理解数学归纳法原理的心理困难.doc

理解数学归纳法原理的心理困难菲施拜因(E.Fischbein)等评介本文原标题为PsychologicalDifficultiesinUnderstandingthePrincipleofMathematicalInduction，作者菲施拜因和埃吉尔(Engel,L.)都是以色列人他们先作了一次初步调查,收集到学生的各种回答，了解到大致倾向，然后针对关键所在，选取学生的有关说法作为问卷中的问题深入调查，得到一定的数据，诊断出主要心理困难，方法简单，容易仿效本文实际上指明了：数学的程式化运算与对数学原理的理解是不同方面的问题，需要分别解决，不能混为一谈即使学生掌握了有关的解题方法和技巧，仍有可能对概念、原理的意义不理解这种情况在数学教学中普遍存在，只不过表现程度有所不同罢了这是本文选题的深刻之处原文载于ProceedingsofPsychologyofMathematicsEducation13(1989)李士锜)引言数学归纳法原理可叙述如下：⑴如果命题p(n)当n=1时证明成立，⑵如果能证明对n=k，从p(k)可推出p(k+1),那么p(k)对每个数n都成立变量范围为自然数集合(起始数可以不是1，但一般为1)。

用公理化形式描述即为：[p(1)和Vk[p(k)fp(k+1)]]fVn,p(n)还可以作更明确的描述：定理：p(n)；证明：使用数学归纳法；归纳基础：证明p(1)；归纳假设：设P(k)；归纳推理：从归纳假设证明P(k+1)这种推理的本质特征用庞加莱的话来说就是：“把无穷的三段论纳入唯一的公式中利用归纳法原理作证明，会产生各种技巧上的困难，但更令人注意的问题是，即使学生具有应用数学归纳法的技巧，也常常不能真正理解它的意义方法为了更好地了解学生在学习数学归纳法原理中遇到的困难，我们对中学十一年级共4个班级138名学生进行了调查研究他们共上了有关数学归纳法的课15节(在大纲范围内)，这一阶段课以后，要求被试者回答一系列问题，在本文中我们仅讨论有关归纳假设的下列4个问题：(1) 雅可夫说：“我已用数学归纳法证明了一个定理，而我实际上并不能肯定我所证的定理是否真的成立，因为我用到了归纳假设(命题对某个k成立)，但我不知道命题对这个k是否真的成立你同意雅可夫的看法吗?是／否说出你的理由2) 丹尼说：“我们用数学归纳法的归纳基础和归纳推理证明了一个定理，尽管我们得到了证明，但假设还只是假设在假设否定时，整个证明就没有根据了。

你同意丹尼的看法吗?是／否说出你的理由3) “归纳假设”只是假设你有方法去检验归纳假设所表示的判断成立吗?有／无说出你的理由4) 你是否同意下述说法：“使用数学归纳法的证明过程中，归纳推理存在一个缺陷：在这一步中，我们开始时假设命题是正确的，进而依赖它去推出命题成立是／否说出你的理由以上这些问题都是在作初步调查时学生所作的回答及评论我们的结论是：他们的确说出了自己的错误理解，而且值得花时间去确定其结构和出错率结果下面我们列举学生赞同或否定调查卷中说法所表达的理由,并作了分类，引用了一些例子统计数据从略正确回答(1) 第一种类型：结构性的回答两部分证明之后(确认了基础，证明了归纳推理)，就证明了命题对每个大于归纳基础的自然数都成立，假设就成了事实2) 第二种类型：一连串过程的解释数学归纳法过程证明了归纳假设首先，我们肯定了归纳基础；然后，归纳推理的成立又肯定了命题对下一个自然数成立这样，从归纳法基础开始，这种方法产生了无数个正确命题，于是，命题对每个自然数都成立不正确的回答(1) 归纳假设的根据是有理由的例：①“如果归纳假设得证了，命题也就得证了② “在与归纳假设相反的结论得证以前，应把它看成是正确的。

③ “只要归纳假没成立，命题就成立2) 归纳假设的正确性是有保证的例：①“虽然证明过程未证明归纳假设，但我们知道它是成立的②“归纳假设成立，因此我们可以相信它3) 归纳假设的成立是不能证明的例：①“我们设了归纳假设成立，但不能证明它②“归纳假设是完全不可能证明的4) 归纳假设的成立与归纳推理的成立没有关系例：①“可能有这种情况：归纳假设并不成立，而用归纳法原理的证明是对的②“归纳假设虽然有可能不正确，但如果归纳基础和归纳推理成立了，对命题证明也就足够了5) 归纳基础的成立肯定了归纳假设例：“如果确认了归纳基础，我们就可以认为归纳假设中的数k是就是起始数，因此命题对k是成立6) 归纳推理成立肯定了归纳假设例：“如果归纳假设不成立，我们就不能证明归纳推理我们发现，只有28.3％的学生回答完全正确，有48.6％和2.8％的学生不能坚持正确的回答或是坚持了错误回答，20.3％作了其他各种错误回答所以，大约有半数学生缺乏正确的理解，这说明了所教的概念与直观基础之间的不一致讨论学生面临的心理问题是：命题p(k)在归纳推理中出现了两次，一是作为被证的命题，一是作为命题成立的假设条件理解的难点是：p(k)(归纳假设)在推理过程中，不是作为被证的事实,而是作为假设——那是它的初始状态。

困难在于学生必须将归纳推理(由P(k)成立得出p(k+1)也成立)的整个阶段建立在一个命题上，而它本身又未被预先证明，并且在推理过程中不加以证明事实上，学生完全不习惯这种推理方式我们可以从一个给定的实际情况出发，归结出某个定理，然后通过检验这个过程来证实它，或者可以从一个理论假设出发，通过与实际情况相比较来证明它一般我们不去检验过程本身所蕴含的意义这个蕴含的意义与两个命题的成立没有任何关系，它就像在空中建造起一座两端没有支撑的大桥实际上，在最后阶段，数学归纳法将已经证得的命题(即p(n)对n=1成立，及p(k)fp(k+1)联系了起来由此，从n=1开始，三段论的无限步就得证了但遗留的事实是，归纳推理作为一个独立的命题，首先必须加以证明由于这种情况的影响，学生不能将归纳假设p(k)在归纳推理中看成一个命题它是否绝对成立是没有关系的，于是，他们就会产生以下一些想法：(1) 归纳假设的成立是有保证的；(2) 归纳假设的成立是不能证明的；(3) 归纳假设的根据是有限的(在某种情况下，它可能不成立)简而言之，我们举出了上述方式以说明学生在理解数学归纳法原理时的难点归纳推理需要一个建立于自身之上的证明，我们要证明的蕴含关系P-q对于其两部分P和q来说，它们的客观正确性在归纳推理这一过程中是完全没有关系的，这个想法看来无法被学生直观地接受。

这种情况被“前提P已经包含了要求证的定理”弄复杂了学生的想法是想验证前提是否成立，于是他们就弄不懂前提的承认要依赖于被证的定理按照皮亚杰的理论，形式运算阶段的主要特点之一是：青少年能按逻辑对命题结构进行运算在这种命题结构中，蕴含意义起了一个基本作用，但事实要比皮亚杰理论的预言复杂得多许多学生常常注意对被蕴含关系联系起来的每一个命题的绝对成立作思考，尽管这种成立性在形式条件中是没有关系的李士锜译)#。