现代控制理论第四章能控性能观性ppt课件.ppt

第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性4.1 4.1 线性定常系统的能控性及其判据线性定常系统的能控性及其判据4.2 4.2 线性定常系统的能观性及其判据线性定常系统的能观性及其判据4.3 4.3 能控性及能观性的对偶关系能控性及能观性的对偶关系4.4 4.4 线性定常系统的结构分解线性定常系统的结构分解4.5 4.5 能控标准形和能观标准形能控标准形和能观标准形4.6 4.6 系统的实现系统的实现.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性两个基础性概念：能控性与能观性两个基础性概念：能控性与能观性 在有限时间内，控制作用能否使系统从在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态？初始状态转移到要求的状态？ 指控制作用对状态变量的支配能力，称指控制作用对状态变量的支配能力，称之为状态的能控性问题之为状态的能控性问题 在有限时间内，能否通过对系统输出的在有限时间内，能否通过对系统输出的测定来估计系统的初始状态？测定来估计系统的初始状态？ 系统的输出量〔或观测量〕能否反映状系统的输出量〔或观测量〕能否反映状态变量，称之为状态的能观性问题。

态变量，称之为状态的能观性问题第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性例例4.0.1 4.0.1 且且 选选各各自自的的电电压压为为状态变量状态变量 根根据据电电路路理理论论，，则则两两个个状状态态分分量量恒恒相相等等相相平面图平面图(b)(b)中相轨迹为一条直线中相轨迹为一条直线 不不论论电电源源电电压压如如何何变变动动，，都都不不能能使使系系统统的的状状态变量离开这条直线态变量离开这条直线, ,显然，是不完全能控的显然，是不完全能控的第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性若电路中电阻、电容分别为若电路中电阻、电容分别为则电路的系统方程为：则电路的系统方程为：如果初始状态为如果初始状态为系统状态转移矩阵为系统状态转移矩阵为系统状态方程的解为系统状态方程的解为可见，不论加入什么样的输入信号，总是有可见，不论加入什么样的输入信号，总是有.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性例例4.0.2 4.0.2 选择电感中的电流以及电容上的电压作为状态变选择电感中的电流以及电容上的电压作为状态变量。

当电桥平衡时，电感中的电流作为电路的一个状量当电桥平衡时，电感中的电流作为电路的一个状态是不能由输出变量来确定的，所以该电路是不能观态是不能由输出变量来确定的，所以该电路是不能观测的第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性§4.1 §4.1 线性定常系统的能控性及其判据线性定常系统的能控性及其判据 §4.1.1 §4.1.1 连续系统的能控性连续系统的能控性定义定义4.1.1 线性定常连续系统的状态方程为线性定常连续系统的状态方程为 给定系统一个初始状态给定系统一个初始状态 ，如果在，如果在 的有限时间区间的有限时间区间 内，存在容许控制内，存在容许控制 ，使，使 ，则称系统状态在，则称系统状态在 时刻时刻是能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，是能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全能控的则称系统是状态完全能控的第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性说明：说明：1〕能控：初态〕能控：初态 为任意非零点，终态为任意非零点，终态 为原点。

为原点 能达：初态能达：初态 为原点，终态为原点，终态 为任意非零点为任意非零点 由于线性定常连续系统的状态转移矩阵是非奇异由于线性定常连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，因此系统的能控性和能达性是等价的的，因此系统的能控性和能达性是等价的3〕当系统中存在不依赖于〕当系统中存在不依赖于 的确定性干扰的确定性干扰 时，时， 不会改变系统的能控性不会改变系统的能控性2〕只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统〕只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能控的才是能控的第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性定理定理4.1.1 4.1.1 线性定常连续系统为状态能控的充分必要条线性定常连续系统为状态能控的充分必要条件是下面的件是下面的n×nn×n维格拉姆矩阵满秩维格拉姆矩阵满秩（该定理为能控性的一般判据但是，由于要计算状态转（该定理为能控性的一般判据但是，由于要计算状态转移矩阵，比较繁琐实际上，常用下面介绍的判据移矩阵，比较繁琐实际上，常用下面介绍的判据。

