高一数学(函数中的几类易错问题)教案.doc

函数中的几类易错问题江苏省泰兴市第二高级中学 张杰函数是高中数学的核心内容，也是高中数学中十分重要的概念之一由于它涉及函数的定义域和值域、奇偶性、周期性、图象和解析式等问题，因而是高考中的必考内容，然而在学习中，学生对函数的内容经常会出现某些模糊的认识甚至错误，现对常见的问题给予列举，希望能够给大家以启发1．函数的定义域容易被忽略例1：已知集合，若用列举法表示集合，则A为（ ）y错解：原式转化为有唯一的实数解，所以xo 答案：A错因：忽略函数的定义域正解：原式等价于（）有唯一实数解由图象可知，集合A有三个元素故选D.本题若用代数方法解，则讨论十分繁琐，而将方程的解转化为函数图象的公共点，利用数形结合的方法可简化讨论，避免繁冗的代数运算总结：由以上例题可以知道，只要遇到有关函数的问题，首当其冲考虑的问题是定义域，因为函数是由对应法则和定义域、值域组成的，给出的是对应法则，所以必须考虑定义域2、函数奇偶性性质应用不熟练（1）f(x)是偶函数，等价于f(x)=f(|x|)；（2）若函数f(x+a)是偶函数，则f(-x+a)=f(x+a)，即f(2a-x)=f(x)，也就是函数f(x)的图象关于直线x=a对称；（3）．若函数f(x+a)是奇函数，则f(-x+a)=-f(x+a)，即f(2a-x)=-f(x)，也就是函数f(x)的图象关于点(a，0)中心对称.例2已知函数f(x+1)是偶函数，且x<1时，f(x)=x2+1，求x>1时，f(x)的解析式.解析 关键是理解“f(x+1)是偶函数”的意义，即f(-x+1)=f(x+1). 然后利用对称性将x>1上f(x)的解析式求解转化到x<1上的解析式计算.设x>1，则-x+2<1，于是f(-x+2)=(-x+2)2+1，而f(-x+2)=f(x)，从而f(x)=(-x+2)2+1.故x>1时，f(x)的解析式为f(x)=x2-4x+5例3 设定义域为(-∞，+∞)的偶函数f(x)在区间(0，+∞)上为减函数，解不等式f(x)>f(2x+1).解析 如果分区间去讨论的话，不仅麻烦，而且容易导致分类不全的错误.我们可以借助偶函数的性质f(x)=f(|x|)来讨论.对偶函数f(x)，不等式f(x)>f(2x+1)等价于f(|x|)>f(|2x+1|)，由于f(x)在区间(0，+∞)上为减函数，所以|x|<|2x+1|，解得x<-1或x>-.所以原不等式的解集为.3．函数周期的概念不清：1．函数f(x)的最小正周期是T，则函数f(kx+b)(k≠0)的最小正周期为；1． 函数f(x)对任意x都有f(kx+b)=f(kx)，则b是函数f(x)的一个周期.例4 已知f(x)是周期为T(T>0)的周期函数，那么f(2x+1)是(　　　　). A.周期为T的周期函数　　　　　B.周期为2T的周期函数C.周期为的周期函数　　　　　D.不是周期函数　　解析　关键是理解周期函数的定义：对定义域内的任意一个自变量x，都有f(x+T)=f(x).注意这个正的常数T应是加在x上的.因为f(x＋T)＝ f(x)，　所以f(2x+1)＝f(2x+1+T)=f[2(x+)+1]. 所以f(2x+1)的周期为.例5 (2003年北京春季高考)若存在常数，使得函数的一个正周期为 . 解析 这个题很容易误解为：由=得周期为. 导致这个错误的原因在于没有理解复合函数的意义.令px=t，得，即，再令x为代入得，从而得到f(x)的一个正周期为. 。