十字相乘法+分组分解法教案【详细+配套练习】2.doc

***教案2012.4.03 让学习成为一种习惯！教师姓名***学生姓名***上课日期2012年4月 3 日学 科数学年 级初一教材版本苏教版课程名称因式分解—十字相乘法、分组分解法课时计划第（1-2) 课时共（ 4 ）课时上课时间8:30-10:55教学目标1．使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式因式分解；2．进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性教学重难点重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式因式分解难点：灵活运用十字相乘法因分解式教学过程 教学过程 教学过程一． 十字相乘法 1．二次三项式多项式，称为字母x的二次三项式，其中称为二次项，bx为一次项，c为常数项．例如，和都是关于x的二次三项式．在多项式中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式．在多项式中，把ab看作一个整体，即，就是关于ab的二次三项式．同样，多项式，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋y的二次三项式．十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是： (1)对于二次项系数为1的二次三项式 方法的特征是“拆常数项，凑一次项” 当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符 号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号 与一次项系数的符号相同． (2)对于二次项系数不是1的二次三项式 它的特征是“拆两头，凑中间” 当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组 与一次项系数的符号相同 注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证 交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．【典型热点考题】 例1 把2x2-7x+3因式分解。

分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分 别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次 项系数分解二次项系数（只取正因数）： 2=1×2=2×1；分解常数项： 3=1×3=3×1=（-3）×（-1）=（-1）×（-3）用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 1 1 3 1 -1 1 -32 × 3 2 × 1 2 × -3 2 × -11×3+2×1 1×1+2×3 1×（-3）+2×（-1） 1×（-1）+2×（-3） =5 =7 = -5 =-7经过观察，第四种情况是正确有这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。

解 2x2-7x+3=（x-3）（2x-1）一般地，对于二次三项式ax2+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下： a1 c1 a2 × c2 a1c2 + a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）像这种借助开十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法 例2 把6x2-7x-5分解因式 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同 的排列方法，其中的一种 是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式。

解 6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项 式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数 例3 把5x2+6xy-8y2分解因式分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y2看作常数项，在分解二次项 及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适 的一组解 5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）指出：原式分解为两个关于x，y的一次式例4 把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先化简，进行多项式 的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解问：两个乘积的式子有什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便？答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2（x-y），它是第一个因式的二倍， 然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次 三项式，就可以用址字相乘法分解因式了。

解 （x-y）（2x-2y-3）-2 =（x-y）［2（x-y）-3］-2 1 -2 =2（x-y）2-3（x-y）-2 2 × +1 =［（x-y）-2］［2（x-y）+1］ 1×1+2×（-2）=-3 =（x-y-2）（2x-2y+1）指出：把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法二、分组分解法. 1.分组后能直接提公因式 例1、分解因式： 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但 从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 例2、分解因式：解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组 第二、三项为一组。

解：原式= 原式= = = = = 练习：分解因式1、 2、 2.分组后能直接运用公式 例3、分解因式： 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组 解：原式= = = 例4、分解因式： 解：原式= = = 练习：分解因式3、 4、 随堂练习 随堂练习十字相乘法综合练习一、选择题1．如果，那么p等于 (　)A．ab B．a＋b C．－ab D．－(a＋b)2．如果，则b为 (　)A．5 B．－6 C．－5 D．63．多项式可分解为(x－5)(x－b)，则a，b的值分别为 (　)A．10和－2 B．－10和2 C．10和2 D．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是 (　)A． B．C． D．5．分解结果等于(x＋y－4)(2x＋2y－5)的多项式是 (　)A． B．C． D．6．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的。