1987年第二届华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛试卷(小学组)及答案.doc

第二届华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛1试题（小学组）1.计算：(０.５＋０.25+0.125）÷（０.5×０.25×0．1２5）×2.有三张卡片,在它们上面各写有一种数字（下图)从中抽出一张、二张、三张,按任意顺序排起来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数请你将其中的素数都写出来3．有大、中、小三个正方形水池,它们的内边长分别是6米、3米、2米把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里,两个水池的水面分别升高了6厘米和4厘米如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米?４．　在一种圆圈上有几十个孔(不到10０个）,如图小明像玩跳棋那样,从Ａ孔出发沿着逆时针方向，每隔几种孔跳一步,但愿一圈后来能跳回到A孔她先试着每 隔２孔跳一步,成果只能跳到B孔她又试着每隔４孔跳一步,也只能跳到B孔最后她每隔6孔跳一步,正好跳回到A孔你懂得这个圆圈上共有多少个孔吗?5.试将１，2,3，4,5,6,７分别填入下图的方框中，每个数字只用一次:使得这三个数中任意两个都互质其中一种三位数已填好,它是71４6．下图是一张道路图,每段路上的数字是小王走这段路所需的分钟数请问小王从A出发走到B，最快需要几分钟？７．梯形ＡBCＤ的中位线EＦ长１5厘米(见图），∠ABC=∠ＡEＦ=90°,G是ＥＦ上的一点。

如果三角形ABＧ的面积是梯形ABＣＤ面积的１／５,那么EG的长是几厘米?8．有三堆砝码,第一堆中每个法码重3克，第二堆中每个砝码重５克，第三堆中每个砝码重７克请你取至少个数的砝码，使它们的总重量为１30克写出的取法：需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几种?9．有5块圆形的花圃,它们的直径分别是3米、4米、5米、8米、9米；请将这5块花圃提成两组，分别交给两个班管理,使两班所管理的面积尽量接近１0.一串数排成一行，它们的规律是这样的:头两个数都是1，从第三个数开始,每一种数都是前两个数的和,也就是：1,2，3，５，8，１3，21,３４，5５,问：这串数的前１00个数中(涉及第100个数）有多少个偶数?11．王师傅驾车从甲地开乙地交货如果她来回都以每小时60公里的速度行驶，正好可以准时返回甲地可是，当达到乙地时、她发现她从甲地到乙地的速度只有每小时55公里,如果她想准时返回甲地,她应以多大的速度往回开？12.如图，大圈是400米跑道，由A 到B的跑道长是200米,直线距离是50米父子俩同步从A点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿于跑大圈，爸爸每跑到Ｂ点便沿各直线跑爸爸每10０米用20秒,儿子每100米用 １9秒。

如果她们按这样的速度跑,儿子在跑第几圈时，第一次与爸爸再相遇? 第二届华罗庚金杯少年数学邀请赛复赛1试题参照答案1． 2．共有五个质数：2,３,1３，２３,31 　3．　 ４．91个 5.(见下)6.48分钟　　７.６厘米 　8.（见下） 　9．（见下)　 10.（见下) 1１.66千米／小时12．儿子在跑第3圈时,第一次与爸爸再相遇1.【解】原式＝=（）×2×4×8×＝(4＋2+1）×２×4×＝7×２×４×＝7×＝2.【解】由于三张卡片上的数字和为6,能被3整除,因此用这三个数字任意排成的三位数都能被３整除，因此不也许是质数再看二张卡片的情形由于１＋2＝3,根据同样的道理，用1．2，构成的二位数也能被3整除,因此也不是质数.这样剩余要讨论的二位数只有13、3１、２３、32这四个了,其中13，31和２３都是质数，而32不是质数最后，一位数有三个:１，2,31不是质数,２和3都是质数因此，本题中的质数共有五个:2，３，1３，２3,31答:共有五个质数：2,3，1３，23，３13.【解】把碎石沉没在水中,水面升高所增长的体积．就等于所沉入的碎石的体积.因此,沉入在水池中的碎石的体积是：3×3×０.０6＝0.54(米3)，而沉入小水池中的碎石的体积是:２×2×0.04=0．16(米3）,这两堆碎石的体积一共是：０.54+0.1６=0.7(米３)把它们都沉入大水池里，大水池的水面升高所增长的体积也就是0.7米３,而大水池的底面积是：6×6=36(米３),因此大水池的水面升高了:０.7÷３６=(米)=(厘米)=(厘米）答:大水池的水面升高了厘米。

