小学奥数之第14讲数字谜综合.doc

第14讲 数字谜综合内容概述各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题． 典型问题 1．ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字．已知ABCD+EFG=1993，问：乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少? 【分析与解】 因为两个数的和一定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小． A显然只能为1，则BCD+EFG=993， 当ABCD与EFG的积最大时，ABCD、EFG最接近，则BCD尽可能小，EFG尽可能大，有BCD最小为234，对应EFG为759，所以有1234×759是满足条件的最大乘积； 当ABCD与EFG的积最小时，ABCD、EFG差最大，则BCD尽可能大，EFG尽可能小，有EFG最小为234，对应BCD为759，所以有1759×234是满足条件的最小乘积； 它们的差为1234×759—1759×234=(1000+234)×759一(1000+759)×234=1000×（759—234)=525000．2.有9个分数的和为1，它们的分子都是1．其中的5个是,,,,另外4个数的分母个位数字都是5．请写出这4个分数． 【分析与解】 l一(++++)== 需要将1010拆成4个数的和，这4个数都不是5的倍数，而且都是3×3×7×1l的约数．因此，它们可能是3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693． 经试验得693+231+77+9=1010．所以，其余的4个分数是：,,,.3. 请在上面算式的每个方格内填入一个数字，使其成为正确的等式． 【分析与解】 1988=2×2×7×7l=4×497，+＝，在等式两边同时乘上，就得+＝．显然满足题意． 又+=，两边同乘以，就得+＝．显然也满足． +＝，+＝均满足. 4．小明按照下列算式： 乙组的数口甲组的数○1= 对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号他将计算结果填入表14—1的表中．有人发现表中14个数中有两个数是错的请你改正．问改正后的两个数的和是多少? 【分析与解】 甲组的前三个数0.625，，都是小于1的数，2与这三个数运算后，得5.05，4，4；不论减1还是加l后，这三个数都比2大，而这是2与小于1的数运算的结果，因此可以猜想方框内是除号．现在验算一下：2÷0.625=×==4.05；2÷=×=3；2÷=×==3；2÷3=. 从上面四个算式来看，圆圈内填加号，这样有三个结果是对的，而4是错的． 按照算式 乙组的数÷甲组的数+1…………………………* 2÷3+1=1，显然不为1.5，上面已认定3是正确的，因此，只有把2改为1.5，才有1.5÷3+1=1，而1.5÷0.625+l=3.4，1.5÷+1=3.25． 由此可见，确定的算式*是正确的．表中有两个错误，4应改为4，2应改为1.5，4+1=5+=6．改正后的两个数的和是6． 5．图14—3中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形．现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个项点上． (1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能，请给出填数方法：如果不能，请说明理由． (2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由． 【分析与解】 (1)无论怎样填法，都不可以使八个三角形顶点上数字之和相等． 事实上，假设存在某种填法使得八个三角形顶点上数字之和都相等，不妨设每个三角形顶点上数字之和为k． 在计算八个三角形顶点上数字之和时，大正方形四个顶点上每个数字恰好使用过一次；中正方形四个顶点上每个数字各使用过三次；小正方形四个顶点上每个数字各使用过二次． 因此，这八个三角形顶点上数字之和的总和为： 8k=(1+2+3+4)+3×(1+2+3+4)+2×(1+2+3+4)，即8k=60,k不为整数，矛盾，所以假设是错误的． (2)易知：不可能做到三角形的三个顶点上数字完全相同，所以三角形顶点上数字之和最小为1 +1+2=4，最大为3+4+4＝11． 而4～11共8个数，于是有可能使得8个三角形顶点上数字之和各不相同，可如下构造，且填法不惟一．图(a)和图(b)是两种填法． 6．图14—5中有11条直线．请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等．求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数．【分析与解】 表述1：设每行的和为S，在左下图中，除了a出现2次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有4S=(1+2+3+…+11)+a=66+a； 在右上图中除了a出现5次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有5S=(1+2+3+…11)+4a＝66+4a． 综合以上两式， ①×5-②×4得66-11a=0，所以a=6，则S=18． 考虑到含有*的五条线，有4*+(1+2+3+4+…+11)-t=5S=90．即4*-t=24，由t是1～11间的数且t≠*，可知*=7，而每行相等的和S为18.表述2：如下图所示，在每个圆圈内标上字母，带有*的圆圈标为x， 首先考虑以下四条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(x、d、b)，(j、e、c)，除了标有a的圆圈外，其余每个圆圈都出现了一次，而标有a的圆圈出现了两次，设每条直线上数字之和为S，则有： (1＋11)×11÷2+a=4S，即66+a=4S． 再考虑以下五条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(j、x、a)，(e、d、a)，(c、b、a)，同理我们可得到66+4a=5S． 综合两个等式，可得a为6，每条直线上和S为18． 最后考虑含x的五条直线：(x、h)，(x、g、f)，(j、x、a)，(x、d、b)，(i、x、c)．其中除了x出现了5次，e没有出现，其他数字均只出现了一次，于是可以得到： 66+4x－e=5S=90，即4x-e=24，由e是1—11间的数且e≠x可知x=7．即每行相等的和S为18，*所填的数为7． 7．一个六位数，把个位数字移到最前面便得到一个新的六位数，再将这个六位数的个位数字移到最前面又得到一个新的六位数，如此共进行5次所得的新数连同原来的六位数共6个数称为一组循环数．已知一个六位数所生成的一组循环数恰巧分别为此数的l倍，2倍，3倍，4倍，5倍，6倍，求这个六位数． 【分析与解】方法一：=，=，＝，＝，＝，＝。

对应有142857，285714，428571，571428，714285，857142，它们依次是142857的1、2、3、4、5、6倍． 且只用了1、4、2、8、5、7这6个数字，满足题意． 所以这个六位数为142857． 方法二：首先可以确定最小的六位数的首位为1，不然2*****的6倍就不是六位数，于是不妨设这个六位数为，那么6个六位数中必定存在一个数为. 而个位数字1，只能由1×1，3×7或9×9得到．但是只能对应为×(2—6)，所以只能是×3得到．即=×3． 于是，我们不难递推出d为5，c为8，b为2，a为4，所以这个六位数为142857．方法三：部分同方法二，=×3．那么有×10+l=(100000+)×3，解得=42857．所以这个六位数为142857．。