第二章 绝对微分列维-奇维塔平行移动.doc

第二章 曲面论绝对微分与Levi-Civita平行移动我们已经看到测地线作为平面上的直线在曲面上的推广, 有着许多与直线相类似的性质. 例如 1、直线的曲率为零; 而测地线的测地曲率为零.2、平面上两点之间最短距离是直线; 曲面上(在小范围内)两点之间最短距离是测地线.3、平面上给定一点及一个方向能决定一条直线; 曲面上给定一点及一个方向能决定一条测地线.熟知, 平面上直线的切向量都是平行的, 人们自然会问: 曲面上测地线的切向量是否也是平行的? 显然, 如果按三维欧氏空间中的平行去理解, 问题的答案是否定的. 再者, 曲面上的向量是指曲面上给定点处切于该曲面的向量, 如果把曲面上P 点处的向量 ，按三维欧氏空间中的平移, 平移到曲面的Q点处, 那么向量在Q点处不一定是切于该曲面的, 因此在Q点处就不一定是曲面上的向量. 由此可见, 我们不能按中的平移方式来讨论曲面上的向量是否平行, 必须改变原有的欧氏平移概念.曲面上沿曲线上向量场的绝对微分设曲面S : 上有一条曲线C : 其中是曲线的自然参数（也可为其它参数）又设在S 上沿C 有一单位向量场, 即对C 上任一点, 在P 点处有一个确定的切向量 ,。

我们把作为对应于P 点处切平面上的两个基向量, 那么， (5:1)这里 称为向量的分量. 如果函数是的光滑函数, 我们称向量场为光滑向量场以后我们讨论的向量场都是光滑向量场. 如果曲面S 是平面, 并取是直角坐标系, 那么向量场中所有向量都互相平行的充要条件是，或 对于一般曲面S上 ,我们讨论向量场 中向量是否互相平行, 首先必须考察我们知道，(5.2)因此一般来说, 不是曲面上的向量了, 因为它在曲面法向量上有分量. 我们把按法方向投影到曲面S 的切平面上去, 得到的投影向量为，当然它是曲面S 上的向量了. 我们记，(5:3)称它为向量场的沿曲线C 的共变微分或绝对微分.如上所见, 曲面S 上的向量 经过普通微分后所得到的, 一般不再是曲面S 上的向量, 而经过绝对微分后得到的向量, 仍为曲面上的向量. 因此在曲面S 上我们用绝对微分代替普通微分. 另外, 由(5.3)可以看出绝对微分的概念只涉及曲面的第一基本形式, 因此这个概念是属于曲面的内蕴几何的. 例如 曲面上的曲线，的切向量就是曲面上沿曲线的一个向量场由于，曲线的测地曲率向量是曲线的切向量微分到切平面的投影，所以 所以绝对微分是将曲线的测地曲率向量的概念推广到一般向量场的情形。

显现，普通微分与绝对微分之间的关系是，(5:4)下面定理表明, 绝对微分与普通微分有着类似的微分法则.定理5.1 设是曲面S 上沿曲线C 的两个切向量场, 是定义在曲线C 上的实值函数, 则有(1) ；(2) ； (3) 证明 注意到；（1） ；（2）；（3） 有了绝对微分的概念, 我们可以把平行的概念推广到曲面上去. 平面上, 一个向量场，有，是平行移动向量场的充要条件是, 也就是说为常向量. 类似地, 定义 设是曲面S 上沿曲线C 的一个向量场. 如果 , 那么称向量场沿曲线C 是平行向量场, 或者说向量场中的向量(沿曲线C )是互相平行的. 也可以说这个向量场中的向量是由 经过(沿曲线C )平行移动得到的. 我们称这种平移为Levi-Civita平移.对曲面上的向量场，我们有，，，由(5.3)得出的充要条件是，即 ， ，或 ， ， (5:5)因为(5.5)式是关于的两个线性齐次方程组, 根据常微分方程组的存在唯一性定理, 当给定初始条件时, 方程组(5.5)有唯一解 换言之, 在曲面上每一切向量都可沿曲面上一条曲线作Levi-Civita平移产生一个平行向量场, 我们把这个向量场称为由某向量沿曲线平行移动产生的. 因为方程(5:5)式中的系数是与曲线有关，所以方程的解依赖于曲线。

