2013年高考文科数学辽宁卷试题与答案word解析版.doc

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(辽宁卷)第Ⅰ卷21．(2013辽宁，文21)(本小题满分12分)(1)证明：当x∈[0,1]时，sin x≤x；(2)若不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]恒成立，求实数a的取值范围．21．(1)证明：记F(x)＝，则F′(x)＝.当时，F′(x)＞0，F(x)在上是增函数；当时，F′(x)＜0，F(x)在上是减函数．又F(0)＝0，F(1)＞0，所以当x∈[0,1]时，F(x)≥0，即sin x≥.记H(x)＝sin x－x，则当x∈(0,1)时，H′(x)＝cos x－1＜0，所以，H(x)在[0,1]上是减函数，则H(x)≤H(0)＝0，即sin x≤x.综上，≤sin x≤x，x∈[0,1]．(2)解法一：因为当x∈[0,1]时，ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x－4＝(a＋2)x＋x2＋≤(a＋2)x＋x2＋＝(a＋2)x.所以，当a≤－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]恒成立．下面证明，当a＞－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]不恒成立．因为当x∈[0,1]时，ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x－4＝(a＋2)x＋x2＋≥(a＋2)x＋x2＋＝(a＋2)x－x2－≥(a＋2)x－.所以存在x0∈(0,1)(例如x0取和中的较小值)满足＋2(x0＋2)cos x0－4＞0，即当a＞－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x－4≤0对x∈[0,1]不恒成立．综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]．解法二：记f(x)＝ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x－4，则f′(x)＝a＋2x＋＋2cos x－2(x＋2)sin x.记G(x)＝f′(x)，则G′(x)＝2＋3x－4sin x－2(x＋2)cos x.当x∈(0,1)时，cos x＞，因此G′(x)＜2＋3x－4·x－(x＋2)＝.于是f′(x)在[0,1]上是减函数，因此，当x∈(0,1)时，f′(x)＜f′(0)＝a＋2，故当a≤－2时，f′(x)＜0，从而f(x)在[0,1]上是减函数，所以f(x)≤f(0)＝0，即当a≤－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]恒成立．下面证明，当a＞－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]不恒成立．由于f′(x)在[0,1]上是减函数，且f′(0)＝a＋2＞0，f′(1)＝a＋＋2cos 1－6sin 1.当a≥6sin 1－2cos 1－时，f′(1)≥0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，因此f(x)在[0,1]上是增函数，故f(1)＞f(0)＝0；当－2＜a＜6sin 1－2cos 1－时，f′(1)＜0，又f′(0)＞0，故存在x0∈(0,1)使f′(x0)＝0，则当0＜x＜x0时，f′(x)＞f′(x0)＝0.所以f(x)在[0，x0]上是增函数，所以当x∈(0，x0)时，f(x)＞f(0)＝0.所以，当a＞－2时，不等式ax＋x2＋＋2(x＋2)cos x≤4对x∈[0,1]不恒成立．综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑22．(2013辽宁，文22)(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，AB为O直径，直线CD与O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.22．证明：(1)由直线CD与O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝，从而∠FEB＝∠EAB.故∠FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.类似可证：Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF.又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，所以EF2＝AD·BC.23．(2013辽宁，文23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值．23．解：(1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.解得所以C1与C2交点的极坐标为，.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.由参数方程可得.所以解得a＝－1，b＝2.24．(2013辽宁，文24)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．24．解：(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；当2＜x＜4时，f(x)≥4－|x－4|无解；当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得2x－6≥4，解得x≥5；所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，则由|h(x)|≤2，解得.又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，所以于是a＝3.。