北京大学《力学》课件.ppt

力学,主讲教师：刘树新北京大学物理学院,1,第零章 数学补充知识,A 行列式 B 矢量的代数运算 C 一元函数微积分 D 多元函数微积分,2,A 行列式,A.1 行列式,3,元素：,i: 行标; j: 列标,三阶行列式可以一般地表述成,2阶、1阶、零阶行列式分别表述成,4,行列式的运算规则可用下述递归方式定义：,定义,5,性质1：行列可互换性,6,性质2：一行的公因子可以提出,7,性质4：如果行列式中两行成比例， 那么行列式为零性质3：对换行列式中两行的位置， 行列式反号8,A.2 应用,引入分母行列式,线性代数方程组,9,引入分子行列式,方程组的解能表述为,10,例1. 公比0≤q＜1的无穷等比级数求和,11,例2. 求无穷串并联系列的电阻,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,R,,,,A,B,设AB间的电阻为RAB则有,,12,思考题1：取火柴游戏,N根火柴，2人取，每人一次取1至a根，最后取者为负（a>1),对先取者，什么样的N是必胜态， 什么样的N是必败态,13,思考题2：机器猫与玩具鼠,鼠 猫 不动,,,,,,0 1 2 3,,,½ ½,只要猫捉到鼠，游戏结束，问猫捉到鼠的概率P=？,14,B 矢量的代数运算,B.1 矢量的叠加与分解,既有大小，又有方向的量是矢量，记为,标量：只有大小，没有方向,矢量的大小称为矢量的模，记为 A,单位方向矢量,15,万有引力定律,,,M,m,16,矢量的代数性质,矢量的叠加:矢量的和 标积和矢积：矢量的乘,矢量与标量的关系,数乘：标量与矢量的乘积仍是一个矢量,矢量之间的关系,17,,,,,两个矢量的和,,矢量的叠加满足交换律和结合律,18,矢量的分解,,,,,,,,,,,,,x轴单位矢量 y轴单位矢量 z轴单位矢量,可简写为:,19,k维空间,K维空间矢量,矢量的模,矢量的和,20,思考题3： k维空间正方“体”,,,,,,,,21,从度量的角度分析，为什么数学上给出 S1=2,(2)对k维空间正方“体”，用递归方法求出它的顶点数、棱数和“面”数；若棱长为a，再求它的“体积” Vk和“面积” Sk,22,B.2 矢量的标积,,,,,,,,显然有,矢量的模量,,23,矢量标积的一些基本性质,24,三维空间,单位矢量的标积满足,正交性,归一性,矢量的某一分量,25,k维空间,正交归一性,26,例题3 重力功的计算,,,,,,,,,27,B.3 矢量的矢积,三维空间 两个矢量的矢积定义为,,,,,,,,,28,矢积的一些基本性质,反交换律,分配律,进一步可导出其它较复杂的公式,例如,29,矢积只能在三维空间中进行, 对于坐标基矢有,矢积的行列式表示,30,例4 矢积在物理学中的应用一,力矩,角动量,洛仑兹力,31,,安培力,毕奥-沙伐尔定律,,,a,b,,,,P,,例5 矢积在物理学中的应用二,32,B.4 矢量的三重积,几何意义：平行六面体的体积,,,,,,,,,,,,,三重标积的循环可交换性,三重标积,33,矢量的三重矢积,,,,,,,三重矢积必在B、C确定的平面内，是B、C的线性组合。

