数学专业毕业论文勾股定理.docx

勾股定理被称为千古第一定理但是由于内容的抽象，学生很难理解，通过本 文的研究，激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和发展思维帮助学生解决 这些疑难问题，帮助学生更好的掌握勾股定理•木文主要综合接受式教学和活动式 教学的优点与不足，研究出适合勾股定理学习的一种教学方法—简述勾股定理的历史背景勾股定理有着悠久的历史早在3000多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三 股 四 弦五”，即：“将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等 于五”如图1所示：这个成就被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中在此书里，还记载了勾股定理的一般形式：如杲直角三角形的两条直角边分别为图217世纪的法国数学家费马也研究了勾股数组的问题，并且在这个问题的启发下，想到了一个更一般的问题，1637年，他提出来数学史上的一个著名猜想一一费马大定理，即当n>2时，找不到任何正整数，使等式成立，费马达定理公布以 后，引起了各国优秀数学家的关注，他们围绕着这个定理顽强地探索着，试图来证明 它1995年，英籍数学家怀儿斯终于证明了费马大定理，解开了这个困惑世间无数 智者300多年的谜古代巴比伦人和古代中国人看出了勾股定理的关系，并首先在古希腊得到证明。

可以说，勾股定理是世界文化的遗产，是全世界人民智慧的结晶随着社会实践的不 断发展，勾股定理在生活中发挥着越来越重要的作用通过它，我们可以更加有效地 探索客观世界，更好地掌握事物之间千变力•化的联系，更好地利用事物的内在规律, 所以，我们耍继承和发扬前辈留下的文化遗产，将我们的数学理论和数学知识运用到 社会生活的各个层面，使Z能为社会发展做出更大的贡献二勾股定理的理解对于勾股定理，一般有两种不同的理解，其表述方式也不同：1形的勾股定理在一直角三角形中，斜边上的正方形等于-直角边上的两个正方形这就是欧几里 得的表述，但是这里讲的完全是儿何图形Z间的关系，完全没有牵扯到数的问题所 谓相等，是指拼补相等，即将两个正方形分成若干块，可以拼成斜边上的大正方形 既然没有牵扯到数，也就不存在“和”，即相加，所以命题里并没有提到“和”的字 样2数的勾股定理直角三角形斜边长度的平方，等于两条直角边的平方和此定理谈的是长度，长 度是一个数，数的平方还是数，所以定理讲的是数与数之间的关系，完全没有考虑平 方的几何意义由于这两种提法的意义完全不同，所以第一种称为“形的勾股定理”，第二种称 为“数的勾股定理”正确认识接受式与活动式教学对改进课堂教学的意义两种方式各有其利与弊。

止确认识两种教学方式的存在价值第一、接受式教学有利于教师传授新知识，进行单纯的技能技巧训练，但不利于学生 的创造性学习；活动式教学有利于发挥学生的主动性和探索性知识，获得自己所需求的和 0的的技能技巧，但是这种教学不利于学生学习系统知识第二、两种教学方式均可达到有意义学习的目的，但两者功能各界，无法和互取代奥斯贝尔强调，学生的学习以有意义的接受学习为主，这是十分正确的因为， 有意义的接受学习是学生在教师的指导和传授下获得知识的最经济、最快捷、最有效 的学习方式学生正是用这种既省时、又省力的方式在较短的时间里获得大量有用的 知识对于活动式教学，也未必一定就是“有意义学习”其关键在于学生个体利用现 有的工具（包括知识、材料、技能、方法等）综合解决某个任务，其中学生对于学习任 务的参与度和完成度是判断活动式教学是否有意义的标准第三、在两种方式的两极的张力下，“改进”教学意味着以多种方式实现学生的 “有意义学习”无论是哪一种教学方式，其最终目的都要关注学生的学习质量，但是在两种教学 方式的张力下，存在着侧重点不同的各类教学方法，这些教学方法在教与学的水平上, 可大致划分为“记忆、解释性理解、探究性理解”三种，由于两种学习方式各有其特 点，不能相互取代，因此在进行勾股定理的探究性学习时应该将探究性学习和接受式 学习有机结合起来，应充分发挥学生学习的主体性，比学生主动探索勾股定理的奥妙, 体现勾股定理的文化价值。

