历年考研数学线代真题1987-201X(最新最全).doc

历年考研数学一真题 1987-20161987 年全国硕士研究生入学统一考试数学 ( 一) 试卷一、填空题 ( 本题共 5 小题, 每小题 3 分，满分 15 分. 把答案填在题中横线上 )(5) 已知三维向量空间的基底为 a (1,1,0), 02 (1,0,1), ?3 (0,1,1), 则向量 B ( 2, 0, 0 ) 在此基底下的坐标是 ______________ .三、( 本题满分 7 分)3 0 1(2) 设矩阵 A和 B满足关系式 AB = A 2B, 其中 A 1 1 0 , 求矩阵 B.0 1 4五、选择题( 本题共 4 小题, 每小题 3 分，满分 12 分每小题给出的四个选项中 ，只有一个符合题目要求 ，把所选项前的字母填在题后的括号内 ) (4)* 是A的伴随矩阵，贝 U | A设 A为 n 阶方阵，且 A的行列式|A | a 0, 而 A * | 等于(A) a (B)1 a(C) an1 (D) a九、( 本题满分 8 分)作 X3 X4 0问 a,b 为何值时，现线性方程组X22x 32X4 1x (a 3)X 3 2X4 b3x- i 12x2 X3 ax4 1有唯一解，无解，有无穷多解 ？并求出有无穷多解时的通解1988 年全国硕士研究生入学统一考试数学 ( 一) 试卷二、 填空题( 本题共 4 小题, 每小题 3 分，满分 12 分. 把答案填在题中横线上 )⑷设 4 阶矩阵 A [ a, Y, Y3, Y],B [ 卩, Y, 丫 3, Y], 其中讥 Y, Y, Y均为 4 维列向量，且已知行列式|A| 4,| B| 1, 则行列式 A B = .三、 选择题( 本题共 5 小题, 每小题 3 分，满分 15 分每小题给出的四个选项中 ，只有一个符合题目要求 ，把所选项前的字母填在题后的括号内 ) (5) n维向量组 a, a 丄，as(3 s n) 线性无关的充要条件是(A) 存在一组不全为零的数 人*2, L ,k s, 使 k1 a k? a L ks a 02 丄，a 中任意两个向量均线性无关 (B) a, a(C) a, a2,L , as 中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D) a, a2,L , as 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示七、( 本题满分 6 分)1 0 0 1 0 05已知 AP BP , 其中 B 0 0 0 ,P 2 1 0 , 求 A,A0 0 1 2 1 1八、( 本题满分 8 分)2 0 0 2 0 0已知矩阵 A 0 0 1 与 B 0 y 0 相似.0 1 x 0 0 13 0 0 1 0 0(5)设矩阵 A 14 0,10 1 0 , 则矩阵(A 2I)1= ________________0 0 3 0 0 1二、 选择题( 本题共 5 小题, 每小题 3 分，满分 15 分每小题给出的四个选项中 ，只有一个符合题目要求 ，把所选项前的字母填在题后的括号内 ) (5) 设A是 n 阶矩阵且 A的行列式| A 0, 则 A中(A) 必有一列元素全为 0 (B) 必有两列元素对应成比例(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D ) 任一列向量是其余列向量的线性组合三、( 本题共 3 小题, 每小题 5 分，满分 15 分)七、( 本题满分 6 分)% X3问为何值时 ，线性方程组 4X1 X2 2X3 2 有解, 并求出解的一般形式6x-i x 2 4x 3 2 3八、( 本题满分 8 分)假设 为 n 阶可逆矩阵 A的一个特征值 ，证明(1) - 为 A 1 的特征值.⑵A为 A的伴随矩阵 A* 的特征值.(5) 已知向量组 a (123,4), a (2,3,4,5), a (3,4,5,6), a (4,5,6,7),则该向量组的秩是 _______________.二、选择题 （本题共 5 小题, 每小题 3 分，满分 15 分. 每小题给出的四个选项中 ，只有一个符合题目要求 ，把所选项前的字母填在题后的括号内 ）（5）已知目、g 是非齐次线性方程组 AX b 的两个不同的解 ，a、a 是对应其次线性方程组 AX 0 的基础解析 ，K > k 为任意常数 ，则方程组 AX b的通解（一般解）必是(A) k1 a k2 (a a2)-- 2(C) k- ak-( g g)—- 2七、( 本题满分 6 分)(B) k1 a k2( a a2)--2(Dm k2( gg2)1 22设四阶矩阵1 1 0 0 2 1 3 40 1 1 0 0 2 1 3B ,C0 0 1 1 0 0 2 10 0 0 1 0 0 0 2 且矩阵 A满足关系式A（E C- B）C E其中 E为四阶单位矩阵 ,C1 表示 C的逆矩阵，C表示 C 的转置矩阵 ?将上述关系式化简并求矩阵 A.八、（本题满分 8 分） 求一个正交变换化二次型 f x2 4x； 4x（ 4x1x2 4x^ 3 8x2x3 成标准型.5 2 0 02 1 00 , 则 A 的逆阵 A1(5) 设 4 阶方阵 A220 100 0 1 1二、选择题 ( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分. 