高等量子力学2.4-4.2.ppt

§2—4 厄米算符和幺正算符（QM常见） 厄米算符—其伴算符与其本身相等的算符，又称自伴算符在单一空间称厄米共轭算符) (在单一空间称自轭算符)厄米算符自伴算符定理：算符H为厄米算符的充要条件是对其定义域中所有的矢量满足：,在有限维 Hilber 空间每个线性算符均有界 有界性 连续性,,（9）,等距算符——满足 的算符 定理 以下三个命题等价:（1） （2） （3）,(isometric operator),幺正算符(unitary operator)满足:,,等距算符,,幺正算符在讨论两组基失的关系时其重要作用等距算符性质（2）,,Parseval 等式,Parseval 等式,﹏,﹏,定理 同一空间，两组基矢,幺正算符联系,物理上称矢量的幺正变换为矢量在多维空间中的转动幺正变换,（2.29）——矢量的幺正变换,对算符也可以做幺正变换,U (*),确定算符,,,一个包含矢量和算符的关系式，经过幺正变换后期形式不变。

§2—5 投影算符,投影算符—由相同的基右矢和基左矢写在一起构成的算符 取一组基失,投影算符是线性算符,还是厄米算符. 线性算符：,完全性定理（3）—Parserval等式,本征子空间概念,定理：若A,B两算符相似，即对有逆算符R有：,﹏,你中有我 我中有你,练习（2.4）,进行归一化并让简并的本征矢彼此垂直问题:厄米算符 A 的本征矢量的正交归一集,在所在空间中是否完全? 一个确定空间中，一组正交归一矢量集的完全性（类似前面的完全集） 的含义是：该空间的所有矢量都能表示为这个矢量集 的线性叠加， 即一组正交归一矢量集的封闭性的含义是：不存在 垂直所有的 问题答案：数学上复杂，物理上总认为是厄米，自伴算符细微区别）,②,且（n-1），（n-2）阶的全部子行列式为零， 矩阵秩 (n-3) （对非厄米算符不一定成立）,等根,例,（三重根）,不仅导致行列式,=0,,构成此空间的一组正交完全集,①,（总之，n维空间，厄米算符A的本征值无简并，有n个线性无关的本征矢存在, 可构成一组正交完备集 （满足）,↘,作为基矢,A①无简并 完全确定②有简并 有多组正交归一完全集存在∵在本征子空间选取相互正交的矢量，选法很多,无穷维Hilbert空间，厄米算符具有离散本征值的情况（物理上总认为，厄米算符的全部线性无关的本征矢可构成此空间的完全集）,（物理上用来构造基矢，Hilbert空间给QM讨论带来方便）,§3—3厄米算符完备组,定理：在有限维空间中，厄米算符的全部本证矢可构成正交完全集。

物理上假定,无限维空间 成立,得到有物理意义上的基失，在QM讨论中方便问题：厄米算符又简并时，所确定的基失不唯一，在简并的本征 子空间中有多种选择消除这一不确定性：用第二个厄米算符 把本征子空间中的基失确定厄米算符的本征值简并，所确定的基矢不唯一，要消除不确定性，用第二个厄米算符把本征子空间中的基矢确定下来定理：当且仅当两个厄米算符互相对易时，它们有一组 共同的本征矢量完全集,上述定理①当b没有等根时，所得的共同本征矢量完全集就完全确定②当b有等根时，还有一个一维以上的本征子空间中的所有矢量 都同时是A，B的本征矢量，共同本征矢量完全集还有任意性，可 再取第三个与A，B都对易的厄米算符C，以同样的办法用C的本征 值来区分，直到这一组本征矢量完全集完全确定为止对于一个Hilbert空间，一组互相对易的厄米算符A，B，C…… 它们只有一组完全确定的共同本征矢量完全集，而去掉算符中的 任何一个，都会使剩下的那些算符的共同本征矢量完全集具有任意 性的，称为一组厄米算符完备组它们的这一组本征矢量完全集， 构成该Hilbert空间的一组基失例2 一维运动粒子，动量本征态，平面波,（本征矢）,一维运动粒子的任何一个态均可用它们展开：,§3-4 无穷维空间情况,有限维无穷维空间 厄米算符,,,①离散本征值谱 可数,,②连续本征值谱（例动量） 不可数,,无穷多个,厄米算符完备组A,① 离散本征值谱,,n,② 本征值连续变化，无法编号，用本征值本身给本征矢编号,i ,则,,,,连续实变量,本征方程,,假设本征矢量有完全性（类比）,,连续函数,,,连续本征矢的正交归一化关系,,,有限,说明这种本征矢同Hilbert空间中所有其它归一化矢量 的内积都是有限的。