定理定理4.1.2 4.1.2 线性定常连续系统为状态能控的充分必要条线性定常连续系统为状态能控的充分必要条件是下面的件是下面的n×nr n×nr 维能控性矩阵满秩维能控性矩阵满秩本判据本身很简单，因此是最为常用的方法本判据本身很简单，因此是最为常用的方法第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性证明：证明：不失一般性不失一般性, ,假设假设则有则有应用凯应用凯- -哈定理，有哈定理，有状态方程的解为状态方程的解为整理得整理得.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性于是于是令令如果系统能控，必能够解得如果系统能控，必能够解得 这样就要求样就要求.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性易知易知例例4.1.1 4.1.1 考察如下系统的能控性考察如下系统的能控性.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性其秩为其秩为3，该系统能控，该系统能控 从而从而.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性其秩为其秩为2 2，所以系统不能控，所以系统不能控 例例4.1.2 4.1.2 判断线性定常连续系统判断线性定常连续系统.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性定理定理4.1.3 4.1.3 （（PBHPBH判别法）判别法） 线性定常连续系统为状态能控线性定常连续系统为状态能控的充分必要条件是，对的充分必要条件是，对A A 的所有特征值的所有特征值 ，都有，都有则系统能控的充分必要条件是矩阵则系统能控的充分必要条件是矩阵 中不包含元素中不包含元素全为零的行。

全为零的行定理定理4.1.4 4.1.4 线性定常连续系统的矩阵线性定常连续系统的矩阵 A A 的特征值的特征值 互异，将系统经过非奇异线性变换变换成对角阵互异，将系统经过非奇异线性变换变换成对角阵第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性状态变量状态变量 x3 x3 不受控制不受控制 例例4.1.3 4.1.3 此系统是不能控的此系统是不能控的.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性 定定理理4.1.44.1.4的的优优点点在在于于很很容容易易判判断断出出能能控控性性，，并并且且将将不不能能控控的的部部分分确确定定下下来来，，但但它它的的缺点是要进行等价变换缺点是要进行等价变换 例例4.1.4 4.1.4 下列系统是能控的下列系统是能控的.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性§4.1.2 §4.1.2 输出能控性输出能控性定义定义4.1.2 设连续系统的状态空间表达式为设连续系统的状态空间表达式为 如果在一个有限的区间如果在一个有限的区间[t0,t1][t0,t1]内，存在适内，存在适当的控制向量当的控制向量u(t),u(t),使系统能从任意的初始输出使系统能从任意的初始输出y(t0)y(t0)转移到任意指定最终输出转移到任意指定最终输出y(t1)y(t1)，则称系，则称系统是输出完全能控的。

统是输出完全能控的第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性输出能控性判据：输出能控性判据： 系统输出完全能控的充分必要条件是矩阵系统输出完全能控的充分必要条件是矩阵的秩为的秩为q q即即.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性例例4.1.5 4.1.5 判断系统判断系统是否具有状态能控性和输出能控性是否具有状态能控性和输出能控性 .第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性秩为秩为1 1，等于输出变量的个数，因此系统是输，等于输出变量的个数，因此系统是输出能控的出能控的秩为秩为1 1，所以系统是状态不能控的所以系统是状态不能控的 .第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性§4.1.3 §4.1.3 离散系统的能控性离散系统的能控性定义定义4.1.3　线性定常离散系统的状态方程　线性定常离散系统的状态方程 如如果果存存在在控控制制向向量量序序列列u(k),…,u(N-1)u(k),…,u(N-1)，，使使系系统统从从第第k k 步步的的状状态态向向量量开开始始，，在在第第N N 步步到到达达零零状状态态，，其其中中N N 是是大大于于k k 的的有有限限数数，，那那么么就就称称此此系系统在第统在第k k 步上是能控的。

步上是能控的 如如果果对对每每一一个个k k，，系系统统的的所所有有状状态态都都是是能能控控的，则称系统是状态完全能控的，简称能控的，则称系统是状态完全能控的，简称能控第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性定理定理4.1.5 4.1.5 线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是线性定常离散系统完全能控的充分必要条件是矩阵矩阵 [ H,GH,…,Gn-1H ] [ H,GH,…,Gn-1H ] 的秩为的秩为n n 该矩阵称为系统的能控性矩阵，以该矩阵称为系统的能控性矩阵，以QcQc表示，于是此能表示，于是此能控性判据可以写成控性判据可以写成rankＱc=rank[H, GH,…, Gn-1H]=n 对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状态变换后，对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状态变换后，其状态能控性不变其状态能控性不变 .第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性例例4.1.6 4.1.6 满足能控性的充分必要条件，故该系统能控满足能控性的充分必要条件，故该系统能控第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性…, 多输入系统的能控性矩阵是一个多输入系统的能控性矩阵是一个n x np矩阵。

