2010年全国统一高考数学试卷Ⅰ（文科）（大纲版）及解析.doc

2010 年全国统一高考数学试卷Ⅰ（文科）（大纲版）一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分）1、 cos300°=（　　）A、 B、﹣﹣ 32 12C、 D、12 32考点：运用诱导公式化简求值专题：计算题分析：利用三角函数的诱导公式，将 300°角的三角函数化成锐角三角函数求值．解答：解：∵ ．𝑐𝑜𝑠300°=𝑐𝑜𝑠（ 360°﹣60°） =𝑐𝑜𝑠60°=12故选 C．点评：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识．2、设全集 U={1，2，3，4， 5}，集合 M={1，4}，N={1 ，3，5}，则 N∩（C UM）=（　　）A、{1，3} B、{1 ，5}C、{3，5} D、{4，5}考点：交、并、补集的混合运算分析：根据补集意义先求 CUM，再根据交集的意义求 N∩（C UM） ．解答：解：（C UM）={2，3 ，5}，N={1 ，3 ，5} ，则 N∩（ CUM）={1，3 ，5}∩{1，3，5}={3，5}．故选 C点评：本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识，属容易题．3、若变量 x， y 满足约束条件 则 z=x﹣2y 的最大值为（ 　　）{𝑦≤1𝑥+𝑦≥0𝑥﹣𝑦﹣2≤0A、4 B、3C、2 D、1考点：简单线性规划的应用。

专题：计算题；数形结合分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x﹣ 2y 表示直线在 y 轴上的截距，只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最小值即可．解答：解：画出可行域（如下图） ，z=x﹣ 2y⇒ x﹣ z，1212由图可知，当直线 l 经过点 A（1，﹣1 ）时，z 最大，且最大值为 zmax=1﹣2×（﹣ 1）=3．故选 B．点评：本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4、已知各项均为正数的等比数列{a n}，a 1a2a3=5，a 7a8a9=10，则 a4a5a6=（　　）A、 B、752C、6 D、 42考点：等比数列分析：由数列{a n}是等比数列，则有 a1a2a3=5⇒a23=5；a 7a8a9=10⇒a83=10．解答：解：a 1a2a3=5⇒a23=5；a 7a8a9=10⇒a83=10，，⇒𝑎65=𝑎32𝑎38=50⇒𝑎4𝑎5𝑎6=𝑎35=52点评：本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想．5、 的展开式 x2 的系数是（　　）（ 1﹣𝑥）4（ 1﹣𝑥） 3A、﹣ 6 B、﹣ 3C、0 D、3考点：二项式定理。

分析：利用二项式定理将（1﹣ x） 4 与 展开，通过多项式的乘法法则得到展开（ 1﹣𝑥）3式 x2 的系数．解答：解：（ 1﹣𝑥） 4（ 1﹣𝑥） 3=（ 1﹣4𝑥+6𝑥2﹣4𝑥3﹣𝑥4）（ 1﹣3𝑥12+3𝑥﹣𝑥32）x2 的系数是﹣12+6=﹣ 6故选 A点评：本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力．6、直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，若 ∠BAC=90°，AB=AC=AA 1，则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于（　　）A、30° B、45°C、60° D、90°考点：异面直线及其所成的角专题：常规题型分析：延长 CA 到 D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA 1B 就是异面直线 BA1 与 AC1 所成的角，而三角形 A1DB 为等边三角形，可求得此角．解答：解：延长 CA 到 D，使得 AD=AC，则 ADA1C1 为平行四边形，∠DA1B 就是异面直线 BA1 与 AC1 所成的角，又三角形 A1DB 为等边三角形，∴∠ DA1B=60°故选 C．点评：本小题主要考查直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．7、已知函数 f（x）=|lgx|．若 a≠b 且，f（a）=f（b） ，则 a+b 的取值范围是（　　）A、 （1，+∞） B、[1 ，+∞ ）C、 （2 ，+∞） D、[2，+∞）考点：函数的值域；函数的图象与图象变化；对数函数的单调性与特殊点。