二）现代勾股定理的教学设计由于历史背景不同，勾股定理的发展道路和起源也有所不相同，但是，我们应该 继承这些知识的文化精髓，更要结合现在的时代背景，改变其传统的数学价值观，创 造出符合现代数学教学的教学模式，对于勾股定理教学的学习，我们应该从以下两方 面入手：1从文化传统习惯入手，进行勾股定理的教学请学生口己亲自画儿个直角三角形，进行观察，利用直尺测量三条边长，并记录 测量数据，将所得数据平方，分析它们Z间的关系，引导学生通过计算发现勾股定理 因为测量和计算是我们民族文化传统的特长，也是我们很熟悉的学习方法，利用测量工具进行估算，寻找规律，提岀猜想，符合我们的文化传统习惯，也容易发挥学生的 主管积极性然后教师利用几何画板软件设计任一个直角三角形，自动测量三边边长, 用几何画板软件来测量三角形的边长，展示了-直角三角形的任意性，也证实了学生的 猜想和推测，这种方法，是传统文化精髓与现代文化的新结合儿何画板不仅仅是一 种测量工具的改善，更是一个数学教育现代化的平台，这是传统教学无法实现的一个 梦想这个例子足以体现了计算机技术在数学教学中的应用，计算机技术为我们的现 代化教学做illTB大的贡献。

2比较赵爽证法和欧几里得证法，挖掘传统文化内涵勾股定理的证明有着丰富无比的文化内涵，其中赵爽的弦图证法和欧几里得的证 法最为典型赵爽的弦图证法：如图3所示b第一种方法：边长为匚的正方形可以看作是由4个直角边分别为二、仁 斜边为芒的一直角三角形围在外面形成的因为边长为芒的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围止方形的面积，所以可以列出等式(；+ = (a + b)2‘化简得疋=/+庆.第二种方法：边长为二的正方形可以看作是由4个直角边分别为4斜边为Q 的角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为3-国的正方形“小 洞”因为边长为「的正方形面积等于4个直角三角形的而积加上正方形“小洞”的 面积，所以可以列出等式2=(“+4 亍,化简得c? = a2 +b2.这种证明方法很简明，也很直观，他充分利用了直角三角形易于移补的特点，并 结合图形因移、补、凑、合，面积始终不变的思想，安排学生亲自动手操作，理解割 补原理，体现我国的传统文化，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数 学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲欧儿里得的证法：H图4在宜角三角形ABC各边向外作正方形（如图4所示）过A点画一直线AL使 其垂直于DE, 并交DE于L,交BC于Mo通过证明厶BCF^ABDA,利用三角形 面积与长方形面积的关系，得到正方形ABFG与矩形BDLM等积，同理正方形ACKH与 矩形MLEC也等积，于是推得证明：在三角形ABD中，它的面积Si二丄底（BD） X高（BM），在三角形FBC中，2它的面积S2二丄底（FB） X高（AB），又因ABD^AFBC,所以BDXBM二FBXAB,得2到正方形ABFG与矩形BDLM等面积,同理可证正方形ACKH与矩形MLEC也等面积,于是推得 AB2^AC2=BC\ 即 a2+b2=c\比较赵爽证发和欧儿里得证法可知，赵爽证法是建立在一种不证口明，形象直观 的原理上，即“出入相补”原理。

