用向量的方法证明平行与垂直关系.docx

用向量的方法证明平行与垂直 关系用向量的方法证明平行与垂直关系知识点一：求平面的法向量 例1.已知平面a经过三点A (1,2,3), B(2,0, — 1), C(3, -2, 0),试求平面a的一个法向量.解：VA(1,2, 3), B(2,0, -1), C(3, 一2, 0),= (1, —2, —4), (L —2, —4),设平面a的法向量为刀=(x, y, z).依题意，应有 n • ab— 0 9 n- AC = 0.x—2y—4z=02x—4y—3z=0令 y=L 则 x=2.・•.平面a的一个法向量为Z2=⑵1, 0).【反思】用待定系数法求平面的法向量，关键是在 平面内找两个不共线向量，列出方程组， 取其中一组解(非零向量)即可.“用向量法”求法向量的解题步骤：(1)设平面的一个法向量为、(“z)；(2)找出(或求出)平面内的两个不共线 的向量的坐标£=(4,4，q)3=a也,，2)； (3)根据法 白面的而会"由方班组®・？=〃•/? = ()练习：，如图所不，已知点A(a,0,0),8(0,A0),C(0,0,c), 求平面 ABC 的一个法向量知识点二：利用向量方法证平行关系(1)线线平行:设直线心"的方向向量分别为八b 9 贝|| /, ///2 o a!/b o a =泥(2)线面平行:①由线面平行的判定定理，只要证明已知直 线的方向向量与平面内的某一向量平行即可；②设直线/的方向向量为，；，平面a的法向量为 // 9 贝= 0 ；③由共面向量定理知，只要证已知直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量表示即可.（3）面面平行：①证明两个平面的法向量平行，即两个平面 的法向量入必；②证明一个平面内两条相交直线的方向向量分别和另一个平面内的两条相交直线的方向向量 平行.例2在正方体A8CD—A画GR中,。

是BR的中点，求证：4c〃面•证方法一 ：*** BiC = ^Df证法二:又 BiC a 面 0D3,〃面 ODG.证法三：如图建系空间直角坐标系D-xyz , 设正方体 的棱长为1,则可得\71X\71±1±*z B!1X(oc1 -2Jo\71X -1亍OC\11F?亍 °J-设平面0D3的法向量为力=(xo, y0,n x OD = 0,nxOCi = 0,1 1-2Xo—2y°-Zo==°1 , 1--xo+-yo=O ②令 x0=L 得 y°=L zo= —1 1).：.n= (1,1,—又 B^c

3)面面垂直：①证明两个平面的法向量垂直，即两个平面的法向量入= 0 9②由面面垂直的判定定理可知：只要证明一 个平面内的一条直线的方向向量和一个平面内的 两条相交直线的方向向量垂直.例3.在正方体A8CO—A画CQ中，£尸分别是棱A8IC的中 点，试在棱期上找一点M,使得"M_L平面石尸片.解：建立空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱 长为 2,则 E（2,1,0）, F（l,2, 0）,工（0,0, 2）, B12, 2, 2）.设M (2, 2, m),贝！| 乔二(-1, 1, 0), 雎二(0, -1, -2),D\MDim = (2, 29 id-2) .V 平面 EFB1,.D^M • EF = 0 且 DdH •雎=0,于是0 故取BE的中点为M就-2-2（m-2）=O,能满足D】MJ_平面EFBx.【反思感悟】证明直线与平面垂直有两种方法：（1）用直线与平面垂直的判定 定理；（2）证明该直线所在向量与平面的法向量平行.练习：1.在正方体A3CD-A画0自中,E是棱5c的中点, 试在棱CG上求一点尸，使得平面Ae P _L# 面 CQEg2.在正三棱柱A8C-4用G中，8c.求证：AC, ±A1B.证明 建立空间直角坐标系c—xyz,设AB=a,C3=b.9 a, (o Bi9 a (o Ba 一2"则,b , G(O,O,O).AC\心 _a2 a， 2VB1C±A1B, •B\C • A\B ^―而祝•埼=%2_14Bt2-y+b2=o,2C(0,0, b), A• • A\C I A\B即 A3JLA1B.课堂小结：1 .用待定系数法求平面法向量的步骤: (1)建立适当的坐标系.⑵设平面的法向量为刀=(x, y, z).⑶求出平面内两个不共线向量的坐标(a】，bif Ci) f b=, (a2, bz, C2)・(4)根据法向量定义建立方程组a • n=0b ，n=。

