高一数学 第三讲 函数的增减性.doc

1函数的增减性一、一、概念概念 一般地，设函数一般地，设函数 y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为 A A，区间，区间 I IA A 如果对于区间如果对于区间 I I 内的任意两个值内的任意两个值 x x1 1,x,x2 2，当，当 x x1 1f(x)>f(x2 2 ) )，那么就说在这个区间，那么就说在这个区间 I I 上是减上是减 函数I I 称为称为 y=f(x)y=f(x)的单调减区间的单调减区间1. 证明函数在上是增函数．xxxf2)(),2(2．归纳解题步骤归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．练习：证明函数在上是增函数．xxf)(), 0[ 问题：要证明函数在区间上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的，)(xf),(ba),(,21baxx且有可以吗?21xx 0)()(1212 xxxfxf分析这种叙述与定义的等价性．尝试用这种等价形式证明函数在上是增函数．xxf)(), 0[ ①如果函数 对区间 D 内的任意，当时都有，则在 D 内是增函数； xf21,xx21xx   21xfxf xf当时都有，则在 D 内是减函数。

21xx   21xfxf xf②设，那么是增函数；baxx,,21   xfxxxfxf02121是减函数   xfxxxfxf02121二、主要方法二、主要方法：讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是1.定义域的子集； 判断函数的单调性的方法有：2.用定义； 12用已知函数的单调性； 2利用函数的导数； 3如果在区间上是增（减）函数，那么在的任一非空子区间上也是增（减）函数 4( )f xD( )f xD图象法； 5复合函数的单调性结论：“同增异减” 6奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性. 7互为反函数的两个函数具有相同的单调性． 8在公共定义域内，增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数(9))(xf)(xg)(xf)(xg减函数是增函数；减函数增函数是减函数)(xf)(xg)(xf)(xg函数在上单调递增；在上是单 10)0, 0(baxbaxy,,bb aa 或,00bb aa或，调递减。

证明函数单调性的方法：3.利用单调性定义①：如果函数 对区间 D 内的任意，当时都有，则 1 xf21,xx21xx   21xfxf在 D 内是增函数；当时都有，则在 D 内时减函数 xf21xx   21xfxf xf利用单调性定义②：设，那么在是增函数； 2baxx,,21   xfxxxfxf02121在是减函数   xfxxxfxf02121三、函数单调性课堂练习三、函数单调性课堂练习 如果函数 y=f(x)在区间 I 上是单调增函数或是单调减函数，那么就说函数 y=f(x)在区间 I 上具有单调性.已 知函数 y=f(x)的图象，根据图象写出函数的单调区间：y ya b O c d x 2O x21.下列函数在区间(0,+)上不是增函数的是（ ）A.y=2x+1 B.y=x2+1 C.y= D.y=x2+2x+1x32. 下列函数中，属于增函数的是 [ ]3. 若一次函数 y=kx+b(k≠0)在(-∞，+∞)上是单调递减函数，则点(k，b)在直角坐标平面的 [ ]3A．上半平面 B．下半平面 C．左半平面 D．右半平面4．函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞，4)上是减函数，则实数 a 的取值范围是 [ ]A．a≥3 B．a≤-3 C．a≤5 D．a=-35. 已知 f(x)=8+2x-x2，如果 g(x)=f(2-x2)，那么 g(x)[ ]A．在区间(-1，0)内是减函数 B．在区间(0，1)内是减函数C．在区间(-2，0)内是增函数 D．在区间(0，2)内是增函数6.在区间 上为增函数的是( ).A． B． C． D． 7.的增区间是（ ）。

A． B． C． D． 8.(1)若函数 y=kx+2 在 R 上为增函数，则 k 的范围是 ；(2)若函数 y=x2—mx+5 在（—，2）为减函数，在（2,+）上为增函数，则 m= 9.y=f(x)在定义域上是单调递增函数，且 f(x)＞0，那么在同函数；y=[f(x)]2是单调______函数．10． 在 都是减函数,则 在 上是____函数(填增或减)．11．函数 ,当 时,是增函数,当 时是减函数,则．12．已知 是常数),且 ,则 的值为_______．13．函数 在 上是减函数,则 的取值范围是_______．14．若函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是__________．15．已知 在定义域内是减函数，且 ，在其定义域内判断下列函数的单调性：4① （ 为常数）是___________；② （ 为常数）是___________；③ 是____________；④ 是__________．16．设 ， 是增函数， 和 ， 是减函数，则 是_______函数； 是________函数； 是_______函数．17.（1）函数 f(x)=x2-1 在(-∞，0)上是减函数；、18. 已知 f(x)=-x3-x+1(x∈R)，证明 y=f(x)是定义域上的减函数，且满足等式 f(x)=0 的实数值 x 至多只有一 个．19．判断一次函数 单调性.520．证明函数 在 上是增函数，并判断函数 在 上的单调性.21．判断函数 的单调性.22.定义域为 R 的函数 y=f(x)，对任意 x∈R，都有 f(a+x)=f(a-x)，其中 a 为常数．又知 x∈(a，+∞)时，该函 数为减函数，判断当 x∈(-∞，a)时，函数 y=f(x)的单调状况，证明自己的结论．23.设 f(x)是定义在 R+上的递增函数，且 f(xy)=f(x)+f(y)(2)若 f(3)=1，且 f(a)＞f(a-1)+2，求 a 的取值范围．24．函数 对于 有意义，且满足条件 ， ， 是非减函数，（1）证明 ；（2）若 成立，求 的取值范围．625．已知函数 （1） ， ，证明： （2）证明 在 上是增函数26．函数 ， ，求函数 的单调区间．27．求证： 在 上不是单调函数．728．根据函数单调性的定义，证明函数 在 上是减函数．29．设 是定义在 上的增函数， ，且 ，求满足不等式 的x的取值范围.关于复合函数关于复合函数1 1、复合函数的概念、复合函数的概念如果 y 是 a 的函数，a 又是 x 的函数，即 y=f（a），a=g（x），那么 y 关于 x 的函数 y=f[g（x）]8叫做函数 y=f（x）和 a=g（x）的复合函数，其中 a 是中间变量，自变量为 x，函数值 y。