每小题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 )(5) 设 n 阶方阵 A、B、C满足关系式 ABC E , 其中 E是 n 阶单位阵, 则必有(A) ACB E (B) CBA E(C) BAC E (D) BCA E七、 ( 本题满分 8 分)已知 a (1,0,2,3), a (1,1,3,5), a (1, 1,a 2,1), a (1,2,4,a 8) 及 p (i,i,b 3,5).(1) a、b 为何值时，B 不能表示成 a, a, a, a 的线性组合 ?⑵a、b 为何值时，^有 a, a2, a, a4 的唯一的线性表示式 ？写出该表示式 .八、 ( 本题满分 6 分)设 A是 n 阶正定阵,E 是 n 阶单位阵证明 A E 的行列式大于 1.a1b1 a1b2 L a1bna2b1 a2b1 L(5) 设 A2 1 2 1 ；bn , 其中 a 0,b i 0,(i 1,2 , L,n). 则矩阵 A 的秩 r(A )anb1 anb2 L anbn二、选择题 ( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分. 每小题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 ) 10(5) 要使& 0 , & 1 都是线性方程组 AX 0 的解, 只要系数矩阵 A为2 120 1(A) 2 1 2 (B)01 1(C) 1 0 20 1 1(D) 4 2 20 1 1 八、( 本题满 分 7 分)0 1 1设向量组 a, a, a 线性相关，向量组 a, a , a 线性无关，问：(1) a 能否由 a, a 线性表出？证明你的结论 . ⑵a 能否由 a, a, a 线性表出？证明你的结论 .九、( 本题满分 7 分) 设 3 阶矩阵 A的特征值为 i 1, 2 2, 3 3, 对应的特征向量依次为1 1 1 11 , &2 2 , &3, 3 , 又向量 B 21 4 9 3(2) 求 A￡n为自然数).可编辑范本1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学 ( 一) 试卷一、填空题 ( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分. 把答案填在题中横线上 )(5) 设 n 阶矩阵 A的各行元素之和均为零 ，且 A的秩为 n 1, 则线性方程组 AX 0 的通解为 ___________________ .二、选择题 (本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分 15 分. 每小题给出的四个选项中 , 只有一个符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 ) 123(5) 已知 Q 2 4 t ,P 为三阶非零矩阵 ，且满足 P Q0, 则369(A) t 6 时 P的秩必为 1 B) t 6 时 P的秩必为 2(C) t 6 时 P的秩必为 1 (D) t 6 时 P的秩必为 2七、( 本题满分 8 分)已知二次型 f(X i ,X 2,X 3) 2xi2 3x| 3x| 2ax2X3( a 0) 通过正交变换化成标准形 f y； 2y； 5y| , 求参数 a 及所用的正交变换矩阵 .八、( 本题满分 6 分)设A是 n m 矩阵, B是 m n 矩阵，其中 n m,I 是 n 阶单位矩阵若 AB I, 证明 B的列向量组线性无关1994 年全国硕士研究生入学统一考试数学 (一)试卷」、填空题 ( 本题共 5 小题, 每小题 3 分，满分 15 分. 把答案填在题中横线上 )(5) 已知％ [1,2,3], 卩[1,-,-], 设 A a?其中 a 是 a 的转置，则 A n = _________________2 3、选择题( 本题共 5 小题每小题 3 分，满分 15 分每小题给出的四个选项中 ，只有一个符合题目要求 ，把所选项前的字母填在题后的括号内 )(5) 已知向量a1,a, a3, a4 线性无关，则向量组组(A) a a , aa3,a3 a4, a4 a 线性无关 (B) a a ?, a? a, a a4, a a 线性无关(C) a1 a2, a2 a3, a a4, oa a 线性无关 (D) a1 a2, a a , a a4, a4 a 线性无关八、( 本题满分 8 分)设四元线性齐次方程组 ( I )为X1X20,x2 x 4 0又已知某线性齐次方程组 ( U )1 的通解为 匕( 0,1,1,0) k 2( 1,221).(1) 求线性方程组 (I ) 的基础解析?(2) 问线性方程组 ( I ) 和 ( H ) 是否有非零公共解 ？若有，则求出所有的非零公共解 若没有，则说明理由?九、( 本题满分 6 分)设 A为 n 阶非零方阵 ，A* 是 A的伴随矩阵 ，A是A 的转置矩阵 ，当 A * A 时证明 A 0.1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学 （一）试卷、填空题（本题共 5 小题, 每小题 3 分，满分 15 分. 把答案填在题中横线上 ）（5）设三阶方阵 A, B 满足关系式 A1BA 6A BA, 且 A、选择题（本题共 5 小题, 每小题 3 分，满分 15 分每小题给出的四个选项中 ，只有一个符合题目要求 ，把所选项前的字母填在题后的括号内a13 a11a11 a12 a12a13 0 1 0 1 0 0(5)设 A a21 a22 a23 , B a21 a22a23 , P1 1 0 0 ,P2 0 1 0 ,则必有。