数学学年论文毕业论文分析各类型积分之间的联系.doc
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试析各种类型积分的联系摘要:本文分析和阐明了高等数学中各类型积分表现在概念上的某种共性和式式 上的联系，被积函数本身特性方而的联系以及在计算方法上应遵循的一•般原则与 相互联系关键词:积分被积函数联系在一般高等数学的教材小，齐种不同类型的积分（不定积分、定积分、曲 线积分和曲面积分）是分章节依次介绍的，未对这些积分的异同及其相互联系进 行专门总结木文拟就各种不同类型的积分之间的联系与共性做些讨论一、各种不同类型的积分表现在概念上的共性和形式逻辑上联系撇开具体的额背景和对象，通过对给定儿何休与此儿何休有关的量取分割、 近似求和、取极限的步骤而得到的某种和式极限，这个和数称为黎曼和数，这种 极限是更一般的变量的极限，此即为各种不同类型的积分的共性不同类型的积分在形式上的共性与联系农现在，在这些积分中，被积函数都 是定义在某一儿何体上的函数f（m）,而这些儿何体是直线段或是曲线段，或是 平面图形，或是一张曲面，一块空间区域，经过形式化的处理之后，统一定义为:f=l其中d=max{ AQ,直径}i 的边界而，边界线边界点冇关；当0为平而区域(或空间)曲线C时，它就是曲线积分p(x,^v, (x,y) eC (或^f(x,y)ds , (x, y, z ) gC)即对弧长的曲线积分，其'I1 d s就是弧 长微分；当O为面工 时，它就是曲面积分，JJ/(x,y,z)d$ , (x, y, z) gZ d s是 z曲面的面积微元，这就是对曲面积分即使是对坐标的曲线积分或对坐标的曲面积分，其向量函数f(M)也是定 义在曲线C或曲面工 上的以对坐标的曲线积分为例，若+ ,任一曲弧段可用有向线=Vx. i + Vy. j近似表示，则有积分:s = [P(x,y)dx + Q(x,y)dy = [imE[P(®，X)J +Q(®，Z)J]文 文 x->() i其中曲线C取有一定方向几为Vv^IIVV/中最大的长度这就是说，其积分表式 除了蕴涵着向量点乘的意义外，仍然是某种和式的极限，不过其极限符号与曲线 方向有关(对曲线积分的情形，符号与曲面的定侧有关)尽管如此我们还可以 对两种曲线积分或两种曲血积分进行互化这只要从；两种曲线积分和两种曲血 积分相联系的公式看就十分明了该公式为：[P(x, y)dx + Q(x, y)dy = [ [Pcos(r ,x) +gcos( t，刃问和+ Qdzdx + Rdxdy =j|[P cos 5 + 2 cos 0 + R cos y]ds上两公式中(表示曲线C的it向上每一点(x., y)处的切线向量， cos(r,x)^ncos(r,y)是切线向量f的方向余弦；cos a,, cos 0, cos 丫为曲面工 上法 线方向余弦，P、Q、R为向量函数/亦)在x方向、y方向、z方向的三个分量。 二、各种类型的积分的被积函数之间的内在联系从各种类型积分的被积函数本身的特性来分析，它们的联系，突出的表现 这些被积函数是连续的或者说是基本连续的，而这种连续性或基木连续性，保证了积分的存在性我们所熟知定积分中的可积函数类有三类：(1) |a, b］区间上连续的函数在［a, b］上可积；(2) ［a, b］区间上只有有限第一类不连续点的有界函数是可积的有界函 数是可积的；(3) ［a,b］区间上单调有界函数在［a, b］±可积，(这一种情况与(2 )的 情况是不同的，因为单调有界可能在［a, b］上含有无穷多个不连续点.)将(1)进行推广，就有：若f(M)在可度量的几何体0上连续，则f(M)在Q上 可积；将(2)进行推广，就有：若有界函数在f(M)上除去有限个低维图形外是连 续的，则f(M)在Q上可积在许多儿何和物理实际应用中，不少函数是属于“基本连续”的，即在它们 的积分区域内或定义域内存在不连续点或使函数不连续的曲线的情况那么，为 什么0上使f(M)不连续的点或线或面须是有限个呢？这是因为积分定义时曾涉 及的一个问题：改变有限个点的函数值并不影响黎曼和数的极限今以定积分为 例来说明的止确性。 设f(x)在［a, b］上有界且有有限个第一类不连续点：a < 事实上，由f(x)有界，必存在常数k>使\f(x)\ 我们在求概率曲线/（x）=3的积分值（广义积分）不易求出，采用了二重积分的方法，如：怎样求出>+ 00 e 2 dx 2—00先设A二x4- 00 e 5,利用重积分与累次积分的联系，计算出-00I X_ _|_8 _2_ X +yA2 =[f e f 2 dy] = 2 dxdy这个广义二重积分先求出以J-°° 屏面x"+y ・/〒二重积分的极限所以我们在三个平而区域D，D，Q2上考察(1)、R e~dx =-RR 丄 *十〉e Tdy 则 A（）2 = 2 dxdy英中D为止方行区一 R D域;(2)、(3)、设A1 = \\e~^dxdy其中»为中心在原点半径为R的圆域;设生二JK丁dxdy其中D?为中心在原点半径为的圆域; d2由被积函数为止和积分区域卩 倘若我们把握这些积分共性与相 互联系就会在解题应用与实践操作中有了居高临下的感觉所以，在我们研究问题时, 耍通过一类现象去把握现象所反映的实质，这样才能有效地分析现象，解决问题，创 造美好的世界！参考文献：数学分析 华东师范大学数学系编On Analysing Connections between all types of integrationsSummary: The paper analyses and illustrates the connections between certain mutual characteristic and the logical form embodied by all kinds of integrations in Advanced Mathematics , the connections of the integrated function itself with its own specialty the mutual connections of calculating methods followed by some certain theory.Key words: integration integrated function connection。
