坐标系讲稿.docx

引言这一章是向量代数与空间解析几何，上一节我们学了向量 代数部分，介绍向量的概念及向量的某些运算，今天开始学 习空间解析几何部分空间解析几何的产生是数学史上一个划时代的成就 . 法 国数学家笛卡尔和费马均于十七世纪上半叶对此作出了开 创性的工作.我们知道，代数学的优越性在于推理方法的程 序化，鉴于这种优越性，人们产生了用代数方法研究几何问 题的思想，这就是解析几何的基本思想.要用代数方法研究 几何问题，就必须沟通代数与几何的联系，而代数和几何中 最基本的概念分别是数和点. 于是首先要找到 一种特定的数 学结构，来建立数与点的联系，这种结构就是 坐标系. 通过 坐标系，建立起数与点的一一对应关系，就可以把数学研究 的两个基本对象数和形结合起来、统一起来，使得人们既可 以用代数方法研究解决几何问题（这是解析几何的基本内 容），也可以用几何方法解决代数问题.本章中我们先介绍向量的概念及向量的某些运算，然后 再介绍空间解析几何，其主要内容包括平面和直线方程、 些常用的空间曲线和曲面的方程以及关于它们的某些基本问题. 这些方程的建立和问题的解决是以向量作为工具的 .正像平面解析几何的知识对学习一元函数微积分是不可缺少的一样，本章的内容对以后学习多元函数的微分学和积分学将起到重要的作用.以前我们在学习过程中介绍过几位数学家，牛顿，费马， 莱布尼茨，今天我想向大家介绍一位被被认为是解析几何之父 的人——笛卡尔。

请看屏幕介绍第一节 空间直角坐标系 本节将建立空间的点及向量与有序数组的对应关系， 引 进研究向量的代数方法，从而建立代数方法与几何直观的联 系.在空间取定一个点O和三个两两垂直的单位向量亍,］,k，就确定了三条都以o 为原点的两两垂直的数轴，依次记为x轴（横轴），y轴（纵轴），z轴（竖轴） ,都称为坐标轴，它们组成 一个空间直角坐标系，如图称为oxyz坐标系（或［o;Ij,k］）习惯上建立空间直角坐标时取右手系，即x,y,z三条轴的方向符合右手规则即右手握住 zz即以右手握住 轴，当右手的四个手指从正向”轴以厂角度转向正向『轴时，大拇指的指向就 是 轴的正向.三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面X轴及y轴所确定的坐标面叫xoy面，另两 个由y轴和z轴及轴z和x轴所确定的坐标面分别叫yoz面及zox 面.三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限，由 x 轴、y轴与z轴正半轴确定的那个卦限叫做第一卦限，其它第二、 第三、第四卦限，在xoy面的上方，按逆时针方向确定，第五至 第八卦限在 xoy 面的下方，由第一卦限之下的第五卦限，按逆时针方向确定八个卦限分别用字母（罗马数字）I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII 表示。

如图 任给向量r，对应有点M使OM = r，以OM为对角线，三条坐标轴为棱作出长方体 RHMK-OPNQ , 如图（看图说下面三行）有 r 二 OM 二 OP + PN + NM 二 OP + OQ + OR设 OP = xi, OQ = y j, OR = zk,贝U r 二 OM = xi + y j + zk转到下一屏）这样，给定向量r,就确定了点M及OP .OQ .OR三个向量,进而确定了 x、 y、 z 三个有序数；反之，给定三个有序数x、y、乙也就确定了向量r和点M.于是点M、向量 r 与三个有序数 x、 y、 z 之间有一一对应关系M o r = OM - xi + y j + zk o (x, y, z).定义有序数 x、有序数 x、y、z称为向量r在坐标系Oxyz中的坐标，记作 r = （x, y,z）y、z称为点M在坐标系Oxyz中的坐标，记作 M （x, y,z）向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点构成的向量OM・ 一个点与该点的向径有相同的坐标记号(x, y, z)既表示点M又表示向量OM °若 r = xi + yj + zk则可写为r = (x, y,z)即 xi + yj + zk = (x, y, z)上式左边称为向量 r的坐标分解式,右边称为向量的坐标式坐标x, y, z称为向量在三个坐标轴 上的分量,向量xi, yj, zk称为向量在三个坐标轴 上的分向量。

坐标轴和坐标面上的点的坐标有特征： 例如，如果点 M 在 yoz 面上，则 x=0;同样，在zox面上的点，y=0;在xoy面上的点，z=0.如果点M在x轴上，则y=z=0, 同样，在 y 轴上的点，有 z=x=0,在z轴上的点，有x=y=0•如点M为原点，则x=y=z=0.思考题 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ 练习题在空间直角坐标系中点 (-1,3, - 2 )关于原点的对称点是( 1，-3，2 )・向径:空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量• 一个点与该点的向径有相同的坐标• 记号(x, y,z)既表示点 M 又表示向量OM二 空间两点的距离空间两点M (x , y , z ), M (x , y , z )的距离公式1 1 1 1 2 2 2 2M M =〒(x - x )2 + (y - y )2 + (z — z)21 2 2 1 2 1 2 1 点A与B的距离AB ,就是向量~AB的模若aa 土 b =}，则}'九a(b , b , b )=九(a , a , a ),x y z x y z的九，使b = X a三、利用坐标作向量的线性运算a , a , b = b ,b ,by z x y z土 b , a 土 b , a 土 b① 定理:设向量a丰0，则向量b平行于a的充要条件是存在唯坐标表示为式(b ,b ,b ) = X(a ,a ,a ),即相当于对应的坐标成x y z x y z比例。

