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第四章 线性系统的根轨迹法(root locus method),根轨迹的概念，根轨迹方程绘制根轨迹的基本法则广义根轨迹（参数根轨迹、零度根轨迹）的概念利用根轨迹分析、估算系统性能控制系统复域设计,根轨迹法简介,1948，W.R.Evans 在系统（尤其是多回路复杂系统）初步设计阶段常采用的一种相对于解析法简便、实用、近似的图解方法[举例]：用解析的方法画闭环极点的轨迹,形成根轨迹,,,,K=0,j,,,,,,0,-2,-1,1,2,K=0,K=0.5,,-2,,,-1,K=1,K=2.5,,,,,K=1,K=2.5,,,,,,,3,-3,分析根轨迹与系统性能的关系,稳定性？,稳态性能？,系统属Ⅰ型,动态性能？,根轨迹概念,当开环系统某一参数（例如开环增益K或时间常数T等）变化时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹，是系统所有闭环极点的集合根轨迹方程推导,由开环传递函数G(s)H(s)出发，利用开环与闭环的关系，根据系统闭环特征方程 1+ G(s)H(s) =0，推导根轨迹方程闭环零、极点与开环零、极点的关系,于是，系统开环传递函数可表示为：,将G(s)H(s)的表达式代入(s)，得：,比较(s)与G(s)H(s)，得出以下结论：,闭环系统根轨迹增益=KG*；对于单位反馈系统，开环根轨迹增益K*= KG* ；闭环系统零点由G(s)的零点和H(s)的极点组成；对于H(s)=1，闭环零点就是开环零点；闭环极点与开环零点、开环极点及开环根轨迹增益K*有关。

反馈通路,前向通路,特征方程→根轨迹方程,闭环系统向量形式的特征方程为：,∠G(s)H(s)=±180°（2k+1）(k=0,1,2,3…)----相角条件,模、相角形式的特征方程为：,包含开环零、极点的根轨迹向量方程,当系统有m个开环零点和n个开环极点时闭环系统特征方程等价为：,K*：0→+∞ ——常规根轨迹K*： -∞ → 0 ——补根轨迹K*： -∞ →+∞ ——全根轨迹,∴可以从开环零、极点出发绘出闭环系统根轨迹,根轨迹的相角条件方程和模值条件方程：,∠G(s)H(s)=±180°(2k+1) (k=0,1,2,3…)----相角条件,∑（由各开环零点指向根轨迹点s的方向角） －∑（由各开环极点指向根轨迹点s的方向角） ＝指向正左方,● 相角条件的几何意义：,,,,,,,,,si,p2,,,z1,,z2,,z3,j,,p3,p4,● 模值条件的几何意义：,各开环极点pi引向根轨迹上点s的向量模的乘积，除以各开环零点zj引向根轨迹点s的向量模的乘积，所得商为点s所对应系统的开环根轨迹增益K*si,p2,,,,,z1,,z2,,z3,,j,,,,p3,p4,,根轨迹绘制的基本法则,法则1 根轨迹的起点和终点,法则2 根轨迹的分支数和对称性,法则3 根轨迹的渐近线,法则4 实轴上的根轨迹,法则6 根轨迹的起始角与终止角,法则7 根轨迹与虚轴的交点,法则8 根之和与根之积,法则5 根轨迹分离点与分离角,由根轨迹的相角、模值条件，可以得到：,根轨迹绘制基本法则推导,法则1 根轨迹的起点(对应于K*=0)和终点(对应于K*→∞ )：起于开环极点，终于开环零点,[证明]：,引入“无限零点”：n > m时，将有(n-m)条根轨迹的终点在无穷远处；,同理引入“无限极点”：m > n时，将有(m-n)条根轨迹的起点在无穷远处。

法则2 根轨迹的分支数和对称性：根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限极点数n中的大者相等；每一根轨迹分支连续且对称于实轴[说明]： (1) 根轨迹的分支数必与闭环特征方程式根的 数目相一致，即等于m和n中的大者； (2) K*由0→∞连续变化时，特征方程的某些系数是K* 的函数，也随K*连续变化，因而根的变化也必然连续； (3) (s)为有理分式函数，根只有实数和复数，复根必共轭法则3 根轨迹的渐近线：当开环有限极点数n大于 有限零点数m时，有n-m条根轨迹分支沿与 实轴交角为a、交点为a的一组渐近线趋向 无穷远处，且有：,[证明]：渐近线是s值很大时的根轨迹；渐近 线重合于实轴或虚轴，或对称于实轴法则4 实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若 其右边开环实数零、极点个数之和为奇数， 则该区域必是根轨迹[证明]：依据根轨迹的相角条件,法则5 根轨迹分离点与分离角,分离点：两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点分离角：根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角。