例如：函数是由复合而成立函数是由复合而成立a 是中间变量2 2、复合函数单调性、复合函数单调性定理：一般地，设函数定理：一般地，设函数 u=gu=g（（x x）在区间）在区间 M M 上有意义，函数上有意义，函数 y=fy=f（（u u）在区间）在区间 N N 上有意义，且当上有意义，且当 X∈MX∈M 时，时，u∈Nu∈N有以下四种情况：有以下四种情况：（（1 1）若）若 u=gu=g（（x x）在）在 M M 上是增函数，上是增函数，y=fy=f（（u u）在）在 N N 上是增函数，则上是增函数，则 y=f[gy=f[g（（x x））] ]在在 M M 上也是增函数；上也是增函数；（（2 2）若）若 u=gu=g（（x x）在）在 M M 上是增函数，上是增函数，y=fy=f（（u u）在）在 N N 上是减函数，则上是减函数，则 y=f[gy=f[g（（x x））] ]在在 M M 上也是减函数；上也是减函数；（（3 3）若）若 u=gu=g（（x x）在）在 M M 上是减函数，上是减函数，y=fy=f（（u u）在）在 N N 上是增函数，则上是增函数，则 y=f[gy=f[g（（x x））] ]在在 M M 上也是减函数；上也是减函数；（（4 4）若）若 u=gu=g（（x x）在）在 M M 上是减函数，上是减函数，y=fy=f（（u u）在）在 N N 上是减函数，则上是减函数，则 y=f[gy=f[g（（x x））] ]在在 M M 上也是增函数。

上也是增函数注意：内层函数注意：内层函数 u=gu=g（（x x）的值域是外层函数）的值域是外层函数 y=fy=f（（u u）的定义域的子集的定义域的子集例、讨论函数的单调性（1） （2）一．复合函数一．复合函数 y=f[g(x)]y=f[g(x)]的单调性规律的单调性规律若函数 y=f(x)是由外函数 y=f(u)和内函数 u=g(x)复合而成，则复合函数 y=f[g(x)]的单调性与各分函数 y=f(u), u=g(x)的单调性之间的关系如下表：9二．判断原则是二．判断原则是““同增异减同增异减””------两分函数的单调性相同时复合函数为增函数，两分函数的单调性不同时复合函数为减函数具体步骤是：具体步骤是：1. 求定义域；2. 把复合函数分解成若干基本初等函数；3. （外函数不单调时）依中间变量u 的范围求自变量 x 的范围；4. 依“同增异减”原则判断复合函数的增减性具体题目根据内外函数的难易情况分以下几类：（1）内外均简：在其定义域上内外函数均单调2）内繁外简：在其定义域上内函数不单调外函数单调3）内简外繁：在其定义域上外函数不单调内函数单调。

4）内外均繁：内外函数均不单调5）含参型：函数中含有参数6）分函数有两个以上：分函数中减函数有奇数个时复合函数减、偶数个时增例 1 函数 y=（）的单调性是 内外均简)x0x例 2求 y=log0.5(-x2+4x+3)的单调区间内繁外简）单 调 性三个以上分函数y=f(u)↗↗↘↘u=g(x)↗↘↗↘y=f[g(x)]↗↘↘↗判断原则“同增异减”偶数个减为增奇数个减为减10例 3 求 y=4x＋6•2x+2 的增区间外繁内简）例 4 函数 f(x+1)= x2-2x+1 的定义域[-2,0]求 f(x)的单调区间练习：f(x)与 g(x)= 关于 y=x 对称，求 f(3x-x2)的减区间例 5 求函数y=x4-2x2+6的单调区间（内外均繁）练习 .已知f(x)=8+2x-x2. g(x)=f(2-x2 )求 g(x)的单调区间11例 6 判断函数 f(x)=loga(1-ax)的单调性（含参型）练习：：1．函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是减函数，求 a 的取值范围2．函数y=log0.5(3x2-ax+5)在(-1,+∞)上单调递减，求 a 的取值范围。

3.求y =lg(2x+1)+lg（2x-2）的单调区间（三个分函数）二．两函数的运算：二．两函数的运算：两个单调函数的运算，。