平行四边形的判定教案.doc

第20章 平行四边形的判定内容综述本章知识概览 四边形是我们日常生活和生产实践中，应用广泛的又一种基本几何图形，它是在学习平行线、三角形等知识的基础上进一步深化和提高，是今后学习其他几何知识的基础． 本章内容包括平行四边形的判定；矩形、菱形、正方形等几种特殊平行四边形的判定；等腰梯形的判定等几部分．本章首先通过回顾平行四边形的性质，由其性质引出了判定方法，在此基础上，引出了矩形、菱形、正方形等特殊平行四边形的判定，之后介绍了等腰梯形的判定与应用． 本章的重点是掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关判定方法，平行四边形与各种特殊平行四边形之间的联系和区别；难点是相关几何问题的证明．网络构建学法点津 在探索平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判别条件时，应积极动手操作和实验，在动手操作过程中进行总结、归纳，并加以应用．如把矩形看成是由平行四边形的一边不动同时旋转其他三边使其中一角变为直角得到的；菱形是由平行四边形一边平移使相邻两边相等得到的；正方形是由菱形三边旋转使一角变为直角得到的．这些图形既继承了原图形的性质又发展了新内容，这就要求我们在学习时要用运动变化的观点观察、分析问题，不断发现和总结新问题． 研究总结平行四边形的判定方法时，可按边、角、对角线几方面，体会分类讨论的思想；在学习矩形、菱形、正方形判定时可与平行四边形对比去学，采用类比迁移的思想方法；在解决涉及梯形的问题时通常要把梯形转化为平行四边形或三角形的问题，准确添加辅助线是关键，理解和运用化归的思想和方法． 在几何问题的证明中既要训练我们的综合分析、论证推理能力，又要加强我们的逻辑思维能力，学会利用由特殊到一般及由一般到特殊初步的辨证思想及方法技巧．20．1 平行四边形的判定预习导航学案激活思维1．小明想从一个平行四边形的纸片上剪三个三角形．要求：其中两个三角形的面积相等，第三个三角形面积是这两个三角形面积的2倍．他能实现愿望吗?(如图20一1—1)若能，请至少画出三种；若不能，给出合理的解释．你认为还有其他分法吗?自己试试．2．两组对边分别________的四边形是平行四边形．3．平行四边形的两组对边分别___________；平行四边形的一条对角线分平行四边形为______的两个三角形．两条对角线___________；平行四边形的每一组对角_____________4．现有长短不一的两根木条，如何摆放移动，使木条的四个端点所在的位置构成一个平行四边形? 小明想了想动手摆放，移动操作拼成了如图20一l一2所示的三幅图形，并给出了部分说明．把两根术条 把两根小条一个端点 把两根木条钉成的中点固定 固定成—定角度，再． ∠ABC，然后移 移动，使木条片AB 动使点A落在原 与原来位置上BA重 来点C处，点C合 落在原点A处你认为小明的做法正确吗?如正确，请给出依据，如不正确，说明理由．5．平行四边形的判别条件： (1)两组对边分别_________； (2)两组对角分别__________； (3)一组对边____________； (4)两条对角线____________6．已知四边形ABCD，下列条件：(1)AB∥CD；(2)BC∥AD；(3)AB=CD；(4)BC=AD；(5)∠A=∠C；(6)∠B=∠D．任选其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有 ( ) A．4种 B．9种 C．13种 D．15种提示：在所有的组合中，逐一排查看哪一组符合平行四边形的判定条件，注意不要漏掉正确的条件．但所选条件一定要符合平行四边形的判定条件，也不能多选不符的． 信息鼠标1．如图20一1—3所示．2．平行3．平行且相等面积相等(或全等) 互相平分 相等4．三者都正确． 图(1)的依据是对角线互相平分； 图(2)的依据是一组对边平行且相等：(∠CBA=∠BAC'，所以BC∥AC'，而AC=AC')． 图(3)的依据是两组对边分别相等．(变换后有AB=CB'，BC=AB')5．(1)平行(或相等)(2)相等(3)平行且相等(4)互相平分6．B六个条件，两两组合有15种．成立的情形有： a．(1)与(2)一两组对边分别平行； b．(3)与(4)一两组对边分别相等； c．(5)与(6)一两组对角分别相等； d．(1)与(3)，(2)与(4)一 一组对边平行且相等；e．(1)与(5)，(1)与(6)，(2)与(5)，(2)与(6)一 一组对边平行，一组对角相等．互动研学教练教材研学一、平行四边形的有关概念（如图20－1－4） 1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．四边形ABCD是平行四边形 2．对角线：平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线．AC为对角线． 3．平行四边形的表示法：四边形ABCD是平行四边形，记作“□ABCD'’，读作“平行四边形ABCD”． 注意：(1)表示平行四边形四个顶点的字母一定要按顺序写，不能颠倒位置；(2)运用定义和性质为证明线段或角相等提供了方便；（3)常见的辅助线是连接平行四边形的对角线，把未知问题化为三角形问题．二、平行四边形的性质（如图20－1－5） 1．从边上看：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形两组对边分别相等．在平行四边形．ABCD中： AD∥BC． AB∥CD． AD=BC．AB=CD． 2．从角上看：平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补． 在平行四边形4BCD中： ∠ABC=∠CDA，∠BAD=∠BCD， ∠ABC+∠BAD=180°． ∠CDA+ ∠BCD=180°． 3．从对角线上看：平行四边形的两条对角线互相平分． 在平行四边形ABCD中：OA=OC，OB=OD．三、平行四边形的判定方法： 1．按边：(1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 如图20—1—6，AD∥BC，AD=BC四边形ABCD是平行四边形． (2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 如图20—l一6，AD=BC，AB=CD四边形ABCD是平行四边形． (3)两组对边分别平行的四边形是平行四四边形 如图20一l一6，AD∥BC，AB∥CD四边形ABCD是平行四边形． 2．按角： 两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 如图20—1—6，∠ABC=∠CDA，∠BAD=∠BCD四边形ABCD是平行四边形． 按对角线： 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形． 如图20—1—6，OA=OC，OB=0D四边形ABCD是平行四边形． 注意：学习时要注意弄清什么时候用性质，什么时候用判定．用哪一个判定条件，要根据具体问题，结合给出的条件，进行全面综合分析，灵活的运用．老师：同学们，关于平行四边形的判定，除了我们学习过的以上方法外，还有什么其他方法吗?小弘：一组对边平行另一组对边相等的四边形也是平行四边形．小哲：一组对边平行且有一组对角相等的四边形也是平行四边形．老师：对于他们两人的说法，同学们有什么不同见解?小文：小弘说得不对，小哲说的对．理由是： 如图20—1—7(1)，虽然AB∥CD，AD=BC，但是四边形ABCD显然不是平行四边形；小哲的理由是： 在四边形ABCD中， 若AB∥CD，∠ABC=∠CDA成立， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD=180°． ∵ ∠ABC=∠CDA． ∴∠CDA+∠BCD=180°． ∴AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形 老师：这又是一种新的判别四边形ABCD是平行四边形方法．请同学们记住。

