函数的单调性知识点总结与经典题型归纳.docx

函数的单调性知识梳理11.单调性概念一般地，设函数f(x)的定义域为I :(1)如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值 X1,X2 ,当X1 X2时，都有f(Xi) f(X2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；(2)如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值 X1,X2 ,当X1 x2时，都有f(Xi) f(X2),那么就说函数f (x)在区间D上是减函数.2.单调性的判定方法(D(2)图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数定义法步骤；①取值：设x1, x2是给定区间内的两个任意值，且 为x2 (或x1 x2);②作差：作差f(Xi) f(X2),并将此差式变形(注意变形到能判断整个差式符号为止)；③定号：判断f(Xi) f(X2)的正负(要注意说理的充分性)，必要时要讨论；④下结论：根据定义得出其单调性.(3)复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数也就是说：同增异减(类似于“负负得正”)3.单调区间的定义如果函数y f(x),在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性, 区间D叫做y f (x)的单调区间.例题精讲【例11下图为某地区24小时内的气温变化图.(1)从左向右看，图形是如何变化的?⑵在哪些区间上升？哪些区间下降?解：(1)从左向右看，图形先下降，后上升，再下降;(2)在区间［0,4］和［14,24］下降，在区间［4,14］下降。

例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律：(1) f(x)=x;①从左至右图象上升还是下降？②在区间(-8, +OO比，随着X的增大，f(x)的值随着怎么变化?(2) f(x)=x2.①在区间(-8, 0)上，随着x的增大，f(x)的值随着怎么变化？②在区间［0 , +°°止，随着x的增大，f(x)的值随着怎么变化? 解：(1)①从左至右图象是上升的；②在区间(-00, +OO小，随着x的增大，f(x)的值随着增大.(2)①在区间(-8, 0)上，随着x的增大，f(x)的值随着减小；【例3】函数y f(x)在定义域的某区间D上存在、《2,满足、x2且f(x) "x?),那么函 数y f(x)在该区间上一定是增函数吗？解：不一定，例如下图：【例4】下图是定义在闭区间［5,5］上的函数y f(x)的图象，根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数.解：函数 y f(x)的单调区间有［5, 2), ［ 2,1), ［1,3), ［3,5);其中在区间［5, 2), ［1,3)上是减函数,在区间［2,1), ［3,5)上是增函数.【例5】证明函数f(x) 3x 2在R上是增函数.证明：设Xi,X2是R上的任意两个实数，且Xi X2 (取值)则 f(Xi) f(X2) (3xi 2) (3X2 2) (作差)3(Xi X2)由 X x2 ,得 X x2 0于是 f(Xi) f(X2)0 (定号)所以 f (Xi) f(X2)所以，函数f(X)3x 2在R上是增函数。

(下结论)4课堂练习仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1 .若函数f (x)在区间(a,b)上是增函数，在区间(c,d)上也是增函数，则函数f(x)在区间 (a,b)U(c,d)上( )A.必是增函数 B.必是减函数 C.先增后减 D.无法确定单调性2 .在区间(，0)上为增函数的是( )A. y 1 B. y — 21 xC. y x2 2x 1 D. y 1 x23 .函数咫=£/黑，在艮上是()A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.无单调性4 .如果函数f(x)在[a, b]上是增函数，对于任意的X1, X2 C [a, b](x1 wx2),下列结论不正确的是( )f X1 — f X2A. 一 3 >0 B. (X1-X2) [f(x1)-f(x2)]>0X1 — X2C. f(a)vf(x1)vf(x2)vf(b)X2 —X1D.f X2 —f X1>015.函数y x~7的减区间是 ^1 . —6 .证明：函数f(x)—在(0,)上是减函数 x7 .已知f(x)在(0, +8)上是减函数，判断f(a2 —a+1)与f 4的大小关系.8 .若函数f(x) = 4x2—kx— 8在［5,8］上是单调函数，求k的取值范围.9 .已知函数f(x)更，若牙⑵⑶+ 5.x 1(l)求重的值.(2)利用单调性定义证明函数 向在区间的单调性.。