向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式a = { a , a ,a }, zb= { b ,xb, b}, yzxy―►a+b= { a+b,a + b, a +b}xxyyzz= ( a + b )i + (a + b ) j + ( a + b ) k ;x x y y z z―►a-b={a -b, a -b, a -b}x x y y z z f f f= ( a - b )i + ( a - b ) j + (a - b )k ;x x y y z zXa = {X a , Xa , Xa }xyz= (Xa )i + (Xa ) j + (Xa )k .x y z例3设A（x ,y ,z ）和B（x ,y ,z ）为两已知1 1 1 2 2 2点，而在AB直线上的点谄分有向线段AB^两部分AM^> 使它们的值的比等于某数九（九工一1），即AM =九，求分点的坐标MB四、向量的方向角与方向余弦的坐标表示式非零向量 的方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向向量模长的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为五、向量在轴上的投影与投影定理空间两向量的夹角的概念空间一点在轴上的投影空间一向量在轴上的投影关于向量的投影定理（ 1） 向量的投影与向量的坐标两个概念不加区分。

关于向量的投影定理（ 2）两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和.六、小结§1、空间直角坐标系1、空间点的坐标①坐标系I右手系〔卦限②点的坐标2、空间两点间距离空间两点M (x , y , z ), M (x , y , z )的距离1 1 1 1 2 2 2 2M M | = \； (x 一 x )2 + (y — y)2 + (z — z)21 2 2 1 2 1 2 1§2、向量及其加、减与数乘运算1、向量既有大小又有方向的量称为向量向径OM自由向量MM12① 模——向量的大小② 单位向量——模为 1 的向量③ 零向量——模为零的向量（方向任意）④ 向量的相等——模相等、方向相同的向量⑤ 向量的平行——方向相同或相反的向量2、向量的加减法① 加减法的平行四边形法则与三角形法则② 加减法的运算法则3、向量与数的乘法② 设a为向量，九为实数，则九a也是一个向量，其模|血| =|X|H，当 入〉0（入＜ 0）时，入a的方向与a相同（反）③ 数乘的运算法则④ 定理：设向量a丰0，则向量b平行于a的充要条件是存在唯一的九，使b =九a⑤ 若a丰0，则a0 = ±占为与a平行的单位向量。

a§3、向量的坐标1、向量在轴上的投影① 如图，称申为向量a与b的夹角，记为（a [b），其中0 ＜ 9 ＜冗② 向量在轴上的投影称A，为点A在轴u上的投影 称有向线段A 0'的值A，B '为向量AB在u上的投影，记为Prj AB = A'B' （投影）定理： Prj AB - AB cos 9u2、向量在坐标轴上的分量与向量的坐标如图，a = MM = P P + Q Q + R R1 2 1 2 1 2 1 2记为 a i + a j + a k = (x 一 x》+ (y — y )j +(z — zx y z 2 1 2 1 2 1其中i, j, k分别为x, y, z轴正向上的单位向量xyPP , Q Q , R R称为MM在x, y, z上的分量，a , a , a称为MM在12 12 12 1 ——2 x y z 1 2x, y, z上的投影，也称为向量M M的坐标1 2也可记为 a = MM = tz , a , a i=!x - x , y 一 y , z 一 z ｝1 2 x y z 2 1 2 1 2 1右 a = \i , a , a ] b = p , b , b 了，贝Ux y z x y z± b , a ± b , a ± b ， 九 a = 4 a ,九 a ,九 a 丿x x y y z z x y z3、向量的模与方向余弦如图，a = M M与x, y, z正向的夹角a, B , S称为a的方向角,2显然，a =a cos 以a =acya =acxTo申o sa , a , a② cos a, cos B , cos y = . x y方向余弦③ cos 2 a + cos 2 B + cos 2 y = 1④与a平行的单位向量ao = ±-lal,a , a L ± tos a, cos B , cos s }yz例 1、已知空间两点 M 2,2 ,M (1,3,0)，求MM的模、方向余弦，并求与212M M平行的单位向量。

12解：MM = J 1,1, -V1MM = — 1)2 + 12 +1 2v2cos aMM12MM+土 {cos a, cos§4、向量的数量积与向量积0为a与b的数量积，记为a - b，一、数量积(点乘)1、定义：若向量a, b的夹角为0，则称|a b cos艮卩a - b =|a |。