4.【解】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A孔编号为1,然后沿逆时针方向顺次编号为2,3，4，…B孔的编号就是圆圈上的孔数,每隔２孔跳一步,跳在1，4，7,１0,…上最后跳到B孔，因此总孔数是3的倍数加1,同样道理，每隔４孔跳一步最后跳到Ｂ孔，就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A，就意味着总孔数是７的倍数如果将孔数减１,那么得数既是３的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数这个1５的倍数加上1就等于孔数,并且能被７整除注意:1５被７除余1,因此15×6被7除余6，１５的6倍加1正好被7整除我们还可以看出，15的其她(不不小于7的）倍数加1都不能被7整除，而15×7＝1０５已经不小于100．7以上的倍数都不必考虑,因此,圆圈上总孔数是1５×6十1＝9１答:圆圈上共有91个孔５.【解】７14=2×3×7×1７.由此可以看出，要使最下面方框中的数与７14互质,在剩余未填的数字２,３，５，6中只能选5,也就是说,第三行的一位数只能填５目前来讨论第二行的三个方框中应当如何填2，3，6这三个数字由于任意两个偶数均有公约数２，而714是偶数,因此第二行的三位数不能是偶数，因此个位数字只能是3．这样一来，第二行的三位数只能是２６3或62３.但是623能被7整除，因此62３与714不互质.最后来看263这个数通过检查可知：７14的质因数２，3,7和17都不是263的因数,因此714与２６3这两个数互质,显然,26３与5也互质.因此71４,263和5这三个数两两互质。

于是填法是:６.【解】为论述以便,我们把每个路口都标上字母，如图a、图b所示一方面我们将道路图逐渐简化从Ａ出发通过C到Ｂ的路线都要通过ＤＣ和GC面从A到C有两条路线可走：ADC需时间1４+13=２7（分钟）；AGＣ需时间１5＋1１=26（分钟）我们不会走前一条路线，因此可将DC这段路抹去但要注意,AD不能抹去,由于从A到B尚有别的路线(例如AＨB)通过AD，需要进一步分析由Ｇ到E也有两条路线可走:CCＥ需1６分钟,GIE也是16分钟我们可以选择其中的任一条路线，例如选择前一条,抹掉ＧＩE也可以选择后一条而抹掉CＥ但不能抹掉ＧC,由于尚有别的路线通过它这样,道路图被简化成图49的形状在图b中,从Ａ到F有两条路线,通过H的一条需1４+6＋17＝３７(分钟），通过Ｇ的一条需15+１1+10=３６（分钟），我们又可以将前一条路线抹掉(图c)图ｃ中，从C到Ｂ也有两条路线,比较它们需要的时间，又可将通过E的一条路线抹掉最后,剩余一条最省时间的路线(图d）,它需要15+11＋1０＋12＝48（分钟）又解】要抓住核心点C从A到B的道路如果通过C点,那么,从A到C的道路中选一条最省时间的,即AGC；从C到B的道路中也选一条最省时间的,即ＣFB。

