第十二章 动量矩定理.pdf

1第十二章 动量矩定理 第十一章阐述的动量定理建立了作用力与动量变化之间的关系，揭示了质点系机械运动规律的一个侧面，而不是全貌例如，圆轮绕质心转动时，无论它怎样转动，圆轮的动量都是零，动量定理不能说明这种运动的规律动量矩定理则是从另一个侧面，揭示出质点系相对于某一定点或质心的运动规律本章将推导动量矩定理并阐明其应用 12-1 转动惯量，平行轴定理 1．转动惯量 质点系的运动，不仅与作用在质点系上的力有关，还与质点系各质点的质量其及分布情况有关转动惯量（ Moment of inertia）是描述质点系质量分布的又一个特征量 刚体对轴 z 的转动惯量，是刚体内各质点的质量 mi与它到该轴的垂直距离 rzi的平方的乘积之和，记作 Jz，即 Jz = 2ziirm∑（ 12-1） 如果刚体的质量是连续分布的，则可用积分表示 Jz = 2dMrm∫（ 12-2） 式中积分号下 M 表示积分范围遍及整个刚体 由（ 12-2）式可见，转动惯量恒为正值，它的大小不仅和整个刚体的质量大小有关，而且还和刚体各部分的质量相对于转轴的分布情况有关它是由刚体的质量，质量分布以及转轴位置这三个因素共同决定的，与刚体的运动状态无关。

在法定计算单位中，转动惯量的常用单位是千克·米2（ kg· m2） 刚体对某轴 z 的转动惯量 Jz与其质量 M 的比值的平方根为一个当量长度， 称为刚体对该轴的回转半径（ Radius of gyration） ，即 2,zzzzMJMJρρ == （ 12-3） 必须注意：回转半径不是物体某一部分的尺寸，它只是在计算物体的转动惯量时，假想地把物体的全部质量集中到离轴距离为回转半径的某一点上，这样计算物体对该轴的转动惯量时，就简化为这个质点对该轴的转动惯量 2．简单形状均质刚体的转动惯量 形状规则的均质刚体的转动惯量可以利用式 （ 12-2）计算 （ 1）均质细直杆：如图 12-1 所示均质细直杆，质量为 m，长为 l，建立坐标系如图在直杆上取长为 dxA Oyx xl dx图 12-1 2的微段，作为质点看待，其质量 dm = dmxl，此质点到 z 轴的距离为 x，则 OA 杆对 z轴的转动惯量，根据式（ 12-2）得 2201d3lzymJJ xx mll== =∫（ 2）均质矩形薄板：质量为 m，边长分别为 b 和 h 的均质薄板，如图 12-2 所示。

取一平行 x 轴之细条，其宽度为 dy因该细条与 x 轴之距离均为 y，则该细条对 x 轴的转动惯量为 2dmy yh⋅ 所以，均质矩形薄板对 x 轴的转动惯量为 22221d12hhxmJyymhh−==∫类似地，对 y 轴的转动惯量为 2112yJmb= （ 3）均质等厚圆盘：质量为 m，半径为 R 均质等厚薄圆盘，如图 12-3 所示将圆盘分为很多同心细圆环，半径为 r，宽度为 dr令圆盘单位面积的质量为 ρ ，则圆环对过圆心 O 且垂直于圆盘平面的轴 z 的转动惯量为 ()232d 2 drr r r rπρ πρ= 由此，圆盘对 z 轴的转动惯量为 34012d2RzOJ JrrRπ ρπρ== =∫但圆盘质量 m=2Rπρ ，所以 212zOJ JmR==3．平行轴定理 转动惯量与轴的位置有关，但在一般工程手册中所给出的大都只是刚体对通过质心 C 轴（质心轴）的转动惯量对于与质心轴平行的轴的转动惯量的计算，可以应用下面的定理——转动惯量的平行轴定理 定理 刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即 2z' zCJJMd=+ （ 12-4） 证明： dyybOyx h 图 12-2OdrR 图 12-3 3设有一刚体，质量为 M， z 轴通过质心 C， z′轴与 z 轴平行且相距为 d，取 x、 y轴如图 12-4 所示。