°(5)解方程组，取其中一解，即得平面的法向 量.2 .平行关系的常用证法而=入CD.证明线面平行可转化为证直线的方 向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面 外，证面面平行可转化证两面的法向量平行.3 .垂直关系的常用证法要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直.要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平 面内两条相交直线垂直.要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直.跟踪练习：一、选择题1.已知 A (3, 5, 2), B (-1, 2, 1),把而按向量a=⑵1, 1)平移后所得的向量是()A. (—4， —3,0) B. (—4,—3, —1)C. (—2, —1, 0) D. (—2,-2, 0)答案B ab = (—4, —3, —1).平移后向量的模和方向是不改变的.2 .平面a的一个法向量为(1,2,0),平面B 的一个法向量为(2, -1,0),则平面a与平面B的位置关系是(A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.不能确答案 C 解析 V (1,2,0)•(2, -1,0)=0,六两法向量垂直，从而两平面也垂直.3 .从点 A(2, —1, 7)沿向量 a=(8, 9, -12)的方向取线段长AB=34,则B点的坐标为()A ( — 9 ) — 7,7)B. (18, 17, -17)7)D. (-14, -19,31)答案 B 解析,设 B(x, y, z), ab= (x-2,y+1, z-7) =入(8, 9, - 12),入 >0.故 x—2=8入，y+l=9 入，z-7=-12 入， 又(x-22+ (y+l2+ (z-72 x = 18, y = 17, z =-17, 即 B (18, 17, - 17).=342,得(17人)2= 342, •••入 >0,，入=2.4 .已知a=⑵4, 5), b=(3, x, y)分别是直 线11、k的方向向量，若L〃b,贝(1()A x = 6 , y = 1515B. x=3, y=—C x = 3 , y = 1515D. x=6, y=—2 4答案D解析〃瓦则有a=-=3 xR 1 R2,解方程得x=6, y=T.y 乙5.若直线1的方向向量为》=(1,0, 2),平面a的法向量为〃 =(—2,0, —4),贝！J()A. l〃a B. l±aC. 1 a D-1与a斜交答案 B 解析 V u= -2a,，a// u9，1 _L a . 二、填空题6 .已知 A(l, L -1), B(2, 3,1),则直线 AB 的模为1的方向向量是.田4 fl 2 2] J 1 2答案 鼻，鼻，鼻或一鼻，一鼻，—7解析，AB — (1, 2 9 2), I AB — 3 . 模为1的方向向量是土星，I AB I7 .已知平面a经过点0(0, 0,0),且e=(l, 1,1) 是a的法向量，M(x, y, z)是平面a内任意一点， 则x, y, z满足的关系式是.答案 x+y+z=0 解析 om #e=(x, y, z)・(1,L 1) = x+y+z = 0.8 .若直线a和b是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)和(2, -3, -2),则直线和b的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的 一个方向向量是答案（1,4, 一5）（答案不唯一）解析 设直线a和b的公垂线的一个方向向量为/2=（x, y, z）, a与b的方向向量分别为功，n29由题意得n • /?!=0,…2 = 0,即:x+y+z=O, 2x—3y—2z=0.解之得：y=4x, z = —5x,令 x=l, 贝!l有力=(1,4, -5).三、解答题9 .已知正方体ABCD—A】BCDi的棱长 为2, E、F分别是BB1、DD】的中点,求证: （1）FC1 〃平面 ADE；（2）平面ADE 〃平面BCF.证明 如图所示建立空间直角坐标系Dxyz, 则有 D(0,0,0)> A(2, 0,0), C(0,2,0),Ci(0, 2, 2), E(2, 2,1),F(O, 0, 1), Bi(2, 2, 2),所以 fc. = (0, 2, 1), DA = (2, 0, 0), AE = (0, 2, 1) . (1)设ni=(X1, yi, Zi)是平面ADE的法向量，则n1，3，n」荏，即；inDA = 2xi.=2yi + zi,xi = 0,zi = - 2 yi,令 zi=2,则 yi = -1,所以 z?i=（O, —1, 2）.因为 FCi •刀i = -2+2=0,所以FC」".又因为FC 平面ADE,所以FG〃平面ADE.（2） V 加=（2, 0, 0）,设!？= &2 , y2 , Z 2。