根据矩阵根据判据，只要求它的秩等于判据，只要求它的秩等于n，所以在计算时不一定需要，所以在计算时不一定需要将能控性矩阵算完，算到哪一步发现充要条件已满足就将能控性矩阵算完，算到哪一步发现充要条件已满足就可以停下来，不必再计算下去可以停下来，不必再计算下去例例4.1.7 4.1.7 只要计算出矩阵只要计算出矩阵[H,GH ][H,GH ]的秩，即可的秩，即可.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性§4.2 §4.2 线性定常系统的能观性及其判据线性定常系统的能观性及其判据 §4.2.1 §4.2.1 连续系统的能观性连续系统的能观性定义定义4.2.1 4.2.1 线性定常连续系统方程为线性定常连续系统方程为 如果在有限时间区间如果在有限时间区间 （（ ）内，通过观测）内，通过观测 ，能够惟一地确定系，能够惟一地确定系统的初始状态统的初始状态 ，称系统状态在，称系统状态在 是能是能观测的如果对任意的初始状态都能观测，则观测的如果对任意的初始状态都能观测，则称系统是状态完全能观测的称系统是状态完全能观测的。

第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性说明：说明：1）） 已知系统在有限时间区间已知系统在有限时间区间 内的输出内的输出 ，观测的目标是为了确定，观测的目标是为了确定 3〕状态空间中所有有限点都是能观测的，则系统才是〕状态空间中所有有限点都是能观测的，则系统才是能观测的能观测的4〕系统的输入〕系统的输入 以及确定性的干扰信号以及确定性的干扰信号 均不改变均不改变系统的能观测性系统的能观测性2〕如果根据〕如果根据 内的输出内的输出 能够惟一地能够惟一地确定任意指定状态确定任意指定状态 ，则称系统是可检测的连，则称系统是可检测的连续系统的能观测性和能检测性等价续系统的能观测性和能检测性等价第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性定理定理4.2.1 4.2.1 线性定常连续系统为能观测的充分必要条件线性定常连续系统为能观测的充分必要条件是以下格拉姆能观性矩阵满秩，即是以下格拉姆能观性矩阵满秩，即其中其中（这个定理为能观测性的一般判据。

由于要计算状态转（这个定理为能观测性的一般判据由于要计算状态转移矩阵，比较繁琐实际上，常用下面介绍的判据移矩阵，比较繁琐实际上，常用下面介绍的判据定理定理4.2.2 4.2.2 线性定常连续系统为能观测的充分必要条件线性定常连续系统为能观测的充分必要条件是以下能观性矩阵满秩，即是以下能观性矩阵满秩，即其中其中（由于此判据很简单，（由于此判据很简单，因而最为常用）因而最为常用）.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性证明证明 设设 ，系统的齐次状态方程的解为，系统的齐次状态方程的解为应用凯应用凯-哈定理，有哈定理，有那么那么由于由于 是已知函数，因而，根据有限时间是已知函数，因而，根据有限时间 内的内的 能够唯一地确定初始状态能够唯一地确定初始状态 的充分必要条的充分必要条件为件为 满秩或者写成或者写成.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性定理定理4.2.34.2.3〔〔PBHPBH判别法）判别法） 线性定常连续系统为能观测的线性定常连续系统为能观测的充分必要的条件是：对于充分必要的条件是：对于A A 的每一个特征值的每一个特征值 ，，以下矩阵的秩均为以下矩阵的秩均为n n例例4.2.1 4.2.1 系统方程如下，试判断系统的能观性系统方程如下，试判断系统的能观性解：解：不满秩，故系统不能观测。

不满秩，故系统不能观测第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性定理定理4.2.4 4.2.4 线性定常连续系统的线性定常连续系统的A A 阵特征值阵特征值 互异，互异，经过非奇异线性变换成为对角阵，则系统为能观测经过非奇异线性变换成为对角阵，则系统为能观测的充分必要条件是的充分必要条件是 矩阵中不包含元素全为零的矩阵中不包含元素全为零的列例例4.2.2 4.2.2 有两个线性定常系统，判断其能观测性有两个线性定常系统，判断其能观测性1））（（2））解：解： 根据定理根据定理4.2.4可以判断，系统〔可以判断，系统〔1〕是不能观测的〕是不能观测的系统〔系统〔2〕是能观测的〕是能观测的第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性§4.2.2 §4.2.2 离散系统的能观性离散系统的能观性 在已知输入在已知输入u(t)u(t)的情况下，若能依据第的情况下，若能依据第k k 步步及以后及以后n-1n-1步的输出观测值步的输出观测值y(k),…,y(k+n-1)y(k),…,y(k+n-1)，，唯一地确定出第唯一地确定出第k k 步上的状态步上的状态x(k)x(k)，则称系统在，则称系统在第第k k步是能观测的。