专题：计算题分析：由已知条件 a≠b，不妨令 a＜b，又 y=lgx 是一个增函数，且 f（a）=f（b ） ，故可得，0＜ a＜1＜b，则 lga=﹣lgb，再化简整理即可求解；或采用线性规划问题处理也可以．解答：解：（方法一）因为 f（a）=f（b） ，所以|lga|=|lgb|，不妨设 0＜a ＜ b，则 0＜a＜1＜b，∴lga=﹣lgb ，lga+lgb=0∴lg（ab）=0∴ab=1，又 a＞0，b ＞0，且 a≠b∴（ a+b） 2＞4ab=4∴a+b＞2故选 C．（方法二）由对数的定义域，设 0＜a＜b，且 f（a）=f（b） ，得： ，{0＜ 𝑎＜ 11＜ 𝑏𝑎𝑏=1整理得线性规划表达式为： ，{0＜ 𝑥＜ 11＜ 𝑦𝑥𝑦=1因此问题转化为求 z=x+y 的取值范围问题，则 z=x+y⇒y=﹣x+z，即求函数的截距最值．根据导数定义， 函数图象过点（ 1，1）时 z 有最小为 2（因𝑦=1𝑥⇒𝑦'=﹣1𝑥2＜ ﹣1⇒为是开区域，所以取不到 2） ，∴a+b 的取值范围是（2，+∞ ） ．故选 C．点评：本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视 a 的取值范围，根据条件 a＞0，b＞0 ，且 a≠b 可以利用重要不等式（a 2+b2≥2ab，当且仅当 a=b 时取等号）列出关系式（a+b） 2＞4ab=4，进而解决问题．8、已知 F1、F 2 为双曲线 C：x 2﹣y2=1 的左、右焦点，点 P 在 C 上，∠F 1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|=（　　）A、2 B、4C、6 D、8考点：双曲线的定义；余弦定理。

专题：计算题分析：解法 1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求|PF 1|•|PF2|的值．解法 2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出|PF 1|•|PF2|的值．解答：解：法 1．由余弦定理得cos∠F1PF2=∣𝑃𝐹1∣2+∣𝑃𝐹2∣2﹣∣𝐹1𝐹2∣22∣𝑃𝐹1∣∣𝑃𝐹2∣ ⇒𝑐𝑜𝑠600=（ ∣𝑃𝐹1∣﹣∣𝑃𝐹2∣） 2+2∣𝑃𝐹1∣∣𝑃𝐹2∣﹣∣𝐹1𝐹2∣22∣𝑃𝐹1∣∣𝑃𝐹2∣ ⇒12=22+2∣𝑃𝐹1∣∣𝑃𝐹2∣﹣（ 22） 22∣𝑃𝐹1∣∣𝑃𝐹2∣∴|PF1|•|PF2|=4法 2； 由焦点三角形面积公式得：𝑆△𝐹1𝑃𝐹2=𝑏2𝑐𝑜𝑡𝜃2=12𝑐𝑜𝑡6002=3=12∣𝑃𝐹1∣∣𝑃𝐹2∣𝑠𝑖𝑛600=12∣𝑃𝐹1∣∣𝑃𝐹2∣32∴|PF1|•|PF2|=4；故选 B．点评：本题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，查考生的综合运用能力及运算能力．9、正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，BB 1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为（　　）A、 B、23 33C、 D、23 63考点：直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算。

