南京航空航天大学高等代数考研复习题.pdf

专业课复习资料（最新版）专业课复习资料（最新版） 封封 面面 高等代数复习试题一高等代数复习试题一 一、填空题（每小题 4 分，共 12 分） 1 设 4 4 3132333441424344 ()|0,0 ij WaPaaaaaaaa ， 则W是 4 4 P 的 子 空 间 ， dim()W= 2 设 A 为数域 P 上秩为 r 的 n 阶矩阵，定义 n 维列向量空间Pn的线性变换：( ), n AP ，则 1 dim(0) ， dim() n P 3 n 阶对称正交矩阵按相似分类，共有类 二、 （20 分）设二次型 12341234 (,,,)22f x x x xx xx x 1 写出这个二次型的矩阵A； 2 求A的特征值及其线性无关的特征向量； 3 求一个正交线性替换X=TY，将 1234 (,,,)f x x x x化为标准形； 4 判断 1234 (,,,)f x x x x的正定性 三、 （12分）在 4 P x中， 23 1( ) 142,f xxxx 23 2( ) 1932,fxxxx 3 3( ) 56,fxxx 23 4( ) 5752,fxxxx求 由 1234 ( ),( ),( ),( )f xfxfxfx生 成 的 子 空 间 1234 (( ),( ),( ),( ))L f xfxfxfx的维数与一组基 四、 （13 分）已知复矩阵 126 103 114 A ， 1 求A的不变因子、初等因子； 2 求A的若尔当标准形 五、 （10 分）设 m n AR ，证明：齐次线性方程组0AX 只有零解AA正定 六、 （10 分）已知 n n P 的两个子空间 1 n n VA AAP ， 2 n n VA AAP ，证明： 12 n n PVV 七、 （11 分）设A为 n 阶复矩阵，X是 n 维列向量，向量组 21 ,,,, n X AX A XAX 线性无关， 0 是A的一个特征值 证明：A的属于 0 的线性无关的特征向量只有一个 八、 （12 分）设A，B都是实对称矩阵，证明：存在正交矩阵T，使得 1 TATB 的充分必要条件是A，B有相同的特 征值。

试题一参考答案试题一参考答案 一、填空题（每小题 4 分，共 12 分） 1 142n-r， r3.n+1 二、 （20 分） 解：1原二次型对应的矩阵为 0100 1000 0001 0010 A （3 分） 2A 的特征多项式为 22 (1) (1)EA 特征值为 1234 1,1 12 1相应的特征向量为 12 1,1,0,0 ,0,0,1,1 34 1 相应的特征向量为 34 1,1,0,0 ,0,0,1,1（7 分） 3标准正交基为 2 11 1,1,0,0 ,0,0,1,1 22 34 1 1,1,0,0 ,0,0,1,1 2 令X=TY, 其中 1010 1010 1 01012 0101 T 则 2222 1234 X AXyyyy（7 分） 4 二 次 型 的 正 惯 性 指 数 p=20 ， 且 负 惯 性 指 数 q=20 ， 所 以 二 次 型 是 不 定 的 （3 分） 三、 （12 分） 解：取 4 P x的一组基 23 1, ,,x xx，则 1234 (( ),( ),( ),( ))f xfxfxfx= 23 1155 4967 (1, ,,) 2305 1212 x xx 23 (1, ,,)x xxA（4 分） 1155 0121 0000 0000 A 初等行变换 秩(A)=2， 第1、 2列向量是A列向量组的一个极大无关组， 所以 1234 dim (( ),( ),( ),( ))2L f xfxfxfx， 12 ( ),( )f xfx 是其一组基（8 分） 四、 （13 分） 解：1EA 126 13 114 2 100 010 00(1) A的不变因子为 1， 2 1(1)，，初等因子为 2 1(1)，（8 分） 2A的若尔当标准形为 100 010 011 （5 分） 五、 （10 分） 证：“”首先，AA为 n 级实对称矩阵. 0 n XR， 0 0X ，由于 AX0，只有零解， 所以， 0 0AX ， 0 m AXR 设 1 2 0 m a a AX a ，即 12 ,,, m a aa不全为零. 则有 0012 () ()0 m AXAXaaa 即 00 ()0XA A X ，故 AA 正定.（5 分） “”假若齐次线性方程组 AX0 有非零解， 即 000 ,0,0 n XRXAX， 从而有 0000 ()() ()0.XAA XAXAX， 与AA正定矛盾. 齐次线性方程组AX0，只有零解.（5 分） 六、 （10 分） 证：对任意的 n n AP ，有 22 AAAA ABC 其中 2 AA B ， 2 AA C ，容易验证BB ，CC ， 所以 12 ,BV CV，即有 12 n n PVV .（6 分） 若 12 DVV，则DD ，DD ，所以0D ，即 12 0VV ， 所以 12 n n PVV .（4 分） 七、 （11 分） 证 ： 由 21 ,,,, n X AX A XAX 线 性 无 关 ， 有 21 ,,,,, nn X AX A XAX A X 线 性 相 关 ， 且 n A X能 由 21 ,,,, n X AX A XAX 线性表出. 设 21 122 nn n A Xk Xk AXk A Xk AX 则 21 (,,,,) n A X AX A XAX 121 1 0 (,,,,) n n k X AX A XAX EK 其中 23 (,,,) n Kk kk （5 分） 令 21 (,,,,) n TX AX A XAX 则T可逆，且 11 1 0 n k TATB EK 即A与B相似. 若 0 是A的特征值，则有 00 0EAEB 但 1 00 1 0 n k EBE EK 其中有一个 n1 级子式不为 0. 秩 0 ()1EBn，从而秩 0 ()1EAn 故 0 ()0EA X的基础解系只含一个向量. 即 A 的属于 0 的线性无关的特征向量只有一个.（6 分） 八、 （12 分） 证： “” ：因为 1 TATB ，T是正交阵，故T是可逆矩阵，则A与B相似。

