概率论与数理统计：m2-随机变量及其分布5.ppt

§5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布• 离散型离散型• 连续型连续型• 定理及其应用定理及其应用返回主目录随机变量的函数随机变量的函数§5 随机变量的函数的分布返回主目录一、离散型随机变量的函数一、离散型随机变量的函数§5 随机变量的函数的分布返回主目录分布律为分布律为是离散型随机变量，其是离散型随机变量，其设设X( ( ) )量，它的取值为量，它的取值为也是离散型随机变也是离散型随机变，则，则的函数：的函数：是是YXgYXY= =第第 一一 种种 情情 形形§5 随机变量的函数的分布返回主目录第第 二二 种种 情情 形形§5 随机变量的函数的分布返回主目录例例 1 1§5 随机变量的函数的分布返回主目录例例 1 1（续）（续）§5 随机变量的函数的分布返回主目录 设随机变量设随机变量 X 具有以下的分布律，试求具有以下的分布律，试求 Y = (X-1)2 的分布律的分布律.pkX-1 0 1 20.2 0.3 0.1 0.4 解解: Y 有可能取的值为有可能取的值为 0，，1，，4. 且且 Y=0 对应于对应于 ( X-1)2=0，， 解得解得 X=1，， 所以所以, P{Y=0}=P{X=1}=0.1,§5 随机变量的函数的分布例例 2 2返回主目录同理同理,P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+ 0.4=0.7,P{Y=4}= P{X= -1}= 0.2,pkY 0 1 40.1 0.7 0.2所以，所以，Y=(X-1)2 的分布律为：的分布律为：pkX-1 0 1 20.2 0.3 0.1 0.4Y=(X-1)2§5 随机变量的函数的分布例例 2 2（续）（续）返回主目录例例 3 3§5 随机变量的函数的分布返回主目录例例 3 3（续）（续）§5 随机变量的函数的分布二二. .连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布§5 随机变量的函数的分布解解 题题 思思 路路设随机变量设随机变量 X 具有具有概率密度：概率密度：试求试求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.解：解：(1) 先求先求 Y =2X+8 的分布函数的分布函数 FY(y)：：§5 随机变量的函数的分布例例 4 4返回主目录§5 随机变量的函数的分布例例 4 4（续）（续）返回主目录 整理得整理得 Y=2X+8 的概率密度为：的概率密度为：本例用到变限的定积分的求导公式本例用到变限的定积分的求导公式§5 随机变量的函数的分布例例 4 4（续）（续）设随机变量设随机变量 X 具有具有概率密度概率密度求求 Y = X 2 的概率密度的概率密度.解解：：(1) 先求先求 Y = X 2 的分布函数的分布函数 FY(y)：：§5 随机变量的函数的分布例例 5返回主目录§5 随机变量的函数的分布例例 5 5（续）（续）返回主目录例如例如,设设 X~N(0,1),其概率密度为：其概率密度为：则则 Y = X 2 的概率密度为：的概率密度为：§5 随机变量的函数的分布返回主目录例例 6 6§5 随机变量的函数的分布返回主目录例例 6 6（续）（续）§5 随机变量的函数的分布返回主目录 定理定理 设随机变量设随机变量 X 具有概率密度具有概率密度则则 Y =g(X ) 是是一个连续型随机变量一个连续型随机变量 Y，，其概率密度其概率密度为为其中其中 h(y) 是是 g(x) 的反函数的反函数，，即即 §5 随机变量的函数的分布返回主目录§5 随机变量的函数的分布 定理（续）定理（续）返回主目录§6 随机变量的函数的分布返回主目录定定 理理 的的 证证 明明§5 随机变量的函数的分布返回主目录定定 理理 的的 证证 明明§5 随机变量的函数的分布返回主目录定定 理理 的的 证证 明明§5 随机变量的函数的分布返回主目录§5 随机变量的函数的分布补充定理：补充定理：若若g(x)在不相叠的区间在不相叠的区间上逐段严格单调，其上逐段严格单调，其反函数分别为反函数分别为均为连续函数，那么均为连续函数，那么Y=g(x)是连续型随机变量，其概率密度为是连续型随机变量，其概率密度为返回主目录例例 7 7§5 随机变量的函数的分布返回主目录例例 7 7（续）（续）§5 随机变量的函数的分布返回主目录证证 X X的概率密度为：的概率密度为：§5 随机变量的函数的分布例例 8 8返回主目录由定理的结论得：由定理的结论得：§5 随机变量的函数的分布例例 8(8(续续) )返回主目录设随机变量设随机变量 X 具有具有概率密度：概率密度：试求试求 Y=sinX的概率密度的概率密度.解：解：§5 随机变量的函数的分布例例 9 9返回主目录§5 随机变量的函数的分布例例 9 9返回主目录§5 随机变量的函数的分布例例 9 9返回主目录 Y=sinX的概率密度为：的概率密度为：作业：作业：。