第八章 经典力学的哈密顿理论之六.doc

四．哈密顿-雅可比方程由 选出适当的 可以使方程的求解方便简单如何选取，也就是说通过什么样的正则变换可以使的结构简单？最简单的因该为：由正则变换：因为：最主要的问题是使的这种变换是否存在，也就是母函数是否能够满足下面等式：我们取第二类母函数：并且由，则：将上述条件代入：得这是关于的一阶偏微分方程，积分后有一个独立的积分常数如果能求解上式中的，就可以使，从而得到正则方程的解，也就是说如果我们能求出那么我们就可以构建出一个新的，并且使求解上面的方程我们知道函数都是以和的形式出现的，若是方程的解，则：也一定是方程的解因此，我们有：哈密顿-雅可比方程称为哈密顿主函数一个偏微分方程的完全解所包含的独立积分常数的数目与函数自变量的数目是相同的上面的主函数中共有 个变量，其完全解应该有个独立的常数而：一个是常数 ， 其余的都是中的个 上面由正则变换的思想我们可以解得正则方程，但是这其中也存在着困难，就是说将这个困难转移到了求解哈密顿-雅可比方程上来了但是，这也是求解正则方程的一个途径的物理意义：因为：所以：由：得：Action 哈密顿作用量不定积分 是不确定的哈密顿作用量，所以又称为哈密顿作用函数。

哈密顿-雅可比方程的求解：令：即：一个纯力学问题就属于这一类方程的解：式中：与时间无关，称为哈密顿特征函数而：由能量守恒定律：比较上面两式：又因为：所以：则：这是一个关于的一阶偏微分方程，从这个方程中解得后，代入可以得到为常数的哈密顿-雅可比方程的解假设我们已经求得了 的解，那么这个解与正则方程以及体系的运动轨道之间的关系是我们感兴趣的1） 是个广义坐标的函数，因此方程：应包含着个常数，但是在中我们已经把能量作为一个独立的常数，因此中的个独立常数中一定有一个为，令：则： 由：得：即：如果取第二类母函数：则新坐标：证明：把正则方程的完全积分和体系的轨道方程与直接联系起来（1） 轨道方程：由：得：上式为 个不含时间的代数方程，联系着个，因此是体系的轨道方程例如开普勒问题中，我们取 为广义坐标，代入：这是两个曲面方程，这两个方程的交线就是粒子运动的轨道（2） 坐标的变化率：由：得,因为,所以：代入：则：将上式代入：得：上式中的量纲与时间的量纲相同，令：所以：联立下面方程：上述方程共有个代数方程，对应着个广义坐标因此得到：即为坐标运动规律3） 动量运动规律：将代入上式：对于为常数的力学体系，只要我们得到了：的解 则力学体系的轨道和正则坐标、正则动量完全积分就完全确定了。