专题：计算题分析：正方体上下底面中心的的连线平行于 BB1，上下底面中心的的连线平面 ACD1 所成角即为线面角，直角三角形中求出此角的余弦值．解答：解：如图，设上下底面的中心分别为 O1，O；O1O 与平面 ACD1 所成角就是 BB1 与平面 ACD1 所成角，；𝑐𝑜𝑠∠𝑂1𝑂𝐷1=∣𝑂1𝑂∣∣𝑂𝐷1∣=1/32=63故选 D．点评：本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出 D 到平面 ACD1 的距离是解决本题的关键所在，这也是转化思想的具体体现．10、设 a=log32，b=In2，c= ，则（　　）5﹣12A、a＜b＜c B、b＜c＜aC、c ＜a＜b D、c＜b ＜a考点：对数值大小的比较；换底公式的应用专题：计算题；转化思想分析：根据 a 的真数与 b 的真数相等可取倒数，使底化相同，找中间量 1 与之比较大小，便值 a、b 、c 的大小关系．解答：解：a=log 32= ，b=In2= ，1𝑙𝑜𝑔23 1𝑙𝑜𝑔2𝑒而 log23＞log 2e＞1，所以 a＜ b，c= = ，而 ，5﹣1215 5＞ 2=𝑙𝑜𝑔24＞ 𝑙𝑜𝑔23所以 c＜ a，综上 c＜a＜b，故选 C．点评：本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用．11、已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为俩切点，那么 的→𝑃𝐴•→𝑃𝐵最小值为（　　）A、 B、﹣4+2 ﹣3+2C、 D、﹣4+22 ﹣3+22考点：圆方程的综合应用；平面向量数量积的运算。

专题：计算题分析：要求 的最小值，我们可以根据已知中，圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆→𝑃𝐴•→𝑃𝐵的两条切线，A、B 为俩切点，结合切线长定理，设出 PA，PB 的长度，和夹角，并将表示成一个关于 X 的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答．→𝑃𝐴•→𝑃𝐵解答：解：如图所示：设 PA=PB=x（x＞0 ） ，∠APO=α，则∠APB=2α，PO= ，1+𝑥2，𝑠𝑖𝑛𝛼= 11+𝑥2=→𝑃𝐴•→𝑃𝐵→∣𝑃𝐴∣•∣→𝑃𝐵∣𝑐𝑜𝑠2𝛼=x2（1 ﹣2sin2α）=𝑥2（ 𝑥2﹣1）𝑥2+1= ，𝑥4﹣𝑥2𝑥2+1令 =y，则 ，→𝑃𝐴•→𝑃𝐵 𝑦=𝑥4﹣𝑥2𝑥2+1即 x4﹣（1+y ）x 2﹣y=0，由 x2 是实数，所以△=[﹣ （1+y ）] 2﹣4×1×（﹣ y）≥0 ，y 2+6y+1≥0，解得 或 ．𝑦≤﹣3﹣22𝑦≥﹣3+22故（ ）min=﹣3+2 ．此时 ．→𝑃𝐴•→𝑃𝐵 2 𝑥= 2﹣1点评：本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法﹣﹣判别式法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力．12、已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2，则四面体 ABCD 的体积的最大值为（　　）A、 B、233 433C、 D、23833考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；球的性质。

专题：计算题；综合题分析：四面体 ABCD 的体积的最大值，AB 与 CD 是对棱，必须垂直，确定球心的位置，即可求出体积的最大值．解答：解：过 CD 作平面 PCD，使 AB⊥平面 PCD，交 AB 与 P，设点 P 到 CD 的距离为 h，则有 ，𝑉四面体 𝐴𝐵𝐶𝐷=13×2×12×2×ℎ=23ℎ当直径通过 AB 与 CD 的中点时， ，故 ．ℎ𝑚𝑎𝑥=222﹣12=23 𝑉𝑚𝑎𝑥=433故选 B．点评：本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力．二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）13、不等式 的解集是　{x|﹣2 ＜x＜﹣1，或 x＞2}　𝑥﹣2𝑥2+3𝑥+2＞ 0考点：其他不等式的解法分析：本题是解分式不等式，先将分母分解因式，再利用穿根法求解．解答：解：：，𝑥﹣2𝑥2+3𝑥+2＞ 0⇔𝑥﹣2（ 𝑥+2）（ 𝑥+1） ＞ 0⇔（ 𝑥﹣2）（ 𝑥+2）（ 𝑥+1）＞ 0数轴标根得：{x|﹣ 2＜x＜﹣ 1，或 x＞2}故答案为：{x|﹣ 2＜x。