四、平行四边形知识的应用：1．运用平行四边形的性质求角的度数，线段的长度，证明线段相等或倍分． 如图20—1—8，小华要测量学校圆形花坛的直径AB的长，他制订了以下方案，在AB外选一点C，连接AC、BC，再找到AC和BC的中点，量出两中点的距离DE，就可以求出AB的长．小华的方案具有可行性，其依据是三角形的中位线线平行于底边，且等于底边的一半．这一依据正是平行四边形知识的应用． 2．先判定一个四边形是平行四边形，然后再用平行四边形的性质解决某些问题．右栏例4就是这一问题的体现． 本节的易错点是在判定的过程中，使用条件上的错误． 五、探究活动我们学习了多种平行四边形的判定方法，方法越多，证题的思路越广． 问题：在四边形中，如果有一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形吗? 分析：要说明四边形ABCD是平行四边形，就要看两条对角线是否互相平分；若不是平行四边形就可以举出反例． 探究：如图20一l一9，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于点O，且OB=OD．在△OAB和△OCD中，由AB∥CD，得∠ABO=∠CDO，∠BAO=∠DCO，OB=OD，则△OAB≌△OCD，从而OA=OC，所以四边形ABCD是平行四边形． 结论：在四边形中，如果有一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线，那么这个四边形是平行四边形．点石成金例1．已知，如图20—1－10，四边形ABCD为平行四边形，∠A+∠C=80°，平行四边形ABCD的周长为46 cm，且AB一BC=3 cm，求平行四边形ABCD的各边长和各内角的度数．分析： 由平行四边形的对角相等，邻角互补可求得各内角的度数；由平行四边形的对边相等，得AB+BC=23 cm，解方程组即可求出各边的长。

解：由平行四边形的对角相等，∠A+∠C=80°，得∠A＝∠C＝40°又DC∥AB，∠D与∠A为同旁内角互补， ∴∠D=180°一∠A＝180°一40°＝140°．∴∠B＝140°．由平行四边形对边相等，得AB＝CD，AD=BC．因周长为46 am，因此AB十BC＝23 cm，而AB一BC=3 cm，得AB=13 cm，BC=10 cm，∴ CD=13 am．AD=10 cm．名师点金：注意充分利用性质解题．例2．如图20—1—11，在平行四边形ABCD中，E、F是直线BD上的两点，且DE=BF，你认为AE=CF吗?试说明理由．分析：本题主要考查平行四边形的性质．要证明AE=CF，可以把两线段分别放在两个三角形里，然后证明两三角形全等． 解：AE=CF． 理由：在平行四边形ABCD中， ∵AB=CD且AB∥CD．∴∠ABE=∠CDF． ∵DE=BF，∴ DE+BD=BF+BD，即BE=DF：∴△ABE≌△CDF ∴ AE=CF 名师点金：利用平行四边形的性质解题时，一般要用到三角形全等等知识，此题还可以证明其他三角形全等来证明两线段相等．例3．如图20—l—12所示，在平行四边形ABCD中，EF∥AB。

HG∥ ADEF与GH相交于点O，则该图中平行四边形的个数共有 ( ) A．7个 B．8个 C．9个 D．11个解析：本题主要考查平行四边形的定义．两条平行线把平行四边形ABCD分成8个(不合原来)四边形，看这些四边形是否都符合平行四边形的定义，∵ EF∥AB，HG∥AD。