34,A组 2、3、6、8、10、11、14、15、18 B组 22、23、24,数学补充知识作业题,35,C 一元函数微积分,C.1 微分,一元函数可记为,,,,,,,或,O,自变量 x 的增量:,函数增量:,,36,线性函数,,,,当自变量的增量很小时， 其它函数的增量能否写成类似的形式？,37,抛物线函数,,,,含有高阶无穷小，其它函数类似38,39,自变量增量,时, 称为自变量微分,改记成dx,相应的函数增量,, 称为函数微分,记成dy,dy与dx的关系,微分 ——忽略高阶无穷小,40,数学上可以证明, 对无穷小量dx, 有,41,C.2 微商（导数）,定义,,,,,,,,O,x,x,,,y,y,P,Q,几何意义: 平均变化率,函数在x处的导数等于函数曲线在x处切线的斜率,,42,例6 函数导数的几个实例,43,导数的一些重要性质,44,复合函数的微商,链式法则:,45,例7 几个函数的求导,可看作,46,可变换为,即得,47,可变换为,即得,48,可递归地得到,既有,49,三个常用导数公式,是任意实数,50,二阶导数,简写成,依此类推, n阶导数记作,51,例如,52,极大值或极小值? 则由该点的二阶导数来确定,导数与极值,,,,,O,x,,,y,y,P,,,x,,Q,M,,53,极大值点,极小值点,,,,,O,x,,,y,y,P,,,x,,Q,M,,N,54,非极值点，称为拐点,,,,,在 x = 0 处,55,例题 找出,的全部极值点,极大值点,极小值点,56,泰勒展开,导数的一个重要应用——函数的幂级数展开,自变量,函数增量,也可写成,猜想函数有如下的幂级数展开,-----泰勒(Taylor)级数,57,确定泰勒级数的展开系数,展开式两边对 x 依次求导, 再取 x = x0, 可确定所有项的系数,泰勒级数的收敛性,因为y(x)是有限的, 所以至少要求,58,函数y(x)若能在x0两侧某范围内展开为泰勒级数，便称这一范围为y(x)的收敛区域。

x0= 0的泰勒级数，也称为马克劳林(Maclaurin)级数,59,第1项,前3项,前2项,前4项,前9项,60,奇函数,偶函数,例题8 导出欧拉(Euler)公式,61,比较得,62,矢量微商,许多物理量是矢量，一般都随时间和空间坐标而变化任意矢量A(t)可分解为,其中基矢均不随t变化A对t的导数为,即有,63,例如,质点位矢 r 分解成,速度,加速度,64,矢量A(t)与矢量B(t)的标积,即得,65,66,C.3 积分,若,称 f (x) 是 F (x) 的导函数，F (x) 是 f (x) 的原函数,定积分,,,,O,x,y,x,x+dx,,,,,,,,,,,,67,积分的上限,积分的下限,原函数求导,导函数积分,积分是求导的逆运算,68,最简单的积分,,,O,x,y,x,x+dx,,69,不定积分: 求函数的所有原函数,几个常用公式:,70,不定积分的一个重要性质,定积分的几何意义,,O,x,,y,x,,x+dx,,,,71,,例题9 定积分与曲线长度,,O,x,,y,x,,dx,,,dy,dl,y = f (x),72,D 多元函数微积分,D.1 偏微商（偏导数）,多元函数是由多个独立自变量构成的函数,理想气体的状态方程,长方形的体积,73,仅由自变量x1的无穷小变化引起的函数增量,称为函数对x1的偏微分,类似可引入函数对其它自变量的偏导数,函数对x1的偏微商或偏导数,74,例如：理想气体的状态方程,T 对p求偏导数时将V处理为常量,T 对V 求偏导数时将p处理为常量,75,k 个自变量均有无穷小增量时引起的 y 增量,例如 理想气体的状态方程,多元函数的全微分,76,或,或,D.2 线积分、面积分和体积分,物理学中的物理量一般都是空间位置r的函数，经常 需要沿着某一路径、在某一曲面上、在某一体积内积分， 所以引入多元函数的线积分、面积分和体积分。

标量,矢量,它可分解成,三个分量,77,线积分,,,将a到b的一段曲线分成一系列无穷短的线段， 称为线元，记作dl,沿L的线积分,L是闭合曲线,矢量,,,,对闭合曲线,78,面积分,面元矢量化,内,外,,,,,,,积分是在曲面的二维空间中进行，是二重积分.,79,内,外,,,,,,,,在 S 面上的标积性面积分,标量和矢量在闭合曲面上的面积分，特别地写成,例如 流体的流量，电磁场的电通量和磁通量,80,体积分,,,,体元 dV,标量函数在V内的体积分,是三重积分,若,相应的积分分别为 曲线的长度、曲面的面积和空间区域的体积,81,例题10 求密度为球对称分布的球体质量,球体各处密度是位置的函数，球体质元为,球体质量为,其中,（在球坐标系中）,,82,特殊情况：密度为球对称分布,,,假设,则有,83,Thanks,2007年9月19日,。