如果系统在任何步是能观测的如果系统在任何k k 步上都是步上都是能观测的，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测 定义定义4.2.2 4.2.2 考虑离散系统考虑离散系统 .第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性定定理理4.2.5 4.2.5 对对于于线线性性定定常常离离散散系系统统，，状状态态完完全全能能观观测测的的充分必要条件是矩阵充分必要条件是矩阵 的秩为的秩为n n矩阵称为能观测性矩阵，记为Ｕ矩阵称为能观测性矩阵，记为ＵO O第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性例例4.2.3 4.2.3 判断下列系统的能观测性判断下列系统的能观测性于是系统的能观测性矩阵为于是系统的能观测性矩阵为秩为秩为3 3，所以系统能观所以系统能观第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性例例4.2.4 4.2.4 系统状态方程仍如上例，而观测方程为系统状态方程仍如上例，而观测方程为秩小于秩小于3 3，所以系统不能观所以系统不能观 .第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性§4.3 §4.3 能控性与能观性的对偶关系能控性与能观性的对偶关系BòACux &xy+ TBòVz &zw+ TCTA.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性对偶系统具有两个基本特征对偶系统具有两个基本特征1. 对偶的两个系统传递函数矩阵互为转置对偶的两个系统传递函数矩阵互为转置2. 对偶的两个系统特征值相同对偶的两个系统特征值相同对偶原理：系统对偶原理：系统 的能控性等价于系统的能控性等价于系统 的能观测性；的能观测性；系统系统 的能观测性等价于系统的能观测性等价于系统 的能控性。

的能控性)(])([][)(1112ssssTTTTTGBAICCAIBG=-=-=--.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性例例4.3.1 4.3.1 线性定常系统如下，判断其能观测性线性定常系统如下，判断其能观测性解解以上系统的对偶系统为以上系统的对偶系统为该对偶系统的能控性矩阵该对偶系统的能控性矩阵对偶系统能控，根据对偶原理，原系统能观测对偶系统能控，根据对偶原理，原系统能观测第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性§4.4 §4.4 线性定常系统的结构分解线性定常系统的结构分解 一个不能控、不能观测的系统，从结构上来说，必一个不能控、不能观测的系统，从结构上来说，必定包括能控、不能控以及能观测、不能观测的子系统定包括能控、不能控以及能观测、不能观测的子系统如何按照能控性或能观测性进行分解呢？如何按照能控性或能观测性进行分解呢？ 已经知道，线性变换不改变系统的能控性和能观测已经知道，线性变换不改变系统的能控性和能观测性因而，可采用线性变换方法将其分解结构分解必性因而，可采用线性变换方法将其分解。

结构分解必须解决须解决3个问题：个问题： 1、如何分解？、如何分解？ 2、分解后系统方程的形式为何？、分解后系统方程的形式为何？ 3、变换矩阵如何确定？、变换矩阵如何确定？.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性 把系统能控或能观测部分同不能控或不能观测的把系统能控或能观测部分同不能控或不能观测的部分区分开来，将有利于更深入了解系统的内部结构部分区分开来，将有利于更深入了解系统的内部结构标准分解标准分解 采用系统坐标变换的方法对状态空间进行采用系统坐标变换的方法对状态空间进行分解，将其划分成能控〔能观〕部分与不能控分解，将其划分成能控〔能观〕部分与不能控〔不能观〕部分〔不能观〕部分第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性§4.4.1 §4.4.1 系统能控性分解系统能控性分解其中其中定理定理4.4.1 4.4.1 若线性定常系统不完全能控，状态若线性定常系统不完全能控，状态 只要只要 个状态分量能控，则存在非奇异矩阵个状态分量能控，则存在非奇异矩阵TcTc，对系统进，对系统进行状态变换行状态变换 ，可使系统的状态空间表达式，可使系统的状态空间表达式发生变换发生变换.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性变换后的系统分为两部分：变换后的系统分为两部分： 前前n1n1维部分构成维部分构成n1n1维能控子系统，得到下式维能控子系统，得到下式 后后n-n1n-n1维子系统为不能控子系统。

