现代控制理论4章.ppt

第四章第四章 李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性分析分析4.3 线性系统的稳定性分析q本节主要研究李雅普诺夫方法性系统中的应用Ø讨论的主要问题有:基本方法基本方法: 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析矩阵李雅普诺夫方程的求解 线性时变连续系统的李雅普诺夫稳定性分析线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性定理及稳定性分析q由上节知,李雅普诺夫第二法是分析动态系统的稳定性的有效方法,但具体运用时将涉及到如何选取适宜的李雅普诺夫函数来分析系统的稳定性Ø由于各类系统的复杂性,在应用李雅普诺夫第二法时,难于建立统一的定义李雅普诺夫函数的方法Ø目前的处理方法是,针对系统的不同分类和特性,分别寻找建立李雅普诺夫函数的方法q设线性定常连续系统的状态方程为x’=Ax这样的线性系统具有如下特点:1) 当系统矩阵A为非奇异时,系统有且仅有一个平衡态xe=0,即为状态空间原点;2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的,则一定是大范围渐近稳定的;3) 对于该线性系统,其李雅普诺夫函数一定可以选取为二次型函数的形式Ø本节将讨论对线性系统,包括ü线性定常连续系统线性定常连续系统、ü线性时变连续系统线性时变连续系统和ü线性定常离散系统线性定常离散系统,如何利用李雅普诺夫第二法及如何选取李雅普诺夫函数来分析该线性系统的稳定性。

q定理定理4-7 线性定常连续系统x’=Ax的平衡态xe=0为渐近稳定的充要条件为:Ø对任意给定的一个正定矩阵Q,都存在一个正定矩阵P为矩阵方程PA+AP=-Q的解,并且正定函数V(x)=xPx即为系统的一个李雅普诺夫函数 □4.3.1 线性定常连续系统的稳定性分析线性定常连续系统的稳定性分析证明过程为：证明过程为：Ø已知满足矩阵方程PA+AP=-Q的正定矩阵P存在,故令V(x)=xPx.Ø由于V(x)为正定函数,而且V(x)沿轨线对时间t的全导数为V’(x)=(xPx)’=x’Px+xPx’=(Ax)Px+xPAx=x(PA+AP)x=-xQx而Q为正定矩阵,故V’(x)为负定函数q上述定理给出了一个判别线性定常连续系统渐近稳定性的简便方法,该方法Ø不需寻找李雅普诺夫函数,Ø不需求解系统矩阵A的特征值,只需解一个矩阵代数方程即可,计算简便ü该矩阵方程又称为李雅普诺夫矩阵代数方程q在实际应用中:Ø如果V’(x,t)=-xQx沿任意一条状态轨线不恒为零,那么Q可取为非负定矩阵,而系统在原点渐近稳定的充要条件为:ü存在正定矩阵P满足李雅普诺夫代数方程。

ØQ矩阵只要选成正定的或根据上述情况选为非负定的,那么最终的判定结果将与Q的不同选择无关Ø由定理4-7可知,运用此方法判定系统的渐近稳定性时,最方便的是选取Q为单位矩阵,即Q=Iü于是,矩阵P的元素可按如下李雅普诺夫代数方程:PA+AP=-I求解,然后根据P的正定性来判定系统的渐近稳定性q下面通过一个例题来说明如何通过求解矩阵李雅普诺夫方程来判定线性定常系统的稳定性q例4-9 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性q解 设选取的李雅普诺夫函数为V(x)=xPxØ由定理4-7可知,上式中的正定矩阵P满足李雅普诺夫方程PA+AP=-I.Ø于是,令对称矩阵P为Ø将P代入李雅普诺夫方程,可得展开后得,有:Ø因此,得如下联立方程组:Ø解出p11,p12和p22,得Ø为了验证对称矩阵P的正定性,用合同变换法检验如下:Ø由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零,故矩阵P为正定的因此,系统为大范围渐近稳定的Ø此时,系统的李雅普诺夫函数和它沿状态轨线对时间t的全导数分别为q例例4-10 控制系统方块图如下图所示Ø要求系统渐近稳定,试确定增益的取值范围q解解 由图可写出系统的状态方程为Ø不难看出,原点为系统的平衡状态。