（QM存在这样的算符，其本征值谱在一个区间是离散，在另一区间是连续的），则,● 连续谱的算符，离散谱算符的各种关系一一对应，作一般讨论，希望两种情况都适用我们约定，取和或积分是随意的 .,对一部分离散和连续值谱都适用§4 表象理论,§4-1 矢量和算符的矩阵表示,表示,抽象,具体,例三维物理空间,（x,y,z） (坐标空间),,,一组数字表示,,选定一组,,,算符完备组中各算符本征值序号的集合,QM，取定这样一组基矢称为取一个表象，该表象用算符完备组K命名，称K表象空间中任意矢量 ，用它展开：,,复数,在 上的分量,,,,,两矢量的内积：,,,,,等于1,,分量表示,一组数具体表示一个算符,,,,,确定A，确定一组数，即,矩阵乘法,对两个算符乘积C=AB,有,抽象 右矢空间,,对应,,,内积,左矢空间,,具体化,用一组数表示新矢量空间,列矩阵空间 矩阵+ × ： 在基 上的分量,内积,,内积,行矩阵空间 矩阵+ ×,算符,一对对偶 左右矢空间,一对对偶 列行矩阵空间,方阵共同算符,,,矩阵乘法,§4-2 表象变换,（一个空间）不同的基,（矢量和算符）不同表象,表象K （矢量） （算符） 基 （完全性关系）,,,变换关系,表象L,,？,,,行,列,按序号编号,按序号编号,,（与一个幺正算符在某表象中的表示矩阵有所不同）,,行列编号与 相反,满足,,,是幺正矩阵,矢量,,,,,,表象变换——求（变换表示）,,,,,,矢量的表象变换,,,已知,写成矩阵形式,反过来，,,,矢量的表象变换,算符,反过来，,,算符的表象变换,,,,,,表象变换改变矢量 与算符 的矩阵表示，但不改变 的数值。

实际上，数学上的表象变换,,酉变换，幺正变化,复空间,,欧式空间,正交变换,,,保持任意矢量的长度的线性变换,§,4-3 若干矩阵运算,,,方矩阵,的迹定义：,的性质：,的行列式：,,性质：,②,①,,,矩阵的相似变换（ 方阵）,,幺正,数学上定义不要求 为幺正,称 相似,附：,,,=0,性质：,,在表象变换下不变,算符的表象变换是一种相似变换,知道,算符 的迹和行列式在任何表象中有相同的值,表象变换的性质：若 两个厄米矩阵相似，则它们具有相同的本征值谱，且每一本征值都有相同的简并度 （新书去掉了！在§3-1定理已有，且更普遍， 两个抽象算符）定理：任何厄米矩阵都可通过相似变换（实际是幺正变换）成为对角矩阵§,4-4 连续本征值性质,表象理论 有限维空间,,推广,无限维,表象基矢无穷维,离散 连续,,形式推广,在无穷维空间中取K表象，而厄米算符（或对易的厄米算符）完备组K具有在某一区间的连续值谱定理：任何厄米矩阵都可通过相似变换（实际上为幺正变换）成为对角矩阵Proof:采取直接把变换矩阵给出来的证法①,②,,附：关于定理：任何厄米矩阵都可通过相似变换（实际是幺正变换）成为对角矩阵。

离散表象,连续表象,数列,函数,,（对行矩阵和方阵同样理解）,,,所有运算都是矩阵的乘法关系,双变量函数,这样把离散连续表象的的记法做到完全的一一对应，统一写成：,,§ 4-2,例2 一维运动粒子，动量本征态，平面波,（本征矢）,,一维运动粒子的任何一个态均可用它们展开：,。