维子系统为不能控子系统关键：变换矩阵关键：变换矩阵TcTc的构造方法的构造方法在能控性矩阵在能控性矩阵 中选择中选择n1n1个线性无个线性无关的列向量；关的列向量；将所得列向量作为矩阵将所得列向量作为矩阵TcTc的前的前n1n1个列，其余的列可以在个列，其余的列可以在保证保证TcTc为非奇异矩阵的条件下任意选择为非奇异矩阵的条件下任意选择第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性定理定理4.4.2 4.4.2 能控子系统的传递函数矩阵与原系统的传递能控子系统的传递函数矩阵与原系统的传递函数矩阵相同，即函数矩阵相同，即.因为因为.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性例例4.4.1 4.4.1 对下列系统进行能控性分解对下列系统进行能控性分解 能控性矩阵的秩能控性矩阵的秩 可知系统不完全能控可知系统不完全能控 .第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性 在能控性矩阵中任选两列线性无关的列向量。

在能控性矩阵中任选两列线性无关的列向量为计算简单，选取其中的第为计算简单，选取其中的第1列和第列和第2列易知它们列易知它们是线性无关的是线性无关的 再选任一列向量，与前两个列向量线性无关再选任一列向量，与前两个列向量线性无关变换矩阵变换矩阵 .第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性状态变换后的系统状态空间表达式状态变换后的系统状态空间表达式 二维能控子系统二维能控子系统 .第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性系统能控性分解结构图系统能控性分解结构图 .第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性§4.4.2 §4.4.2 系统能观性分解系统能观性分解其中其中定理定理4.4.3 4.4.3 若线性定常系统不完全能观，状态若线性定常系统不完全能观，状态 只要只要 个状态分量能观，则存在非奇异矩阵个状态分量能观，则存在非奇异矩阵ToTo，对系统进，对系统进行状态变换行状态变换 ，可使系统的状态空间表达式，可使系统的状态空间表达式发生变换发生变换.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性变换后的系统分为两部分：变换后的系统分为两部分： 前前n2n2维部分构成维部分构成n2n2维能观子系统，得到下式维能观子系统，得到下式 后后n-n2n-n2维子系统为不能观子系统。

维子系统为不能观子系统关键：变换矩阵关键：变换矩阵ToTo的构造方法对于能观性分解，变换矩阵的构造方法对于能观性分解，变换矩阵的求法有其特殊性应由构造其逆的求法有其特殊性应由构造其逆To-1To-1做起在能观性矩阵在能观性矩阵 中选择中选择n2n2个线性无个线性无关的行向量；关的行向量；将所得行向量作为矩阵将所得行向量作为矩阵To-1To-1的前的前n2n2个行，其余的行可以在个行，其余的行可以在保证保证To-1To-1为非奇异矩阵的条件下任意选择为非奇异矩阵的条件下任意选择第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性定理定理4.4.4 4.4.4 能观子系统与原系统的传递函数矩能观子系统与原系统的传递函数矩阵相同即阵相同即 因为因为.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性例例4.4.2 4.4.2 系统同例系统同例4.4.14.4.1，进行能观性分解进行能观性分解计算能观性矩阵的秩计算能观性矩阵的秩 任选其中两行线性无关的行向量，再选任一个与任选其中两行线性无关的行向量，再选任一个与之线性无关的行向量，得之线性无关的行向量，得 .第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性状态变换后的系统状态空间表达式状态变换后的系统状态空间表达式 二维能观子系统二维能观子系统 .第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性系统能观性分解结构图系统能观性分解结构图 .第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性§4.4.3 §4.4.3 系统按能控性与能观性进行标准分解系统按能控性与能观性进行标准分解定理定理4.4.5 4.4.5 设系统状态空间表达式为设系统状态空间表达式为经过线性状态变换经过线性状态变换, ,可以化为下列形式可以化为下列形式.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性§4.5 §4.5 能控标准形和能观标准形能控标准形和能观标准形　　　　能能观观标标准准形形是是指指在在一一组组基基底底下下，，将将能能观观性性矩矩阵阵中的中的A 和和 C 表现为能观的标准形式表现为能观的标准形式适适当当选选择择状状态态空空间间的的基基底底，，对对系系统统进进行行状状态态线线性性变变换，把状态空间表达式的一般形式化为标准形式换，把状态空间表达式的一般形式化为标准形式　　　　能能控控标标准准形形是是指指在在一一组组基基底底下下，，将将能能控控性性矩矩阵阵中的中的A 和和 B 表现为能控的标准形式表现为能控的标准形式.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性§4.5.1 §4.5.1 系统的能控标准形系统的能控标准形线性定常系统线性定常系统A的特征多项式的特征多项式能控性矩阵能控性矩阵能控标准形能控标准形.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性定定理理4.5.1 4.5.1 如如果果系系统统 是是完完全全能能控控的的，，那那么么必必存存在在一一非非奇奇异异变变换换 ，，使使其其变变换换成成能控标准形　　　　　能控标准形　　　　　 。