现研究刚体对 z 轴和 z′轴的转动惯量之间的关系 刚体内任一点 Mi的质量 mi，它距 z 轴和 z′轴的距离分别为 ri和ir′由转动惯量的定义，刚体对于 z′轴的转动惯量可表示为 ()22222 22ziii iii i iJmrmx y dmx y yd di′′=⎡⎤=+−⎣⎦⎡ ⎤=+−+⎣ ⎦∑∑∑整理得 ( )∑ ∑∑+−+=′2222 dmymdyxmJiiiiiiz上式中 ()22 2 2ii i zC imx y J md Md+= =∑∑据质心坐标公式 ii Cmy My=∑因 yC = 0，故∑= 0iiym 把上述这些项代入zJ′中得 2zzCJJMd′=+ 证毕 表 12-1 给出了一些常见均质刚体的转动惯量和回转半径的计算公式，以备查用 例 12-1 一摆由一均质杆及一均质圆球刚连而成如图 12-5 所示均质杆质量为m1，圆球质量为 m2，半径为 r试计算摆对于通过 O 点并垂直于杆的 z 轴的转动惯量 解 以 Jz1和 Jz2分别表示杆与球对于 z 轴转动惯量，则摆对于 z 轴的转动惯量为两者之和，即 21 zzzJJJ += 21131lmJz= 而 ()2222222215zCJJmd mrm r=+ = + + 于是 ()22222115231rmrmlmJz+++= ir′Cy zdriMi ziyixi O′z′( y′) x′Ox图 12-4AOrzy xl图 12-5 1表 12-1 转动惯量 匀质物体 简图 转动惯量 回转半径 细直杆 0≈xJ 2121lMJJzy== 0≈xρ lzy63==ρρ 矩形薄板 2121MbJx=2121MaJy=( )22121baMJz+=bx63=ρay63=ρ()22361baz+=ρ长方体 ( )22121cbMJx+= ( )22121acMJy+= ( )22121baMJz+= ()22361cbx+=ρ ()22361acy+=ρ ()22361baz+=ρ 薄圆盘 241MrJJyx== 221MrJz= ryx21==ρρ rz22=ρ 圆柱 ( )22312lrMJJyx+== 221MrJz= ()223361lryx+== ρρrz22=ρ C x z yl b C x z y l y c z xa b x z y rC C r z y x l 2空心圆柱 ==yxJJ( )[ ]22221312RrrM++ ( )()[]lrrMrrMJz2221222121+=+=ρπ()()2221222212213961rrlrrzyx+=++==ρρρ正圆锥体 ( )⎟⎠⎞⎜⎝⎛==+==hrMMrJhrMJJzyx2222311032320ρπ()22235101hryx+== ρρrz30101=ρ 实心球 ⎟⎠⎞⎜⎝⎛====323452rMMrJJJzyxρπrzyx1051=== ρρρ 球壳 232MrJJJzyx=== rzyx66=== ρρρ 注： M——物体的质量， C——质心， ρ ——密度。