因而从Ａ到B通过Ｃ的所有道路中最省时间的就是这两条道路接起来的，即ＡGＣFB它的总时间是48分钟剩余的只要比较从A到B而不通过C点的道路与道路AＧCFB,看那个更省时间不通过C点的道路只有两条:①ADHFB，它需要４９分钟；②AGIEB，它也需要４9分钟因此,从A到Ｂ最快需要48分钟答：最快需要４8分钟7.【解】梯形ABCＤ的面积等于EF×AB,而三角彤ABG的面积等于EG×AB,因此三角形ＡＢG和梯形ABCD的面积比等于EG与EF的比.由题目的条件,三角形ABG的面积是梯形ABCＤ的面积的,即EG是ＥF的.由于EＦ长1５厘米，EＧ的长就是：15×=６（厘米）．答：EG长6厘米8.【解】为了使问题简化,我们一方面分析一下这三堆砝码之间的关系很明显,一种3克的砝码加上一种7克的砝码正好等于两个5克的砝码（都是10克)，因此，如果用一种3克的砝码和一种7克的砝码去替代两个5克的砝码，砝码的个数及总重量都保持不变.这样一来，我们就可以把5克砝码两个两个地换掉,直到只剩余一种５克的砝码或者没有5克砝码为止问题归结为下面两种情形:(1）所取的砝码中没有5克砝码很明显，为了使所取的砝码个数尽量少，应当尽量少取３克砝码.而１３0克减去３克砝码的总重量应当是7克的倍数。

计算一下就可以懂得，取0个、１个、２个、3个、4个、5个3克砝码，所余下的重量都不是7克的倍数如果取6个３克砝码，那么13０克－3克×6＝11２克＝7克×16于是可以取16个７克砝码和６个3克砝码,总共2２个砝码(2)所取的砝码中有一种5克的那么３克和７克砝码的总重量是13０克－5克＝125克．和第一种情形类似,可以算出应取2个3克砝码和17个7克砝码,这样总共有１7＋2＋1=２０个砝码比较上面两种情形,我们得知至少要取2０个砝码取法可以就像后一种情形那样：2个３克的，1个5克的,17个7克的,固然也可以用两个5克砝码换掉一种3克和1个7克的砝码，例如可以取５个5克的和15个7克的.9.【解】我们懂得，每个圆的面积等于直径的平方乘以(π/４）目前要把5个圆分组，两组的总面积要尽量接近,或者说;两组总面积的比尽量接近1.由于每个圆面积均有因子（π/ ４)而我们关怀的只是面积的比,因此可把这个共同的因子都去掉,使问题简化为：将5个圆公成两组，使两组圆的直径的平方和尽量接近5个圆的直径的平方分别是9，16,２5,64，８1.这５个数的和是19５.由于195是奇数,因此不也许把这5个数提成两组,使它们的和相等.另一方面,８1十16=9７，9+25＋64＝98，两者仅相差1.因此，应当把直径4米和9米的两个花圃交给一种班管理，其他三个花圃交给另一种班管理.答:应当把直径4米和9米的两个花圃交给一种班管理,其他三个花圃交给另一种班管理。

１0.【解】观测一下已经写出的数就会发现，每隔两个奇数就有一种偶数这个规律是不难解释的:由于两个奇数的和是偶数,因此两个奇数背面一定是偶数另一方面，一种奇数和一种偶数的和是奇数,因此偶数背面一种是奇数,再背面一种还是奇数这样,一种偶数背面一定有持续两个奇数，而这两个奇数背面一定又是偶数，等等因此,偶数出目前第三、第六、第九…第九十九个位子上因此偶数的个数等于10０以内3的倍数的个数，即等于99÷3＝3３,于是,这串数的前1００个数中共有3３个偶数本题给出的这串数叫做“菲波那西数列”，又叫“兔子数列”答：这串数的前1０0个数中共有３3个偶数11．【解】王师傅每两千米应行×2（小时）,现来时每１千米行小时，　因此返回时每1千米应行：×2－=(小时)　即应以每小时66千米的速度往回开.【又解】根据题意,如果王师傅来回都以每小时60公里的速度行驶,正好准时返回甲地．也就是说，按筹划行驶1公里的时间是小时.而王师傅从甲地到乙地的实际行驶速度只有55公里/小时，这样一来、实际行驶1公里所耗费的时间是小时,比筹划多用小时，为了能准时返回甲地,王师傅从乙地返回甲地时，行驶1公里所花的时间必须比原筹划时间少小时.也就是说,只能花=（小时)。

因此王师傅往回开的速度应是６６公/小时答：王师傅应以６6公里／小时的速度往回开12.【解】一方面我们要注意到:爸爸和儿子只能在由A沿逆时针方向到B这一段跑道上相遇,并且儿子比爸爸跑得快,因此相遇时一定是儿子从背面。