有向平面曲线弧若处的上点，是有向平面曲线弧若),(yxLL,,β βα α切线向量的方向角为切线向量的方向角为∫ ∫∫ ∫+=++=+LLdsQPQdyPdx)coscos(βαβα机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束三、两类曲线积分之间的关系三、两类曲线积分之间的关系证明：证明：：的参数方程为设：的参数方程为设Lbattzztyytxx→→= == == =:, )(, )(, )(,)1(ba 若>若,tu− −= =可令可令bau− −→→− −:则则ba− − >22)]([)]([)(costtt ψϕψϕϕ ϕα α′+′′+′′ ′−= −=机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束dsyxPdxyxPLL∫ ∫= =∫ ∫α αcos),(),(dttttPab] )())[(),((∫ ∫′−=′−=ϕψϕϕψϕdttttPba∫ ∫′=′=)())(),((ϕψϕϕψϕ综上所述，不论综上所述，不论ba ，都有>，都有 dttttPdxyxPbaL∫ ∫∫ ∫′=′=)())(),((),(ϕψϕϕψϕ其中，等式右端的定积分的下限其中，等式右端的定积分的下限 a对应于对应于 L的起点，上限的起点，上限 b对应于对应于 L的终点。

的终点 同理可证：同理可证： dttttQdyyxQbaL∫ ∫∫ ∫′=′=)())(),((),(ψψϕψψϕ机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束dttttQtttPdyyxQdxyxPbaL)}()](),([)()](),([{),(),(ψψϕϕψϕψψϕϕψϕ′+′=+′+′=+∫∫∫∫于是于是 机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束注意：注意：a 未必小于未必小于b其中，等式右端的定积分的下限其中，等式右端的定积分的下限 a对应于对应于 L的起点，上限的起点，上限 b对应于对应于 L的终点 特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终点为起点为=，终点为起点为=.)}()](,[)](,[{dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL∫ ∫∫ ∫′+=+则′+=+则.)(:)2(dcyyxxL，终点为起点为 ，终点为起点为= =.]}),([)(]),([{dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL∫ ∫∫ ∫+′=+则+′=+则机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束(3) 若曲线若曲线L的方程为：的方程为： ⎩⎨⎧ =⎩⎨⎧ == =0),,(0),,(zyxGzyxF，则需化成参数方程，再进一步用公式求。

则需化成参数方程，再进一步用公式求 (4) 若曲线若曲线L 的方程为极坐标方程：的方程为极坐标方程：, )(θ θρ ρρ ρ= =β βα αθ θ→→:先化成参数方程：先化成参数方程：,sin)(cos)(⎩⎨⎧ =⎩⎨⎧ == = θθρθθρθ θθ θρ ρ yxβ βα αθ θ→→:然后用公式计算然后用公式计算且存在则曲线积分一阶连续导数为端点的闭区间上具有及以在的参数方程为上连续向曲线弧在空间有设，且存在则曲线积分一阶连续导数为端点的闭区间上具有及以在的参数方程为上连续向曲线弧在空间有设∫ ∫++→===++→===LRdzQdyPdxbatttbattztytxLLzyxRzyxQzyxP,)(, )(, )(,:, )(, )(, )(:,),,(, ),,(, ),,(ωψϕωψϕωψϕωψϕ定理（空间曲线的情形）定理（空间曲线的情形）dtttttRttttQttttPRdzQdyPdxbaL )}()](),(),([)()](),(),([)()](),(),([{ωωψϕψωψϕϕωψϕωωψϕψωψϕϕωψϕ′+′+′=++′+′+′=++∫∫∫∫机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页。