例 12-2 计算均质正圆锥体（见图 12-6）对其底面直径的转动惯量已知圆锥体质量为 M，底圆半径为 R，高为 h 解 把圆锥体分成许多厚度为 dz 的薄圆片， 这薄圆片的质量为 dm =2drzρπ （式中 ρ 为圆锥体的密度， r 为薄圆片的半径） 圆锥体的质量为 M= hR231πρ 这薄圆片对其自身直径的转动惯量可查表知为21d4rm，由几何关系可知， ()zhhRr −= 于是薄圆片对 y 轴转动惯量 dJy为 r2C z y x l r1r C z y x z y x rr z y x CO h 3h/ 3() ()424222 22 2 211 1ddd d d44 4yRRJrmzmrz rz hz hzzzhhρπ ρπ⎡ ⎤⎛⎞=+=+ = −+−⎜⎟ ⎢ ⎥⎝⎠⎣ ⎦因此，整个圆锥体对于 y 轴的转动惯量为 () ()()424220222221d43323201020hyRRJhzhzzhhRh h MR Rhρπρπ⎡⎤=−+−⎢⎥⎣⎦⎛⎞=+=+⎜⎟⎝⎠∫12-2 质点和质点系的动量矩 如同力矩一样， 质点和质点系的动量也可以取矩， 描述质点和质点系的转动特征。

动量矩（ Moment of momentus）和动量一样，也是度量物体机械运动的一种物理量 1．质点的动量矩（ Moment of momentum of a particle） 设质点某瞬时的动量为 mv，对固定点 O 的矢径为 r ，如图 12-7 所示质点的动量对固定点 O 的矩为一矢量，定义为质点对固定点 O 的动量矩，记为 ()0mMv，即 ()0mmMvrv=× （ 12-5） 类似于静力学中力对轴之矩，可得到动量 mv 对各直角坐标轴之矩，即 () ( )() ( )() ()xzyyxzzyxM mmyvzvM mmzvxvM mmxvyvvvv⎫=−⎪⎪=−⎬⎪=−⎪⎭（ 12-6） 类似力矩关系定理，质点对 O 点的动量矩在通过 O 点的任意轴上的投影，等于质点对该轴的动量矩例如： ( ) ( )0 zzmMmMv v=⎡⎤⎣⎦（ 12-7） 2．质点系的动量矩（ Moment of momentum of system of particles） 质点系内各质点对固定点 O 的动量矩的矢量和，称为质点系对点 O 的动量矩，用 Lo表示，则有 ( ) ( )oommL Mv r v==×∑∑（ 12-8） OR r z y xdz h z图 12-6 OM (mv)M z y x zyxr mv 图 12-7 4类似地也可得到质点系对各坐标轴动量矩的表达式 () ( )() ( )() ()xx zyyy xzzz yxLMm myvzvLMm mzvxvLMm mxvyvvvv⎫==−⎪⎪⎬⎪==−⎪⎭∑∑∑∑（ 12-9） 同样，质点系对 O 点的动量矩在通过 O 点的任意轴上的投影，等于质点系对该轴的动量矩。

例如： [ ]ozzLL = （ 12-10） 在法定计量单位中，动量矩的常用单位是牛·米·秒（ N· m· s） 3．定轴转动刚体的动量矩 设刚体以角速度 ω绕固定轴 z 转动，如图 12-8 所示对于刚体内任一质点 Mi，其质量为 mi，转动半径为 ri，动量iim v 于是质点 Mi对轴的动量矩为 2ziiiiilmvrmrω== 而整个刚体对 z 轴的动量矩为 ∑∑∑===22iiiizzrmrmlL ωω 因为∑=ziiJrm2，是刚体对 z 轴的转动惯量，故 ωzzJL = （ 12-11） 即，定轴转动刚体对于转轴的动量矩，等于刚体对于转轴的转动惯量与角速度之乘积Lz的正负号与 ω的正负号相同 例 12-3 图 12-9 所示一复摆以角速度 ω绕 O 轴转动已知均质杆 OA 长为 l，质量为 m1，均质圆盘 C2的半径为 r，质量为 m2，试求复摆对 O 轴的动量矩 解 本题先计算复摆对 O 轴的转动惯量 Jo，再由公式（ 12-11）计算复摆对 O 轴的动量矩。

关于 Jo的计算，可以分别计算 OA 杆和圆盘 C2对 O 轴的动量矩，然后再相加其中用到平行轴定理，有 ()222211 2 222 21212 2 213232olJmlm mrmlrml。