哈工程 自控原理 第四章.doc

25四．根轨迹法反馈系统的稳定性由系统的闭环极点确定研究系统参数变化对闭环系统特性的影响，是分析系统和设计控制器的重要内容参数变化的作用，体现在对闭环极点的影响上对于高阶系统，用解析方法说明这种影响，很困难，且不易理解图解法是一种方便的近似方法4-1 根轨迹法的基本概念1． 根轨迹概念根轨迹法：根据参数变化 ，研究系统闭环极点变化轨迹的一种图解方法即在参数变化时图0解特征方程近似作图；重要区域，如与虚轴的交点与实轴的交点等，根轨迹要准确；依据根轨迹图，可以确定合适的系统参数，为设计控制器提供依据例图 4-1，研究系统的开环增益 的变化 ， 对闭环极点的影响K0开环传递函数 ，闭环传递函数 ，)15.()sGKss2)(特征方程 ，根轨迹方程 ， 2s 12(sk0,k该例的解析分析为 ， 参见图 4-2/11)(/)(开环极点 X，开环零点 O；根轨迹上的箭头表示参数增大的方向2． 根轨迹与系统性能以图 4-2 为例，(1) 稳定性： 根轨迹始终都处于 S 平面左半部，则无论参数取多大的值，闭环系统稳定；若在参数的某些取值范围，有根轨迹段(闭环极点)处于 S 平面右半部，则闭环系统在该参数范围不稳定。

根轨迹与虚轴的交点出的参数值，为参数临界值2) 稳态性能：在研究开环增益 对闭环极点作用时，据在原点处的开环极点个数就可以知道K系统的误差型别3) 动态性能：从根轨迹上的共轭复数极点，能够知道该振荡模态的阻尼系数，对高阶系统的动态性能有粗略估计3． 根轨迹方程根轨迹方程实际上是便于应用规则绘制根轨迹图的标准形式的特征方程例 已知负反馈开环传递函数：；根轨迹方程 niimjjnnmmpszkassabbsHG1110 )()(  1)(1niimjjpszk—变化参数 ；需要知道开环零点 和开环极点 kjzi26例 已知负反馈开环传递函数： ； 研究参数 对系统闭环极点的作用)15(2)(sTHsGaaT特征方程 ；根轨迹方程 ， 012.0Tsa 1.0kk2例已知负反馈开环传递函数： ； 研究参数 对系统闭环极点的作用)()(Tss特征方程 ；根轨迹方程 ， 2)(2ss 12kTk根轨迹方程(180 o)等式右边为-1(0 o,+1)；分母的阶次大于等于分子的阶次；变化的参数以规范形式 出现在分子上k幅值条件： ；相角条件： 1|)(|||)(1niimjjpszksAB 180)()(11niimjjpszs复平面 S 上的一点处于根轨迹上，必须满足根轨迹方程；幅值条件：幅值等于 1，由于 是变化k的，幅值条件总能满足；相角条件：相角应等于 180o(或 0o)。

绘制根轨迹时，依据的条件是相角条件4． 根轨迹法中常用术语(1) 根轨迹；(2) 根轨迹的起点和终点；(起点为开环极点，终点为开环零点或无穷远处)(3) 根轨迹的分支数；(等于开环极点的个数，两条根轨迹不相交)(4) 根轨迹的分离点与汇合点闭环重极点，重和点) 4-2 根轨迹绘制的基本规则(180 O)遵循一些作图规则，能够方便地绘制近似的根轨迹图形根据系统的方框图，列写系统的特征方程，再根据变化的参数写出规范的根轨迹方程1. 绘制根轨迹的基本规则规则 1：根轨迹的起点和终点；根轨迹始于开环极点，终止于开环零点或无穷远处；证明见 P141 的式(4-11)及其变换形式规则 2：根轨迹的分支数对称性和连续性；分支数与开环极点个数相等；根轨迹关于实轴对称；根轨迹是连续的利用对称性，只需认真绘制(计算)一半根轨迹另一半对称画出规则 3：根轨迹的渐近线(与实轴的交点和夹角)；在开环极点数 大于开环零点数时，有 条渐nmn近线，表示终止于无穷远处的根轨迹分支所渐近的直线这些渐近线与实轴相交与同一点，与实轴的夹角满足相角条件简要说明如下：对于 S 平面上无穷远处的闭环极点来说，系统的开环极点和开环零点，近似重叠在一点，又考虑到极点与零点对相角的作用相反，即等效于 个开环极点重叠在一起，则有mn； ， 。