分离角： 当 l 条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，分离角为：( 2k+1)/l (k=0,1,2,…,l-1) （当l=2时，分离角为直角±/2 ）分离点的坐标d是下列方程的解：,[证明]：根轨迹在s平面上相遇，说明闭环特征 方程有重根出现，重根即为分离点d 可以根据代数中重根条件证明d的方程实轴上的分离角恒为±90°,例如：,[例4-1]：已知系统开环传递函数为： （1） 绘制根轨迹并证明复平面上根轨迹部分为圆；（2） 系统呈现欠阻尼状态时的开环增益范围；（3） 系统最小阻尼比时的闭环极点[解] （1）绘制根轨迹,开环零、极点：,pzmap(sys) %绘制零、极点分布图,实轴上根轨迹：,分离点：,●,●,d2,d1,闭环根轨迹为圆,开环系统包含两个实数或复数极点和一个或以上的有限零点，若有限零点不位于两个极点之间，当K*从0到∞变化时，闭环根轨迹的复数部分，是以有限零点为圆心，以有限零点到分离点的距离为半径的一个圆，或圆的一部分●,●,rlocus(sys) %绘制根轨迹,(1) 证明复平面上根轨迹部分为圆：,（2） 系统呈现欠阻尼状态时的开环增益范围,max,（3） 系统最小阻尼比时的闭环极点,法则6 根轨迹的起始角与终止角,,起始角或出射角pi：根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角；终止角或入射角zj：根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角。

起始角θpi与终止角 zj依据相角条件求出：,,,,,,,,,p4,,,z1,,z2,,z3,j,开环零、极点分布图：,,,,,,,,,,,,,,,z1,,z2,,z3,,,j,,,,,,,,计算起始角：,计算终止角：,意义：分析K*变化对系统稳定性的影响法则7 根轨迹与虚轴的交点,根轨迹与虚轴相交表示闭环系统将有一对虚轴上的极点令s=j ，即D( j )=0 ，并分别令实部、虚部为零 ，得到方程组：,求解方法一：直接解系统特征方程,求根轨迹与虚轴的交点,[解]：列Routh表 s3 1 2 s2 3 K1 s1 (6- K1)/3 s0 K1,令 s1 行元素为零，则系统临界稳定，特征方程存在虚根，这时K1 =6；,[例4-3]：确定下述闭环特征方程根轨迹与虚轴的交点。

s3+3s2+2s+K1=0,再由Routh表s2行元素写出辅助方程：3 s2 + K1 =0,求解方法二：应用Routh判据,[另解]：直接求解特征方程，将s=j 代入特征方程 s3+3s2+2s+K1=0 有： （32+ K1 ）+j(3+2  )=0 即,法则8 根之和——可用于判断根轨迹走向,,n>m时，系统闭环特征方程可以有不同表示形式：,闭环特征根,,,当 n-m≥2，特征方程第二项系数（a1）与K*无关，开环n个极点之和等于闭环特征方程n个根之和，是一个常数：,所以当K*增大，若一些特征根的实部增大，必然有另一些特征根的实部在减小可由此判断根轨迹的走向, [(n-m)≥2时],根轨迹绘制基本法则补充：,用光滑曲线连接上述各法则得到的特征点画出根轨迹 当特征点太稀疏而无法判定根轨迹位置时，可在存疑区域用相角条件试算几个根轨迹上的点根轨迹的绘制举例,[例4-4]：已知单位反馈控制系统开环传递函数，绘制闭环系统的根轨迹R(s),C(s),[解]：,1. 确定分支数，n=4，m=0,2. 确定起点、终点 开环极点： p1=0, p2=-3 p3,4=-1±j,,,s平面,-1,-3,-2,,,0,j,p3,p4,p1,p2,3. 根轨迹的渐近线,渐近线与实轴交角：,渐近线方程为： =tga [- a],渐近线与实轴交点：,例4-4 根轨迹渐近线,,,s平面,-1,-3,-2,,,0,j,,,,a,4. 实轴上的根轨迹： 实轴上的根轨迹位于[-3，0]区域。

s平面,-1,-3,-2,,,0,j,,,,a,,5. 根轨迹的分离点（实轴上）,用试探法在 [-3，0] 范围进行试探，可得： d ≈-2.3,只有一个分离点d,,,-1,-3,-2,,,0,j,,,,a,,●,d,也可以由重根条件：,roots( )； %求多项式的根,6. 确定起始角（出射角） p3 = 180°+  i -  j ≈ 180 °-(135 °+90 °+26.6 °) ≈ - 71.4 °,,,-1,-3,-2,,,0,j,,,,a,,●,d,p3,p4,,,p3,7. 确定根轨迹与虚轴的交点 特征方程为： s4+5s3+8s2+6s+K*=0 应用Routh判据：s4 1 8 K* s3 5 6 s2 34/5 K* s1 (204－25 K* )/34 s0 K*,令s1行元素为零，得： K* = 204/25 = 8.16,再由s2行 元素写出辅助方程： (34/5)s2 + K* = 0 代入 K* = 8.16 ，可解得： s≈ ±j1.1， 即根轨迹与虚轴交点坐标为： ≈±1.1,,,-1,-3,-2,,,0,j,,,,a,,●,d,p3,p4,,,p3,-j1.1,K*=8.16,j1.1,K*=8.16,●,●,根轨迹与虚轴的交点：,,,-1,-3,-2,,,0,j,,,,a,●,d,p3,p4,,,p3,●,●,得到系统的闭环根轨迹图：,,,,,,,j1.1,K*=8.16,-j1.1,K*=8.16,绘制根轨迹须注意的一些问题,起点与终点，注意是开环零、极点；并考虑无限零点、无限极点；分支数、对称性、连续性；渐近线，注意与实轴交角的计算时k的取值：在实轴上的分布，注意是其右方开环实数零、极点之和为奇数。