当然如果曲面是欧氏平面, 那末, 取第一基本形式为 所以此时Levi-Civita 的平行归结为普通平行. 【例1】 设球面的方程为，曲线C 是上的一个小圆, 它的方程为 ，即的一个纬圆. 设，显然它球面上的一个单位切向量现在我们来求出沿曲线C 平行移动产生的向量场解 ，，所以 ， ，，又由于，，， ，，，，由，得，从而 于是 ，再由初始条件，可得到微分方程组初值问题的解为这样沿曲线C 平行移动产生的向量场为 注意， 因此 沿曲线C按L—C 平行移动一周后没有回到原来的位置. 特别若取时, 平移一周后 与的方向恰好相反. 这一点与欧氏平面上向量平移的结果是完全不同的. 由Levi-Civita平移的定义就可以知道, 这种平移是与道路C 有关的. 在欧氏平面上普通的平移是保持向量的长度不变的, 并且同时保持两个向量之间的交角不变. 那么曲面上Levi-Civita平行移动是否有这个性质呢? 利用定理5.1, 容易得到定理5.2 Levi-Civita平行移动保持两向量的内积不变的, 所以保持向量长度和两个向量之间的夹角不变.事实上，设是曲面S 上沿曲线C 的两个切向量场, 且都是沿曲线C 的平行向量场,即。

因为 ，所以常数，，， 现在回到本节开始提出的问题, 即曲面上测地线的切向量场是否是平行向量场.设C : 是曲面S 上一条曲线, 那么它的切向量场为由定义，知道C 上的切向量场 是平行向量场的充要条件为， 即，这恰好为C 是测地线的定义或者 由(5.5)式，，这恰好为C 是测地线的微分方程. 因此得到定理5.3 曲面S： 上一条曲线C : ， 是弧长参数, 则C 为测地线的充要条件是它的切向量 在Levi-Civita平行移动的意义下是互相平行的. 测地线的这个性质与普通空间中（或平面上）的直线的性质是相仿的因为直线有固定的方向，也就是在直线上任何一点沿直线的向量总是跟这条直线是同方向的 根据测地线的上述性质，如过要沿测地线平移一个长度的向量，只要把这个向量与已知测地线在移动过程中保持交于一个定角就可以得到显然，直线也有这个相仿的性质一般说来, Levi-Civita的平移是与曲面上的道路有关的. 详细地说, 如果 是曲面S 上两点, 为S 上连结的两条不同曲线, 从出发的向量, 分别沿和平移到时一般得到的是不同的向量. 例如 在例1中，取是球面上点处方向的法截面，显然沿曲线按L—C 平行移动一周后回到原来的位置，而沿曲线按L—C 平行移动一周后回没有到原来的位置。

自然会问, 在什么情形下, Levi-Civita平移与道路无关?这个问题等价于一个向量沿曲面上一条闭曲线平移一周后, 是否回到原来位置. 为此我们先讨论曲面上向量沿一条闭曲线C 平移一周后产生的角差.定理5.4 设C 是单连通曲面S : 上一条闭曲线, 则向量沿C 平移一周后产生的角差是 ，其中D是闭曲线C 所围成的曲面域, K是曲面S 的Gauss曲率.证明 在曲面上取正交参数曲线网, 那么 -线和 -线的单位切向量为 ，设闭曲线C : 上的单位向量场 与-线的正向夹角为 , 那么向量场 可以写为，如果向量场是平行向量场, 那么 , 由绝对微分的性质，得，将上式两边与作内积得到，另一方面, 因为， 所以成立，因此得到，再由，我们有，由于，，，所以，（5.8）在推导测地曲率的Liouville 公式时，我们已经知道，其中是曲线C 的切向量与-线的正向夹角. 因此(5.8)式又可以写成， ，（5.9）所以, 如果向量 沿C 平移一周后得到的向量是, 用 表示向量与之间的角差,那么, 将(5.9)沿曲线C 积分一周后就得到了角差 (即与的角差)为 ，(5:10)再由切线旋转指标定理及Gauss-Bonnet公式知道 ，(5:11)定理5.5 在单连通曲面S 上, Levi-Civita平移与道路无关的充要条件是曲面S 为可展曲面.证明 当曲面为可展曲面时, 高斯曲率, 由(5.11)我们得到，这时向量沿C 平行移动一周后就回到了原来的位置, 等价地说, Levi-Civita平移与道路无关, 充分性得证.现在用反证法证明必要性. 设D是单连通曲面S上任一曲面域, 其边界为C；再取C上一点，在曲面上取一条通过的封闭曲线，是闭曲线 所围成的曲面域；由于曲面上的向量的Levi-Civita平移与道路无关，如果向量 沿C 平移一周后得到的向量是,则向量 沿 平移一周后得到的向量也是，从而产生的角差相等，于是有，令，得到，由的任意性，可得 ，故曲面为可展曲面.定理证毕.从(5.11)式又可以得到Gauss曲率的另一种解释. 对(5.11)式利用中值定理后得到， 当 点时, , 于是有，因此, 曲面上Gauss曲率总可以看成是向量绕包围着P 点的小环路平行移动一周后产生的角差与此小环路所围的面积之比当小环路趋于P 点时的极限值.23。