高考数学总复习 第四单元 第二节 导数的应用Ⅰ课件.ppt

第二节第二节 导数的导数的应用应用ⅠⅠ利用导数求函数的单调区间利用导数求函数的单调区间 求函数f(x)＝x2－2lnx的单调区间 分析分析　先计算f′(x)，再去研究不等f′(x)>0和 f′(x)<0解令f′(x)>0 得 ∵x>0，∴x2>1，∴x>1，即函数的增区间是(1，＋∞)，令f′(x)<0，得∵x>0，∴x2<1，∴00得增区间，令f′(x)<0得减区间变变式式训练训练1 1 已知已知a a∈R∈R，函数，函数f f( (x x) )＝＝ ( (x x－－a a) )，求，求f f( (x x) )的的单调单调区区间间解析解析】】　由题意知函数f(x)的定义域为{x|x≥0}，当x＝0时，f(x)＝0，既不是增函数也不是减函数 x＞0时， 当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．当a＞0时，f′(x)＞0⇔3x－a＞0， ，f(x)在上( ，＋∞)为增函数。

f′(x)＜0⇔0＜x＜ ，f(x)在(0， )上是减函数．综上，当a≤0时，f(x)的递增区间为(0，＋∞)；当a＞0时，f(x)的递增区间为( ，＋∞) ，递减区间为(0， )利用导数证明不等式利用导数证明不等式 已知已知x x＞＞1 1，证明不等式，证明不等式x x＞＞lnlnx x成立成立. .分析　构造函数g(x)＝x－lnx，利用函数g(x)的单调性证明.证明证明　令g(x)＝x－lnx，则g(1)＝1－ln1＝1＞0. ∵x＞1，∴ ∴g(x)在(1，＋∞)上为增函数， ∴g(x)＞g(1)＞0，即x＞lnx.规律律总结　利用函数的单调性证明不等式是证明不等式的常用技巧．若证明f(x)＞g(x)，x∈(a，b)，可以等价转化为证明f(x)－g(x)＞0，如果[f(x)－g(x)]′ ＞0，说明函数f(x)－g(x)在区间(a，b)上是增函数；如果f(a)－g(a)≥0，由增函数下定义可知，当x∈(a，b)时，f(x)－g(x)＞0，即f(x)＞g(x)变式训练2 若 ，求证：x>sinx. 【【证明证明】】　设f(x)＝x－sinx， 则f′(x)＝1－cosx＞0. ∴f(x)在 上递增． 又f(0)＝0. ∴x>0时f(x)>f(0)， 即x>sinx. 已知函数的单调性，求参数范围已知函数的单调性，求参数范围 (12分)函数(1)若f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求a的取值范围；(2)若f(x)在(－∞，－1)上是减函数，求a的取值范围．分析分析　单调性对应的导数的正负，转化为恒成立问题．解解　(1)∵ ， ………2分 若f(x)在(0，＋∞)上是增函数， 则f′(x)＞0在x∈(0，＋∞)时恒成立， ………4分 即 . ∴a≥(－2x3)max. ………5分 ∵x>0，∴－2x3<0， ∴a≥0. ……… 7分 故a的取值范围是[0，＋∞)(2)若f(x)在(－∞，－1)上是减函数，则f′(x)＜0恒成立 ……… 8分 即a＜(－2x3)min. ……… 10分 ∵x<－1，∴－2x3>2.∴a≤2. 故a可取值范围是(－∞，2]. ……… 12分规律律总结　(1)若f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0在x∈(a，b)恒成立(f′(x)不恒为0)；若f(x)在(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0在x∈(a，b)恒成立(f′(x)不恒为0)．(2)不等式恒成立问题，可以转化为求函数的最值问题来研究，如a≥f(x)(x∈D)恒成立，可得a≥f(x)max(x∈D)；a≤f(x)(x∈D)恒成立，可得a≤f(x)min(x∈D)；也可利用函数图象求解，如二次不等式讨论恒成立问题时，多采用图象法．【【解析解析】】　由题意得f′(x)＝3x2－2ax≤0在x∈[0,2]上恒成立，即 在x∈[0,2]上恒成立， 变变式式训练训练3 3 若函数f(x)＝x3－ax2＋1在[0,2]内单调递 减，求实数a的取值范围.1．掌握判断函数在某区间上单调性的步骤，掌握单调区间的求法，注意在定义域上研究单调区间．2．已知含参数函数f(x)在某区间上的单调性，求参数范围时，注意可以用分离参数法求范围．并且注意当函数f(x)在区间上是增函数时有f′(x)≥0，是减函数时有f′(x)≤0.已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R R上是减函数，求a的取值范围．错解错解　f′(x)＝3ax2＋6x－1.当f′(x)＜0时，f(x)是减函数，即3ax2＋6x－1＜0在R R上恒成立，故解得a＜－3.错解分析解分析　f′(x)＜0[x∈(a，b)]是f(x)在(a，b)上单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作充要条件．如f(x)＝－x3在R R上是减函数，但f′(x)＝－3x2≤0，f(x)在(a，b)上单调递减应为f′(x)≤0在(a，b)上恒成立(f′(x)不恒为0)，f′(x)在(a，b)上有有限个点可以为零．正解正解　由题意得f′(x)＝3ax2＋6x－1.若f(x)在R R上是减函数，则f′(x)≤0(x∈R R)恒成立， 得a≤－3.。