（可编）段正敏主编《线性代数》习题解答(重庆大学版).docx

线性代数习题解答 1张应应 胡佩2013-3-1目 录第一章 行列式 1第二章 矩阵 22第三章 向量组得线性相关性 50第四章 线性方程组 69第五章 矩阵得相似对角化 91第六章 二次型 114附录：习题参考答案 129第一章 行列式1. 填空题：（1） 3421 得逆序数为 5 ； 解：该排列得逆序数为、（2） 517924 得逆序数为 7 ； 解：该排列得逆序数为、（3） 设有行列式=，含因子得项为 -1440， 0 ；解： ( 1)t (23154)a12a23a31a45a54( 1)35 2 6 8 3 1440( 1)t (24153)a12a24a31a45a53( 1)45 0 6 8 1 0所以含因子得项为 -1440 与 0 、（4） 若阶行列式 Dn(aij )a, 则D( a ij ) ；解：行列式中每一行可提出一个公因子，nD ( aij ) 1n(aij ) 1 a 、1 教材：段正敏，颜军，阴文革 :《线性代数》，高等教育出版社， 20105）设，则得根为 1， 2， -2 ； 解：就是一个 Vandermonde 行列式，f ( x) ( x1)(x2)( x2)( 2 1)( 2 2)(2 1) 0 得根为 1，2， -2、（6）设就是方程得三个根，则行列式30 ；解：根据条件有 x3px q( x x1 )( x x2 )( x x3)x (x1 x2x )x2ax x1 x2 x33比较系数可得： ， 再根据条件得：原行列式=x3x3 x33x x x p( x x x) 3q3 ( q) 0 、1 2 3 1 2 3 1 2 3（7）设有行列式 =0，则= 1， 2 ；x 2 3解： 1 x 00 x 1x2 3x2 ( x1)(x2) 0、（8）设，则多项式中得系数为 0 ；解：按第一列展开f (x)a11 A11a21 A21a31A31xA41 ，中最多只含有项，含有得项只可能就是a12a13 xxA x( 1)4 1 a x a41 22 24x a33a34x x a a a a a a x3 a a a a a a12 34 13 24 22 33 13 22 34 12 24 33不含项，中得系数为 0、（9）如果 =0 ，则 = 2 ；12346543122x002x65330033解：、（10） = -abcd ； 解：将行列式按第一行展开：(5 12)(6 3x) 0000ab0000c0000d0b 0 01 4a ( 1) 0 c 0 abcd 、0 0 d（11）如果 =1，则 = 1 ；A AT解：b01302c21111a 3 1a b c a 3b 3 c 3r 3 r1 35 2 4 1、r2（12）如 =2，则 = -16 ，= -4 ，= -4 ；2 r31 1 1a11a12a13a11a21a312122231 2 3122232 12 3a31a32a33a13a23a33解： A a a a ATa a a 22a11 2a12 2a12 2a132a 2a 2a 2a 2 2 2 2 2321 22 22 23 1 2 2 3 1 2 2 32a312a322a322a3381 2 2 1 2 38 0 A 162a112a122a13a21 a22 a233a113a123a13a21 a22 a23a31 a32 a332 1 23 1 2 32 1 23 1 2 32 1 2 2 3 1 3 1 2 32 1 2 2 3 2 1 2 2 1 2 3000a11a21a31a12a22a32a13a23a3321 按第一行展开2 AT41 4 T2（-1 ） A 4 、23（13）设阶行列式 =，且中得每列得元素之与为，则行列式中得第二行得代数余子式之与为=；a11a12 La1na11a12 La1na11a12 La1na21解：a22 La2n每行元素加到第二行b b Lb 1 1 L 1=bM M M M M M M M Man1an 2 Lannan1an 2 Lannan1an 2 Lann按第二行展开b A21A22 LA2n a 0b 0, 且A21A22 LA2n 0实际上，由上述证明过程可知任意行代数余子式之与A A L A a , i1,2,K,n 、i1 i 2 inb（14）如果 =1，则 = -1 ，=；解：令，则a11 a12 a13 a140 a22 a23 a24 1 1 10 a a aa11( 1) B 1a110,且 B 0a32 33 34 110 a420 a220 a32a43a23 a33a44a24a34 4 10 a42 a43 a44a11( 1)B a11 B 1a11 a12 a23 a24a22 a32 a42a a a BT23 33 43a24 a34 a44B 1 、a11（15）设有行列式，则元素得余子式 =，元素 2 得代数余子式 =；（16）设 =，得代数余子式，则0 ；解：方法一：可瞧成中第一列各元素与第四列对应元素代数余子式乘积之与，故其值为 0、1 2 3 1方法二：A142 A243 A344 A442 3 4 23 4 1 34 1 2 4推论10 、（17）设 =，得代数余子式，则0 ；解 ： A14A24A34A44a b cc b dd b ca b d11 推 论 40 、11（18）设5432x0000x00000000006f ( x)4 3 23 2 x2 x 0x 00 00 0，则得系数为 6 ；解：方法一：f ( x)54324 33 22 xx 02 x 0x 0 00 0 00 0 0546 32x4 33 22 xx 00 02x 000x00005 46 ( 1) 2方法二：只有一项非054f ( x)32432x32x2x 00 0x0000000t 5432161a15a24a33a42a51a66(1)10(1)26、x566x5综上所述：得系数为a110（19） 设 Db11 b12b21 b22M Mbn1 bn2KK L Ka12a21 a22M Mam1 am2b1n c11 c12b2n c21 c22M M Mbnn cn1 cn2KK L K K K LKa1ma2mMammc1m c2m Mcnm， 且 ，则=；a11解：方法一：令 Aa21Mam1a12a22 Mam 2LLa1ma2 mMamma ，L则, D2OBACmn1 A B1 abmn证明：根据行列式性质2 与 5，将行列式变成下三角行列式，得到：a11Aa21Mam1a12a22 Mam2LLLa1 ma2m Mamma1a21Mam1a2Mam2OLa1a2 L amaam255( 1) x 6xx00000000006x00000000006行列式、得变换与行列式得变换完全相同，得到：a1a21 a2M M Oam1D1c11c21am2 Lc12 Lc22 Lamc1m c2mb11 b21b12 Lb22 Lb1n b2nM M M M M Mcn1cn2 Lcnmbn1a1bn2 Lbnna21 a2M M OD2b11b21b12 Lb22 Lb1n b2nam1c11 c21am2 Lc12 Lc22 Lamc1m c2mM M M M M Mbn1bn2 Lbnncn1cn 2 Lcnm分别将、第一次按第一行展开（变成第一行） ，。