几类多项式系统的极限环分布或相图分类.pdf

致谢我衷心感谢我的导师刘正荣教授刘老师以他的渊博的学识和人格魅力， 把我带入了非线性动力系统研究的现代领域， 更重要的是培养了我严谨的治学态度和做人的道理， 这些将对我今后的科研和教学起到巨大的影响，使我终身受益衷心感谢李继彬教授对我的关心和指导，他的活跃的数学思想和深厚的理论功底使我受益非浅. 此外，我要感谢我的师母唐民英副编审，唐老师不仅在计算机方面指导我学习，而且在学习上和生活上也给予了我许多帮助，在此表示真诚的感谢.衷心感谢老校长王学仁教授， 他为我提供了良好的学习环境，还时时给予了我有益的教诲.同时我要感谢云南大学数学系的领导李永昆教授、 赵晓华教授和李耀堂教授对我的辛勤培养. 感谢三年中给我上过课的张荣华教授和汪林教授.另外，我要感谢姜涛， 刘云， 刘海英等同学给予我的许多帮助和关心.最后， 我要感谢的父母， 没有他们的支持， 我不可能顺利完成学 业 摘要本论文由 三部分组成 首先， 运用 定性分析方法证明了九个三次扰动哈密顿系 统具有相同的 极限环分布以 及在一定的 参数 条件下有1 1 个极限环; 利用数值计算给出了每个 极限环的确切位置. 换司话说， 我们用两种方法证明了 九个扰动系统具有1 1 个极限环以 及其分布. 这两种方法得出的结论是相同的。

其次， 用定t 分析和分支方法研究 一类四 次系统: Y ( J 一 ) ( ， 2 一 R ) ,一 二 (( x 一 O f) ( X 2 一 A其中a > 0 , fi > 0 且夕 笋 a2 参 数 空 间 得 到 划 分 该系 统 具有8 类 相图 . 具体相图 被给出数值模拟进一步验证了 理论结果的正确.最后，用同样的方法研究另一类四次系统二 ， =Y ( y 一 a ) ( y , 一 fl ) ,， ‘ =- x ( 二 一 Ax , 一 ) ，a > 0 渭> 0 且Q 54 a2, a 笋 尸 在一 定 参数 条件下 给出 了 该系 统的 部分关健词: 极限环， 分支， 三次哈密顿系 统， 四 次系统， 相图， 定t 分析.Ab s t r a c tT h e p a p e r i s m a d e o f t h r e e p a r t s . F i r s t , u s i n g t h e m e t h o d o f q u a li t a t i v e a n al y s i s w e s h o w t h a t n i n e p e r t u r b e d c u b i c H a m i l t o n i a n s y s t e m s h a v e t h e s a m e d i s t r i b u t i o n o f l i m i t c y c l e s a n d 1 1 l i m i t c y c l e s f o r s o m e p a r a m e t e r s . T h e a c c u r a t e l o c a t i o n o f e a c h li m i t c y c l e i s g i v e n b y n u m e r i c a l e x p l o r a t i o n . I n o t h e r w o r d s , w e d e m o n s t r a t e e x i s t e n c e 证1 1 l i m i t 守d e s a n d t h e ir d i s t r i b u t i o n i n n i n e p e r t u r b e d s y s t e m s 加t w o w a y s . T h e r e s u l t s o b t a i n e d i n t w o w a y s a r e t h e s a m eS e c o n d , t h e m e t h o d s o f q u a li t a t i v e a n 吻 s i s o f d i ff e r e n t i a l e q u a t i o n a n d b i f u r c a t i o n a r e e m p l o y e d t o s t u d y a c l a s s o f q u a r t i c s y s t e m s f x , t Y :二 ， ( ， 一 。