nimjanzp1)/(}{ )12()()(lsma )/()12(nll 注：只有在 时，需要计算渐近线与实轴的交点和夹角2)(27规则 4：根轨迹在实轴上的分布；实轴上的一点 在根轨迹上的充要条件是，该点右侧实开环极s点和实开环零点的总数为奇数规则 5：根轨迹与实轴的交点；交点为重极点，满足方程 ， ；0)(sBAd1)(skx例 4-1 负反馈系统的开环传递函数为 ， 3)(21)(skG32* ， ， ， ； ；01p23P1zmn* 两条渐近线， ， ；a90a* 实轴上的根轨迹， ， ；),(),(* 与实轴的交点， ，5423ss， ；4657.2x 7.61.0j(试探法计算实数交点)1890k例 4-2 负反馈系统的开环传递函数为， ， ；.)(2sKsG2)(skKk* ， ； ；jp,11z1mn* 实轴上的根轨迹， ；),(* 与实轴的交点， ，042S， ；(舍去 )4.3x8.xk586.x注：具有一个开环零点的二阶根轨迹方程，实轴外的根轨迹是圆周的一部分规则 6：根轨迹的起始角和终止角(开环极点的出射角和开环零点的入射角)由相角条件导出；；nliimjjl pszskps ,11)()()2()(记为 ；nliimjjlpl pzk,1)2(同理有 。

mljjniilzl zp,1)()(例 4-3 负反馈系统的开环传递函数为 )5.2)(.41)( sskG* ， ，01p2.10,3jp， ； ；5.zjz, mn* 实轴上的根轨迹， ， ；).(),.(* 与实轴的交点， 方程无实根 0875.46375.9.42.71256 sss， ，)89.3(j)01(j)932(jz1 p1p2p3z1p1p2 -11-1Im2-21-1-3 -2 -1 0 Re28*  5.7890).12()5.0()5.21()5.01()5.(1803  jjjjjp 4.22 z规则 7：根轨迹与虚轴的交点；即虚轴上的点 ，满足特征(根轨迹)方程由实部和虚部方程js解出交点 和 ck例 4-4 负反馈系统的开环传递函数为 1)2)(3)( ssG* ， ， ； ；*渐近线， ； ；jp12, 0p344mn25.1a135,4a*实轴上的根轨迹， ；*与实轴交点， ， ，, 075.32ss 86.x。

4xk* 起始角 ；6.1.215981 p* 与虚轴交点， Re: ； Im： ； ， ；04k)(295.1c1.ck根轨迹图见 P151 图 4-13规则 8：闭环极点之和，在 的条件下，闭环极点之和与开环极点之和相等即随着 增大，mn一部分极点向左移动时，另一部分极点向右移动2. 闭环极点的确定据多项式系数与多项式零点的关系，在已知部分极点时，可以求出剩余极点例 4-5 继例 4-4，(1) 已知闭环极点 及对应的 ，计算剩余的 2 个闭环极点095.12,js16.8ck； ；4314321 ppsss432， ；解得 5805.675.,j(2) 已知闭环极点 及对应的 ，计算剩余的 2 个闭环极点2, .xk， ；解得 .043s7.43s 84.01.4,3js(3) 试确定 的闭环极点k特征方程 ；06852由 ， ，得知：该方程在 和 区间上各有一个.x.xk )2.,(),.(接近 的实根试探法计算出实根 ， 后，得 28. 21s51387.03914,3js四次代数方程有解析解，即有求解公式关于“图 4-15 开环零极点分布及相应的 180°根轨迹图”：(1) 依据开环零点、极点分布，列写系统的根轨迹方程；(2) 未知参数以最短(或方便)的线段作为长度单位，记为 1(或 )；0a(3) 根据基本规则绘制概略根轨迹图；(4) 千万不要死记硬背。