线性变换矩阵线性变换矩阵 .第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性例例4.5.1 4.5.1 线性定常系统线性定常系统能控性矩阵能控性矩阵 逆矩阵逆矩阵 .第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性§4.5.2 §4.5.2 系统的能观标准形系统的能观标准形能观测性矩阵能观测性矩阵线性定常系统线性定常系统，则系统完全能观测，则系统完全能观测假设假设能观标准形能观标准形.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性定定理理4.5.2 4.5.2 如如果果系系统统是是能能观观测测的的，，那那么么必必存存在在一一非奇异变换　　　将系统变换为能观标准形非奇异变换　　　将系统变换为能观标准形.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性例例4.5.2 4.5.2 能观性矩阵能观性矩阵 .第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性§4.6 §4.6 系统的实现系统的实现由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统的状态空间表达式的工作，称为实现问题。

的状态空间表达式的工作，称为实现问题换言之，若状态空间描述是传递函数矩阵的实换言之，若状态空间描述是传递函数矩阵的实现，则必有现，则必有在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现 .第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性§4.6.1 §4.6.1 单输入单输出系统的实现问题单输入单输出系统的实现问题单输入单输出系统系统传递函数的一般形式为单输入单输出系统系统传递函数的一般形式为当其具有严格真分式有理函数时，其实现形式为当其具有严格真分式有理函数时，其实现形式为.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性的能控标准形实现的能控标准形实现 .第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性 的能观标准形实现 .第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性§4.6.2 §4.6.2 传递函数矩阵的最小实现传递函数矩阵的最小实现 在所有可能的实现中，维数最小的实现称在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现最小实现也不是唯一的。

为最小实现最小实现也不是唯一的定理定理4.6.1 系统方程系统方程为传递函数为传递函数 的一个最小实现的充分必的一个最小实现的充分必要条件是系统完全能控且完全能观要条件是系统完全能控且完全能观第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性根根据据上上述述判判断断最最小小实实现现的的准准则则，，构构造造最最小小实实现现的途径为：的途径为： (1) 求传递函数矩阵的任何一种能控形或能观形 实现，再检查实现的能观性或能控性，若已是能控能观，则必是最小实现 否则的话，采用结构分解定理，对系统进行否则的话，采用结构分解定理，对系统进行 能观性或能控性的分解，找出既能控又能观能观性或能控性的分解，找出既能控又能观的子空间，从而得到最小实现的子空间，从而得到最小实现 (2)(2).第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性§4.6.3 §4.6.3 能控性、能观性与传递函数矩阵关系能控性、能观性与传递函数矩阵关系系统的传递函数系统的传递函数 定理定理4.6.2 系统能控能观的充要条件是传递函数系统能控能观的充要条件是传递函数g(s)中没有零极点对消现象。

中没有零极点对消现象单输入单输出系统单输入单输出系统.第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性● 一个系统的传递函数所表示的是该系统既能控一个系统的传递函数所表示的是该系统既能控又能观的那一部分子系统又能观的那一部分子系统● 一个系统的传递函数若有零、极点对消现象，一个系统的传递函数若有零、极点对消现象，则视状态变量的选择不同，系统或是不能控的则视状态变量的选择不同，系统或是不能控的或是不能观的或是不能观的两个推论两个推论 .第四章第四章 线性系统的能控性与能观性线性系统的能控性与能观性传递函数矩阵传递函数矩阵 定理定理4.6.3 如果在传递矩阵如果在传递矩阵 G(s) 中，中， 与与 之间没有非常数公因，则之间没有非常数公因，则该系统是能控且能观测的仅为充分条件）该系统是能控且能观测的仅为充分条件）多输入多输出系统多输入多输出系统.。