) (Y ' 一 B ) ,=一 二 伽一 ) ( 二 2 一 1} } >w h e re >0 , 刀 >0 a n d 声 尹护. T h e p a r a m e t e r s p a c e i s p a r t i t i o n e d . T h e p h a s e p o r - t r a i t s a re d i v i d e d i n t o e ig h t c l a s s e s . T h e c o n c r e t e p h a s e p o r t r a it s a r e g i v e n . N u m e r i c a l s t i mu l a t i o n s h o w s t h e c o r r e c t n e s s o f t h e t h e o r y r e s u l t .T h i r d , w e e m p l o y t h e a b o v e s a m e m e t h o d s t o s t u d y a n o t h e r c l a s s o f q u a r t i c s y s t e m s f子 ’ = Y (Y 一 a ) (Y ' -LN = - x l x一P 八 x - 一a 儿w h e r e a>0 , !g >0 a n d 0 0 a ' , a 54尸. S o m e c o n c r e t e p h a s e p o r t r a i t s a r e g i v e n u n d e r s o me c o n d i t i o n sK e y Wo r d s : l i m i t c y c l e , b i f u r c a t i o n , c u b i c H a m il t o n i a n s y s t e m , q u a r t i c s y s t e m , p h a s e p o r t r a i t , q u a l i t a t i v e a n al y s i s .1 I n t r oduc t i o nI t is w e ll - k n o w n t h a t i n H il b e r t 's a d d r e s s [ 1 ] t o t h e I n t e r n a t i o n a l C o n g r e s s o f M a t h e - m a t i c s i n P a r i s i n 1 9 0 0 , h e r a i s e d t w e n t y - t h r e e p r o b l e m s 还w h i c h t h e 1 6 t h p r o b l e m i s s t i ll u n s o l v e d o p e n p r o b l e m~n o w . T h e H i l b e r t ' s 1 6 t h p r o b l e m c a n b e d i v i d e d i n t o t w o p a r t s . T h e fi r s t p a r t i s t h e s t u d y s u b j e c t o f s p e c i a li s t s o f t h e r e al a l g e b r a i c g e o m e t r y . T h e s e c o n d p a rt p o s e s t h e q u e s t i o n o f t h e m a x i m al n u m b e r a n d r e l a t i v e p o s i t i o n o f t h e l i m i t c y c l e s o f t h e p o l y n o m i al s y s t e m dxa t 一 二 (· ，， )，dya t 一 Q n‘一 ， ，，( 0 . 1 )w h e r e P a n d Q a r e p o l y n o m i a l s o f d e g r e e n . F o r t h is p r o b l e m L l o y d [ 2 ] s t a t e d t h a t “ s t r i k i n g a s p e c t i s t h a t t h e h y p o t h e s i s i s a l g e b r a i c , w h i l e t h e c o n c l u s i o n i s t o p o l o g i c al . “L e t 瓜 b e t h e m a x i m al p o s s i b l e n u m b e r o f l i m it c y c l e s o f ( 0 . 1 ) . T h e 凡 i s c a ll e d t h e H i l b e r t n u m b e r . I t i s s t i ll a n o p e n p rob l e m w h e t h e r 瓜 i s fi n i t e , e v e n f o r t h e s i m p l e s t c a s e 。

2 . D u l a c [3 ] c o n j e c t u r e d t h a t a p o l y n o m i a l s y s t e m h a v e b u t a fi n i t e n u m b e r o f li m i t c y c l e s . ll 'y a s h e n k o [4 ] a n d E c a l le [ 5 ] r e s p e c t iv e l y p r o v e d t h a t D u l a c 's c o n j e c t u r e i s r i g h t . I n t h e m i d d l e o f t h e 1 9 5 0 s , P e t r o v s k i i a n d L a n d is [6 ,7 ] c l a i m e d t h a t H 2 =3 . H o w e v e r , i n t h e e a r l y 1 9 6 0 s ， t h e ir c o n c l u s i o n w a s d i s p r o v e d 场S . P . N o v ik o v . A n d i n 1 9 8 0 S h i 阁t o o k a c o n c r e t e e x a m p l e t o p r o v e t h e e x i s t e n c e o f f o u r l i m i t c y c l e s f o r a p l a n e q u a d r a t i c s y s t e m . A t t h e s a m e p e r i o d , C h e。