；)2()(1asksG )2)(5.0()22 asaskG29； ；)2)(2)(3 asaskG )54)(52() 223 asasksG； ；5 6； ；)5(.0)227sks )2)(.0(.1)23 ssk； ；4(29 aaG 5452210 aaG； )(2)(1sks )(3)(2sks讨论：开环极点分布在四边形的 4 个顶点上的根轨迹，四边形的一条对角线在实轴上1) 正方形: ； ))(223 asak计算闭环重极点的方程 ，即闭环系统只在 平面的 处有 4 重极点，0ASas， ， ； ， 01p2jp4,3sx4,321kx(2) 长对角线与实轴垂直 ； )5)()(23 aaskGc；0.2， ； ， ；a141k/63,2j45.ak即，当 时，闭环极点为 ， ；4k,s34,当 时，闭环极点为 ， ；25.6 aj)/( j)2/61(4,(2) 长对角线在实轴上 ； 25.1)2)(3 saskGs ；0)6(422A， ； ， ；a115.0k/3,43965.ak即，当 时，闭环极点为 ， ；425.0k21 /(4,当 时，闭环极点为 ， ；6 a)/(, )/1,34-3 广义根轨迹控制系统关于开环增益 的根轨迹称为基本的根轨迹，关于系统其他参数的根轨迹统称为广义K根轨迹。

绘制广义根轨迹的方法是，列写出规范的根轨迹方程，按规则绘图1． 参数根轨迹例 4-6 系统Ⅱ和Ⅲ的闭环传递函数分别为， ； ， ；sTsa12.0)(I sTsa12.0I 12.0skaTk两系统的根轨迹方程相同根轨迹图见 P155 的图 4-17由特征多项式知， ， ，解得 n.an8.性能比较为时域分析的内容，见表 4-230例 4-7 已知负反馈系统的开环传递函数为 ，其中 开环增益 可自行选定)1()(sTKsGaK试分析时间常数 对系统性能的影响aT根轨迹方程为 ， ；特征方程 1)(2sKkak 023ksk* ， ，02,1p132/1, )5.0(z当 时，根轨迹方程有一对共轭复数开环零点，经计算得，根轨迹与虚轴的交点K， ，即 或 时闭环系统稳定；2/)(ckcck)1/(KTa当 时，也有一对共轭复数开环零点，但根轨迹与虚轴无交点，无论 或 取任何正值5. kaT闭环系统都是稳定的；当 时，根轨迹方程有两个不等的负实零点，根轨迹与虚轴无交点，无论 或 取任何2.0正值闭环系统都是稳定的；取 作关于 的根轨迹；9.KaT* ， ， ，2,1p139.0z1.2z*实轴上， ， ；),(),(*与实轴交点， 8.7.2ss， ；964.0x5xk2． 附加开环零点的作用附加零点对闭环系统性能的作用体现在改变根轨迹的形状和走向；适当的附加零点减少渐近线条数，能够改善系统的稳定性。

附加零点位置的选择应兼顾稳定性和动态性能例 图 4-22；例 图 4-233． 零度根轨迹非最小相位系统：有开环极点或开环零点位于 S 平面右半部的系统零度根轨迹：根轨迹方程等号右边为+1 时，相角条件为 0o，需要绘制零度根轨迹零度根轨迹与 180 度根轨迹仅仅是相角条件相差 180o，绘制根轨迹的规则相似，仅与相角有关的规则不同(相差 180o)，即修改规则 3：根。