导数综合应用1．[2014·江西卷] 已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)(b∈R)．(1)当b＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间上单调递增，求b的取值范围．解：(1)当b＝4时，f′(x)＝，由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0.所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x＝－2处取得极小值f(－2)＝0，在x＝0处取得极大值f(0)＝4.(2)f′(x)＝，易知当x∈时，<0，依题意当x∈时，有5x＋(3b－2)≤0，从而＋(3b－2)≤0，得b≤.所以b的取值范围为.3．[2014·安徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时 ，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．解： (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝，x1x2时，f′(x)<0；当x10.故f(x)在和 内单调递减，在内单调递增．(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，①当a≥4时，x2≥1.由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．②当01.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aexln x＋ex－ex－1＋ex－1.由题意可得f(1)＝2，f′(1)＝e，故a＝1，b＝2.(2)证明：由(1)知，f(x)＝exln x＋ex－1，从而f(x)>1等价于xln x>xe－x－.设函数g(x)＝xln x，则g′(x)＝1＋ln x，所以当x∈时，g′(x)<0；当x∈时，g′(x)>0.故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g＝－.设函数h(x)＝xe－x－，则h′(x)＝e－x(1－x)．所以当x∈(0，1)时，h′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0.故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－.因为gmin(x)＝g＝h(1)＝hmax(x)，所以当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1.21．、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝ex－e－x－2x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(2x)－4bf(x)，当x＞0时，g(x)＞0，求b的最大值；21．解：(1)f′(x)＝ex＋e－x－2≥0，当且仅当x＝0时，等号成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x－e－2x－4b(ex－e－x)＋(8b－4)x，g′(x)＝2[e2x＋e－2x－2b(ex＋e－x)＋(4b－2)] ＝2(ex＋e－x－2)(ex＋e－x－2b＋2)．(i)当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x＝0时成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x>0，g(x)>0.(ii)当b>2时，若x满足20，所以当x∈(0，2)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减；x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增．所以f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，＋∞)．(2)由(1)知，当k≤0时，函数f(x)在(0，2)内单调递减，故f(x)在(0，2)内不存在极值点；当k>0时，设函数g(x)＝ex－kx，x∈(0，＋∞)．因为g′(x)＝ex－k＝ex－eln k，当00，y＝g(x)单调递增，故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点．当k>1时，得x∈(0，ln k)时，g′(x)<0，函数y＝g(x)单调递减；x∈(ln k，＋∞)时，g′(x)>0，函数y＝g(x)单调递增．所以函数y＝g(x)的最小值为g(ln k)＝k(1－ln k)．函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点．当且仅当解得e0，故f(x)在R上为增函数．(3)由(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c，而2e2x＋2e－2x≥2＝4，当且仅当x＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论：当c<4时，对任意x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c>0，此时f(x)无极值．当c＝4时，对任意x≠0，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－4>0，此时f(x)无极值．当c>4时，令e2x＝t，注意到方程2t＋－c＝0有两根t1，2＝>0，则f′(x)＝0有两个根x1＝ln t1，x2＝ln t2.当x1x2时，f′(x)>0.从而f(x)在x＝x2处取得极小值．综上，若f(x)有极值，则c的取值范围为(4，＋∞)．4.[2014·广州调研] 设函数f(x)＝x3－ax(a＞0)，g(x)＝bx2＋2b－1.(1)若曲线y＝f(x)与y＝g(x)在它们的交点(1，c)处有相同的切线，求实数a，b的值；(2)当b＝时，若函数h(x)＝f(x)＋g(x)在区间(－2，0)内恰有两个零点，求实数a的取值范围；(3)当a＝1，b＝0时，求函数h(x)＝f(x)＋g(x)在区间[t，t＋3]内的最小值．4．解：(1)因为f(x)＝x3－ax(a＞0)，g(x)＝bx2＋2b－1，所以f′(x)＝x2－a，g′(x)＝2bx.因为曲线y＝f(x)与y＝g(x)在它们的交点(1，c)处有相同的切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)，即－a＝b＋2b－1，且1－a＝2b，解得a＝，b＝.(2)当b＝时，h(x)＝x3＋x2－ax－a(a>0)，所以h′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)．令h′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝a>0.当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，a)a(a，＋∞)h′(x)＋0－0＋h(x)↗极大值↘极小值↗所以函数h(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(a，＋∞)，单调递减区间为(－1，a)，故h(x)在区间(－2，－1)上单调递增，在区间(－1，0)上单调递减．又函数h(x)在区间(－2，0)内恰有两个零点，所以有即解得0
