行列式的计算及克莱姆法则.ppt

行列式的展开行列式的展开 计算行列式的一种思路是化为三角形计算行列式的一种思路是化为三角形 行列式求值，另一种思路则是化为较低行列式求值，另一种思路则是化为较低 阶行列式求值，其依据就是行列式的展阶行列式求值，其依据就是行列式的展 开 定义定义1.4 在在n阶行列式阶行列式D中，若化掉元素中，若化掉元素 所在的第所在的第i行与第行与第j列，列，则称剩余元素构成的则称剩余元素构成的n-1阶行列式为元素阶行列式为元素 的余的余子式，记为子式，记为 ；并称；并称 为元素为元素 的代的代数余子式，记数余子式，记为为n阶行列式共有阶行列式共有 个元素，有个元素，有 个代数余子式个代数余子式 例例1 已知四阶行列式已知四阶行列式 ，写出元素，写出元素 的余子式的余子式 与代数余子式与代数余子式 。

解：解： ，，  对于三阶行列式对于三阶行列式三组同学分别计算三组同学分别计算第一组：第一组：第二组：第二组：第三组：第三组：结论：结论：定理定理1.2 n阶行列式阶行列式D等于它的任意一行（列）等于它的任意一行（列） 各元素与其代数余子式乘积之和，即各元素与其代数余子式乘积之和，即 计算计算n阶行列式时，只须应用其中一个关系式阶行列式时，只须应用其中一个关系式 例例2 已知已知4阶行列式阶行列式D中第二行的元素自左向右依中第二行的元素自左向右依 次为次为4，，3，，2，，1，它们的余子式分别为，它们的余子式分别为5，， 6，，7，，8，求，求4阶行列式阶行列式D的值解：解： 例例3 计算四阶行列式计算四阶行列式解：解： ========（按第2列展开） 例例4 计算四阶行列式计算四阶行列式 例例5 计算四阶行列式计算四阶行列式 例例6 计算计算n阶行列式阶行列式例例7 计算计算n阶行列式阶行列式 §1.4 克莱姆法则克莱姆法则 行列式的一个重要应用就是解线性方程组。

行列式的一个重要应用就是解线性方程组本节我们就从最简单的二元线性方程组入手，本节我们就从最简单的二元线性方程组入手，讨论如何运用行列式解线性方程组讨论如何运用行列式解线性方程组 对于二元线形方程组对于二元线形方程组当当 时，此线形方程组仅有唯一解时，此线形方程组仅有唯一解用行列式表示：用行列式表示：当当 时，此线性方程组的唯一解为时，此线性方程组的唯一解为（系数行列式）（系数行列式）克莱姆法则克莱姆法则 已知有已知有n个线性方程式构成的个线性方程式构成的n元元 线性方程组线性方程组令其系数行列式为令其系数行列式为 系数行列式中第系数行列式中第1，，2，，‥‥‥‥n列元素分别用线性列元素分别用线性方程组常数项对应替换后得到的行列式方程组常数项对应替换后得到的行列式分别记为：分别记为：‥‥‥此时，若此时，若 ，则方程组有唯一解，则方程组有唯一解例例1 解线性方程组解线性方程组解：解： ，故此方程组有唯一解，故此方程组有唯一解所以，该方程组的解为所以，该方程组的解为例例2 解线性方程组解线性方程组该方程组的解为该方程组的解为注意：注意：1 求出解后，一般应代回方程组检验求出解后，一般应代回方程组检验2应用克莱姆法则解线性方程组，计算量应用克莱姆法则解线性方程组，计算量 3 仍很大，后面我们会给出更一般的解仍很大，后面我们会给出更一般的解4 法。

法齐次线性方程组齐次线性方程组：：齐次线性方程组的解齐次线性方程组的解：：显然，所有未知量皆取零，则为齐次线性方程显然，所有未知量皆取零，则为齐次线性方程组的一个解，这个解称为组的一个解，这个解称为零解零解；；此外，若未知量的一组不全为零的值也是它的此外，若未知量的一组不全为零的值也是它的解，这个解称为解，这个解称为非零解非零解齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解，下面给出定理解，下面给出定理常数皆为零的线性方程组常数皆为零的线性方程组定理定理1.3 已知有已知有n个线性方程式构成的个线性方程式构成的n元齐次元齐次 线性方程组线性方程组如果有非零解，则系数行列式如果有非零解，则系数行列式D=0；；如果系数行列式如果系数行列式D=0，则有非零解则有非零解例例3 已知齐次线性方程组已知齐次线性方程组判断它有无非零解判断它有无非零解例例4 已知齐次线性方程组已知齐次线性方程组有非零解，求系数有非零解，求系数k的值。