其证明过程可以借助实物进行操作，使具体问题数 学化，最终达到对数学定理的意义构建而欧几里得则完全脱离了实物的支撑，给我 们展示的是数学美和数学理性的追求，它在更高层次上使学生的思维得到锻炼，最终 完成对公理化演绎体系结构的深刻理解所以，我们可以从文化传统习惯入手，使用 现代化手段來继承和发扬传统文化，挖掘传统文化内涵，实现现代化的数学教育三) “探索勾股定理”教学设计1学情分析学生是教学的主体，本教学对象是八年级的学生，他们是带着自己原有的知识背景、 活动经验和理解走进课堂的，并通过走进的主动活动去构建对数学的理解本节是“探索 勾股定理”的第二个课时，教学对象对勾股定理己经有了一定的了解，通过上节课的学习, 学生对勾股定理产生了极大的兴趣，对木节课的教学奠定了基础2对教学目标进行分析(1) 知识与技能经丿刃探索勾股定理的过程，进一步体会勾股定理的意义，学生亲自探索，培养学生的 推理能力和探索能力2) 方法与过程a・教师通过设置教学情境，激发学生的拼图兴趣，b. 让学生亲口进行拼摆过程，并鼓励学生用自己的语言表达拼图方法和意图，学生自 主探索验证勾股定理时，引导学生将“数”与“形”联系起来，然后推导出勾股定理.c. 通过对实际问题的分析解决，加深对勾股定理的理解。

3) 情感，态度与价值观通过对勾股定理的探索，鼓励学生养成独立思考，口主探究的学习习惯，同时让学生 发现数学的美，体现数学美3教学准备教师准备：2002年世界数学家大会的会标图，四个全等的直角三角形学生准备：以个全等的直角三角形4教学过程(1) 创造课前情景苏赫姆林斯基说过：“兴趣是最好的老师”，要激发学生的学习兴趣，情境创设是关 键，首先老师让学生欣赏2002年世界数学家大会的会标，引导学生冇目的的观察，激发 学生的学习兴趣，呈现一种拼图方法，学生产生了浓厚的兴趣，为本节学习捉供了好的氛 围2) 让学生口主探索首先让学生拼图验证勾股定理，利用4个全等的直角三角形，设法拼出一个含有斜边 c为边长的正方形，将“形”与“数”联系在一起推导出勾股定理由于学生所准备的直 角三角形的形状和大小不一样，要求他们事先测量出三角形的三边长，由于每个学生的思维方式不一样，所以他们拼出的符合要求的图形也不一定和同，可能出现下列情况:学牛A得到如图5证明：因为边长为芒的正方形可以看作是由4个直角边分别为」、i,斜边为二的角三角形拼接形成的，不过中间缺出一个边长为卩-可的正方形“小洞”因为边长为芒的正方形而积等于4个直角三角形的而积加上正方形“小洞”的而积，所以可以 列出等式化简得 c2=a24-&2.学生B得到如图6所示的拼图证明：因为大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间边长为c的正方形的面积，即:c2 +4 x—ab = ( + by2化简整理得:c2=a2+b\（3）对学牛的探索结果加以判断并把此定理用于解决实际问题学生拼出含有c的正方形后，以学生B的图形为例将/、戸、c2与正方形的面积 结合起來，突岀大正方形的边长为a+b,小正方形的边长为c ,并且大正方形可以看作是 由4个全等的直角三角形和一个小正方形构成，从而推导出勾股定理疋=/+方2。

即，直 角三角形两直角边的平方和等于斜边的平在通过举例和练习，把勾股定理运用到解决实际问题中去，加深学生对勾股定理的理解例1.女】1图7,校园内有两棵树，相距12米，一棵树咼16米，另一棵树咼11米，一只 小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？师：请思考如何做？至少怎么理解?生：走直线就短，用勾股定理就可以了，还要做辅助线 师：怎样做辅助线？生：连结两树顶得AB,过B作高树的垂线就可以了师：请同学们把解题步骤写出来11*图7A解：由题意有：BC=12米，AC = 16-11=5米在RtAABC中AB= 十砂=13答：小鸟至少要飞13米练习：1,如果一个直角三角形的两条边长分别是6厘米和8厘米，那么这个三角形的周长是 多少厘米？(4)和学生一起反思木次教学，帮助学生加深理解让学生回顾本节所学内容，并提出需要解决的问题，让学生说出心中所想，鼓励学生 大胆质疑，通。