高考数学一轮复习 第八章 第5课时 直线、平面垂直的判定及性质课件 理.ppt

第八章　立第八章　立 体体 几几 何何第第5课时　直线、平面垂直的判定及性质课时　直线、平面垂直的判定及性质•1．以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．•2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．•请注意•纵观近几年高考题，始终围绕着垂直关系命题，这突出了垂直关系在立体几何中的重要地位，又能顺利实现各种关系的转化，从而体现了能力命题的方向．特别是线面垂直，集中了证明和计算的中心内容．•1．直线与平面垂直的判定定理•如果一条直线与平面内的两条 直线垂直，那么这条直线与这个平面 ．•推论　如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也 于这个平面．相交垂直垂直•2．直线与平面垂直的性质定理•(1)如果两条直线垂直于 ，那么这两条直线平行．•(2)如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的___________直线垂直．同一个平面任意一条•3．平面与平面垂直的判定定理•如果一个平面 ，那么两个平面互相垂直．•4．平面与平面垂直的性质定理•如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内_____________________的直线垂直于另一个平面．经过了另一个平面的一条垂线垂直于它们交线•1．判断下面结论是否正确(打“√”或“×”)．•(1)“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要不充分条件．•(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．•(4)若直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，则a∥b.•(5)若平面α⊥平面β，直线a⊥平面β，则a∥α.•(6)若直线a⊥平面α，直线a⊂平面β，则α⊥β.•答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×　(6)√•2．已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)•A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β•B．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β•C．若m∥n，m∥α，则n∥α•D．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β•答案　D•解析　对于选项A，两平面β，γ同垂直于平面α，平面β与平面γ可能平行，也可能相交；对于选项B，平面α，β可能平行，也可能相交；对于选项C，直线n可能与平面α平行，也可能在平面α内；对于选项D，由m∥n，m⊥α，∴n⊥α.又n⊥β，∴α∥β，故选D.•3．(2013·新课标全国Ⅱ理)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(　　)•A．α∥β且l∥α•B．α⊥β且l⊥β•C．α与β相交，且交线垂直于l•D．α与β相交，且交线平行于l•答案　D•解析　因为m⊥α，l⊥m，l⊄α，所以l∥α.同理可得l∥β.•又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D.•4．在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是(　　)•答案　A •5.在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，E为BB1的中点，∠A1DE＝90°.•求证：CD⊥平面A1ABB1.•答案　略•例1　如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．•(1)求证：MN⊥CD；•(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.题型一题型一 线线垂直、线面垂直线线垂直、线面垂直•(2)∵∠PDA＝45°，PA⊥AD，∴AP＝AD.•∵ABCD为矩形，∴AD＝BC，∴PA＝BC.•又∵M为AB的中点，∴AM＝BM.•而∠PAM＝∠CBM＝90°，•∴PM＝CM，又N为PC的中点，∴MN⊥PC.•由(1)知MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.•【答案】　(1)略　(2)略•探究1　证线面垂直的方法有：•(1)利用判定定理，它是最常用的思路．•(2)利用线面垂直的性质：若两平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面．•(3)利用面面垂直的性质：①两平面互相垂直，在一个面内垂直于交线的直线垂直于另一平面．•②若两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．•如图所示，在四棱锥P－ABCD中，•PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：•(1)CD⊥AE；•(2)PD⊥平面ABE.思考题思考题1•【证明】　(1)∵PA⊥底面ABCD，•∴CD⊥PA.•又CD⊥AC，PA∩AC＝A，•故CD⊥平面PAC，AE⊂平面PAC.•故CD⊥AE.•(2)∵PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，故PA＝AC.•∵E是PC的中点，故AE⊥PC.•由(1)知CD⊥AE，由于PC∩CD＝C，•从而AE⊥平面PCD，故AE⊥PD.•易知BA⊥PD，故PD⊥平面ABE.•【答案】　(1)略　(2)略•例2　(1)△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：①DE＝DA；•②平面BDM⊥平面ECA；•③平面DEA⊥平面ECA.题型二题型二 面面垂直面面垂直•【证明】　①取EC的中点F，连接DF.【答案】　①略　②略　③略 •(2)已知平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC.AE⊥平面PBC，E为垂足．•①求证：PA⊥平面ABC；•②当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．•【思路】　已知条件“平面PAB⊥平面ABC，……”，想到面面垂直的性质定理，便有如下解法．•【证明】　①在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于F.•平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.•又PA⊂平面PAC，•∴DF⊥PA.作DG⊥AB于G，•同理可证：DG⊥PA.•DG，DF都在平面ABC内，且DG∩DF＝D，•∴PA⊥平面ABC.•②连接BE并延长交PC于H，•∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.•又已知AE是平面PBC的垂线，PC⊂平面PBC，•∴PC⊥AE.又BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE.•又AB⊂平面ABE，∴PC⊥AB.•∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.•又PC∩PA＝P，∴AB⊥平面PAC.•又AC⊂平面PAC，∴AB⊥AC.•即△ABC是直角三角形．•【答案】　①略　②略•探究2　(1)掌握证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用判定定理来证明．也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义来证明．