而相似矩阵具有相同的特征值，所 以A与B有相同的特征值.（4 分） “” ：A与B有相同的特征值，设为 12 ,,, n . A、B都是实对称矩阵，所以存在正交阵P、Q，使得 1 21 n P AP ， 1 21 n Q BQ 所以 11 P APQ BQ ，从而 11 QP APQB . 令 1 TPQ，则 1 TATB 而P、Q是正交阵，所以 1111111 ()()()()PPQPPQ ， 所以 1 PQ也是正交阵，即T是正交阵8 分） 高等代数复习试题二高等代数复习试题二 一、填空题（每空 2 分，共 24 分） 1.已知 2 是多项式 432 28xxaxbx的二重根，则a ，b . 2.设 * A， * B是n阶可逆矩阵A，B的伴随矩阵, 则 1 ()AB ** B A. 3.行列式 111 11 111 x 的展开式中x的系数是___. 4.已知向量组 123 (1,4,3),(2, , 1),( 2,3,1)k 线性相关，则参数k_. 5. 设A为n维非零行向量，则齐次线性方程组0Ax 的基础解系中所含解向量的个数是 . 6. 设( ), ( ), ( ), ( ) ,f x g x u x v xF x若 1 ( ) ( )( ) ( ), 2 u x f xv x g x则( ( ), ( ))f x g x. 7. 实二次型 1 1212 2 22 (,)(,) 41 x f x xx x x ，则 12 (,)f x x的矩阵为，秩为 ，正惯性指数为. 8设 4 阶方阵 234234 ,,,,,,,AB , 其中 234 ,,,, 均为 4 维列向量，4,3AB，则行 列式AB. 9. 实数域上n阶对称矩阵按合同关系可分为类 二、计算题（第一小题 10 分，第二小题 12 分，第三小题 16 分，共 38 分） 1. 1 2 3 11111 11111 11111 1111 1 n n a a aD a . 2. 求 5432 ( )2101616146f xxxxxx在有理数域、实数域和复数域上的标准分解式. 3., a b取什么数时，线性方程组 1234 1234 1234 230 3271 62 xxxx xxaxx xxxxb 有解？在有解的情形，求一般解. 三、 (12 分) 设A,B为 3 阶方阵, 满足2ABABE. 则 （1）证明：AE可逆； （2）当 101 020 201 A 时, 求B. 四、 （10 分）设 12 ,,..., m 及 12 ,,..., m 是2m个向量, 且 12 ...,1 ii im . 证明向量组 12 ,,..., m 线性无关的充要条件是 12 ,,..., m 线性无关. 五、(8 分) 设A为n阶方阵, 证明: 3 AE当且仅当 2 ()()r AEr AAEn. 六、(8 分) 如果(1)|() n xf x，求证：(1)|() nn xf x. 试题二参考答案试题二参考答案 一、填空题（每空 2 分，共 24 分） 1. -6 162. 1 ||A B .3. 24. -35. 1n6. ( )p x 7. 23 31 218. 569. (1)(2) 2 nn 二、计算题（第一小题 10 分，第二小题 12 分，第三小题 16 分，共 38 分） 1. 法一 解（1）当 k 0,1,2,,akn时， 1 111 1111 2 22 2 11111 11110 00 11110 00 n k k nn n a aaaaaaa a aa Da aa a 2311123 21 11 (1)(1) nn nn kk kk a aaaaa a aa aa (6 分) 法二 11 222 11111111 111111011 111111011 nnn aa aaa D aaa 11 22 1111011101 1111101101 111101011001 nnnn aa aa aaaa 111 222 100000001 100100001 10000001 nnn aaa aaa aaa 231312n-112nnn a aaa aaa aaa aa(6 分) 法三 升级法(6 分) （2）如果仅有一个 0 k a 1 11 1 1 1 1111 1111 1111111111 1111 1111 1 1 1 1 kk ni i k kk nn a aa Da aa aa a （3 分） （3）至少有二个0 ij aaij， n D中第 i 行与第 j 行相同，故0 n D （1 分） 2. 解 先判断有理根： 5432 258873fxxxxxx 可能的有理根为3。

30,f 30f 所以3x是 f x的一个根 （4 分） 利用辗转相除法（或综合除法） 432 232221fxxxxxx，令 432 2221g xxxxx 再判断 g x的有理根可能为1x 又由于 10,10gg，所。