垂直平分线的定理.docx

知识要点详解K线段垂直平分线的性质(1)垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等定理的数学表示：如图1,已知直线m与线段AB垂直相交于点D,且AD二BD,若点C在直线m上，则AC=BC.定理的作用：证明两条线段相等(2)线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理(1)线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上定理的数学表示：如图2,已知直线m与线段AB垂直相交于点D, KAD = BD,若AC二BC,则点C在直线m上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上3、关于三角形三边垂直平分线的定理(1)关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点 的距离相等定理的数学表示：如图3,若直线i、j、k分别是AABC三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线i、j、k相交于一点0,且0A=0B=0C.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内 部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的 中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形 外部.典型例题：例1如图1,在AABC中，BC=8cm, AB的垂直平分线交AB于点D,交边AC于点E, ABCE的周长等于18cm,则AC的长等于 （ ）A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm例2 1）如图，AB=AC=14cm, AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果AEBC的周长是24cm,那么BC= 2） 如图,AB二AC二14cm, AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果BC二8cm,那么AEBC的周长是 3） 如图，AB=AC, AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,如果ZA=28度，那么ZEBC是 例3 已知：在AABC中，0N是AB的垂直平分线，0A=0C 求证：点0在BC的垂直平分线A例4如图7,在ZXAEC中，AC=23, AB的垂直平分线交AB 于点D,交BC于点E, AACE的周长为50,求BC边的长.角平分线上的点到这RR4、角平分线的性质定理角平分线的性质定理:个角的两边的距离相等。

定理的数学表示：如图4,已知0E是ZAOB的平分线，F是0E上一点，若CF丄0A于点C, DF丄0B于点D,则CF二DF.定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题;角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.5、角平分线性质定理的逆定理角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线 上.定理的数学表示：如图5,已知点P在ZAOB的内部，且PC丄0A 于C, PD丄0B于D,若POPD,则点P在ZAOB的平分线上.定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角 平分线注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系6、关于三角形三条角平分线的定理（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相 交于一点，并且这一点到三边的距离相等.定理的数学表示：如图6,如果AP、BQ、CR分别是AABC的内角ZBAC、ZABC、ZACB的平分线，那么:（Dap、bq、cr 相交于一点 i；②若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F,则 DI = EI=FI.定理的作用：①用于证明三角形内的线段相A等；②用于实际中的几何作图问题.（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图（1）会作已知线段的垂直平分线;例,在AABC中，ZC = 90 ,用直尺和圆规在AC上作点P,使P到A、B的距离相等（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）会作已知角的角平分线;B（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.例题:如图，已知角AOB和角AOB内两点M、N画一点P使它到 角AOB的两边距离相等，且到点M和N的距离相等。

典型例题：例1如图，AE平分ZBAC, EB丄AB于B, EC丄AC于C, D是AE上一点，求证：BD=CD例2 如图，已知ZACB=ZDEB=90 , BD平分ZABC, ED的延 长线交BC的延长线于点F,求证：AE=CF例3如图,LI、L2、L3是三条两两相交的笔直公路，先欲修建一个加油站，使 它到三条公路的距离相等，这个加油站的位置共有 处画出来)如图，0到ZXABC的三边AB、BC、CA的距离OF二0D二0E,若ZA=70 ,求ZBOCo例5 如图，ZB=ZC=90 , M是BC的中点，DM平分ZADC,求证：(1) AM 分ZDAB； (2) ZDMA二90B=120 , AB的垂直平分线交BCBENC综合训练1、如图，已知线段CD垂直平分线AB, AB平分CAD 问AD与BC 平行吗？请说明理由2、如图，在 AAEC 中，AB 二 AC, BC=12, ZB AC 边于点E, AC的垂直平分线交BC边于点No(1) 求AAEN的周长2) 求ZEA"的度数⑶判断AAEN的形状。