•(2)已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得出结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．②的关键是灵活利用①题的结论．•(2014·江苏)如图所示，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.•求证：(1)直线PA∥平面DEF；•(2)平面BDE⊥平面ABC.思考题思考题2•【证明】　(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.•又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，•所以直线PA∥平面DEF.•又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC.•因为AC∩EF＝E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，•所以DE⊥平面ABC.又DE⊂平面BDE，•所以平面BDE⊥平面ABC.•【答案】　(1)略　(2)略•例3　(2015·山东威海一模)如图所示，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，AB∥EF，AB＝2，AD＝AF＝1，∠BAF＝60°，O，P分别为AB，CB的中点，M为底面△OBF的重心．题型三题型三 平行与垂直的综合问题平行与垂直的综合问题•(1)求证：平面ADF⊥平面CBF；•(2)求证：PM∥平面AFC；•(3)求多面体CD－AFEB的体积V.•【解析】　(1)证明：∵矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，且CB⊥AB，•∴CB⊥平面ABEF.•又AF⊂平面ABEF，∴CB⊥AF.•又AB＝2，AF＝1，∠BAF＝60°，由余弦定理知BF＝，∴AF2＋BF2＝AB2，∴AF⊥BF.•又BF∩CB＝B，∴AF⊥平面CBF.•∵AF⊂平面ADF，∴平面ADF⊥平面CBF.•(2)证明：连接OM延长交BF于H，则H为BF的中点．又P为CB的中点，∴PH∥CF.•又∵CF⊂平面AFC，∴PH∥平面AFC.•连接PO，则PO∥AC，∵AC⊂平面AFC，PO⊄平面AFC，∴PO∥平面AFC.•又PO∩PH＝P，∴平面POH∥平面AFC.•∵PM⊂平面POH，∴PM∥平面AFC.•探究3　以棱柱或棱锥为载体，综合考查直线与平面的平行、垂直关系是高考的一个重点内容．解决这类问题时，核心是熟练掌握平行、垂直等的判定定理以及性质定理，通过不断利用这些定理，进行平行与垂直关系的转化，证得问题结论．•(2014·北京文)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．•(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；•(2)求证：C1F∥平面ABE；•(3)求三棱锥E－ABC的体积．思考题思考题3•【思路】　(1)利用已知条件转化为证明AB⊥平面B1BCC1；(2)取AB的中点G，构造四边形FGEC1，证明其为平行四边形，从而得证；(3)根据题中数据代入公式计算即可．•【解析】　(1)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，•BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.•又因为AB⊥BC，•所以AB⊥平面B1BCC1.•所以平面ABE⊥平面B1BCC1.•1．判定线面垂直的方法主要有三种：•(1)利用定义；•(2)利用判定定理(垂直于两相交直线)；•2．判定面面垂直的方法，主要有两种：•(1)利用定义：判定两平面相交所成的二面角为直角；•(2)利用判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线．•1．(2013·广东文)设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是(　　)•A．若l∥α，l∥β，则α∥β　•B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β•C．若l⊥α，l∥β，则α∥β •D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β•答案　B•解析　如图所示，在正方体A1B1C1D1－ABCD中，对于A项，设l为AA1，平面B1BCC1，平面DCC1D1为α，β.A1A∥平面B1BCC1，A1A∥平面DCC1D1，而平面B1BCC1∩平面DCC1D1＝C1C；对于C项，设l为A1A，平面ABCD为α，平面DCC1D1为β.A1A⊥平面ABCD，A1A∥平面DCC1D1，而平面ABCD∩平面DCC1D1＝DC；•对于D项，设平面A1ABB1为α，平面ABCD为β，直线D1C1为l，平面A1ABB1⊥平面ABCD，D1C1∥平面A1ABB1，而D1C1∥平面ABCD.故A，C，D三项都是错误的．而对于B项，根据垂直于同一直线的两平面平行，知B项正确．•2．已知不同直线m，n及不重合平面α，β，给出下列结论：•①m⊂α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β•②m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥β•③m⊂α，n⊂α，m∥n⇒α∥β•④m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β•其中的假命题有(　　)•A．1个　　　　　　　　　B．2个•C．3个 D．4个•答案　C•解析　①为假命题，m不一定与平面β垂直，所以平面α与β不一定垂直．命题②与③为假命题，②中两平面可以相交，③没有任何实质意义．只有④是真命题，因为两平面的垂线所成的角与两平面所成的角相等或互补．•3.如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点，现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在四面体A－EFH中必有(　　)•A．AH⊥△EFH所在平面•B．AG⊥△EFH所在平面•C．HF⊥△AEF所在平面•D．HG⊥△AEF所在平面•答案　A•解析　∵AD⊥DF，AB⊥BE，又∵B，C，D重合记为H，∴AH⊥HF，AH⊥HE.∴AH⊥面EFH.•4.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点．•(1)求证：BC1∥平面CA1D；•(2)求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B.•答案　(1)略　(2)略•证明　(1)连接AC1交A1C于E，连接DE.•∵AA1C1C为矩形，则E为AC1的中点．•又D是AB的中点，•∴在△ABC1中，DE∥BC1.•又DE⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，•∴BC1∥平面CA1D.•(2)∵AC＝BC，D为AB的中点，•∴在△ABC中，AB⊥CD.•又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，•∴AA1⊥CD.又AA1∩AB＝A，•∴CD⊥平面AA1B1B.•又CD⊂平面CA1D，•∴平面CA1D⊥平面AA1B1B.•5．(2014·新课标全国Ⅰ文)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.•(1)证明：B1C⊥AB；•(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC－A1B1C1的高．•思路　(1)利用线面垂直的性质定理证明；(2)通过解三角形求三棱柱的高．•解析　(1)连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.•又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO.故B1C⊥平面ABO.•由于AB⊂平面ABO，故B1C⊥AB.。