Ø选取Q为非负定实对称矩阵,则Ø只在原点处才恒为零,其他非零状态轨迹不恒为零ü因此,对上述非负定的Q,李雅普诺夫代数方程和相应结论依然成立Ø设P为实对称矩阵并代入李雅普诺夫方程,可得 Ø求得Ø为使原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的,矩阵P须为正定Ø采用合同变换法,有Ø从而得到P为正定矩阵的条件即0

Ø下面先给出一般离散系统的渐近稳定性的判据q定理4-9 设系统的状态方程为x(k+1)=f(x(k),k)其中xe=0为其平衡态Ø如果存在一个连续的标量函数V[x(k),k]且正定,则有:1) 若V[x(k),k]的差分V[x(k),k]=V[x(k+1),k+1]-V[x(k),k]为负定的,则该系统在原点处的平衡态是渐近稳定的;2) 若V[x(k),k]为非正定的,则该系统在原点处的平衡态是稳定的;ü更进一步,若V[x(k),k]对任意初始状态的解序列x(k),V[x(k),k]不恒为零,那么该系统在原点处的平衡态是渐近稳定的;3) 更进一步,若||x(k)||→,有V[x(k),k]→,那么该系统在原点处的渐近稳定平衡态是大范围渐近稳定的 □q类似于连续系统,亦可得到关于离散系统不稳定性的定理Ø离散系统李雅普诺夫稳定性的判据也可总结如下:V[x(k),k]V[x(k),k]结论正定(>0)负定(<0)该平衡态渐近稳定正定(>0)半负定(0)且不恒为0(对任意非零的初始状态的解)该平衡态渐近稳定正定(>0)半负定(0)且恒为0(对某一非零的初始状态的解)该平衡态稳定但非渐近稳定正定(>0)正定(>0)该平衡态不稳定正定(>0)半正定(0)且不恒为0(对任意非零的初始状态的解)该平衡态不稳定q上述定理讨论的是一般离散系统的渐近稳定性的充分判据。

Ø类似于线性定常连续系统,对线性定常离散系统,有如下简单实用的渐近稳定判据q定理定理4-10 设系统的状态方程为x(k+1)=Gx(k) 其中xe=0为其平衡态则其平衡态为渐近稳定的充要条件为:Ø对任意给定的一个正定矩阵Q,都存在一个正定矩阵P为李雅普诺夫矩阵代数方程GPG-P=-Q 的解,并且正定函数V[x(k)]=x(k)Px(k)即为系统的一个李雅普诺夫函数且系统的李雅普诺夫函数是：且系统的李雅普诺夫函数是：推导推导推导推导：：q与连续系统类似,有如下讨论:1) 如果对于某个非负定矩阵Q,V[x(k),k]=-x(k)Qx(k)沿任意一条状态轨线不恒为零,那么,系统在原点渐近稳定的条件为:ü存在正定矩阵P满足李雅普诺夫代数方程2) 可令正定矩阵Q=I,则判定线性定常离散系统的渐近稳定性只需解如下李雅普诺夫矩阵代数方程即可:GPG-P=-I 试用李氏第二法确定系统在平衡点试用李氏第二法确定系统在平衡点 为渐近稳定的为渐近稳定的k值范围根据根据 得：得：[ [解解解解] ]：：取：取：[ [例例例例] ]：已知线性离散时间系统状态方程为：：已知线性离散时间系统状态方程为：其中：其中：根据赛尔维斯特法则：如果根据赛尔维斯特法则：如果P正定，则正定，则 ，即：，即： k<2，所以系统渐近稳定的，所以系统渐近稳定的k值范围为值范围为0