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§10.6 不同坐标系之间的变换欧勒角与旋转矩阵对于二维直角坐标，如下图，有：x2 cosysin2sinx1y(10-8)cos1在三维空间直角坐标系中，具有一样原点的两坐标系间的变换一般需要在三个坐标平面上，通过三次旋转才能完成如下图，设旋转次序为：①绕OZ1旋转Z角，OX1,OY1旋转至OX0,OY0；0OX ,OZ1旋②绕OY旋转Y角00OX ,OZ转至；200OY ,OZ③绕OX2旋转X角，旋转至OY2,OZ2X,Y,Z为三维空间直角坐标变换的三个旋转角，也称欧勒角，与它相对应的旋转矩阵分别为：01R1(X) 0cosX0sinXcosYR2(Y) 0sinYsinX(10-10)cosX00sinY100cosY.z.(10-11)- cosZR3(Z) sinZ0令R0sinZcosZ0001(10-12) R1(X)R2(Y)R3(Z)(10-13)则有：X2X1X1Y R ()R ()R ()Y RY1X2Y3Z1012(10-14)Z2Z1Z1代入：cosYcosZcosYsinZsinYR0cossinsinsincoscoscossinsinsinsincosXZXYZXZXYZXYsinXsinZcosXsinYcosZsinXcosZcosXsinYsinZcosXcosY一般X,Y,Z为微小转角，可取：于是可化简 1R0ZYZ1XYX(10-16)1 上式称微分旋转矩阵。

不同空间直角坐标之间的变换当两个空间直角坐标系的坐标换算既有旋转又有平移时，则存在三个平移参数和三个旋转参数，再顾及两个坐标系尺度不尽一致， 从而还有一个尺度变化参数，共计有七个参数相应的坐标变换公式为：.z.-X2X1 0Y (1 m)Y21ZZ2Z1YZ0XYX1X0YYX10(10-17)0 Z1Z0上式为两个不同空间直角坐标之间的转换模型，其中含有 7 个转换参数，为了求得 7 个转换参数，至少需要 3 个公共点，当多于 3 个公共点时，可按最小二乘法求得个参数的最或是值不同坐标系的变换对于不同坐标系的换算，除包含三个平移参数、三个旋转参数和一个尺度变化参数外，还包括两个地球椭球元素变化参数，以下推导不同坐标系的换算公式由(7-30)式取全微分得dXdLdY JdB Adad(10-19)dZdH式中XLYJ  LZLXBYBZBX H(N  H)cosBsin L(M  H)sin BcosLcosBcosLY (N  H)sin BcosL(M  H)sin Bsin LcosBcosLH0(M  H)cosBsin BZH(10-20)(10-21).z.-上式两端乘以J1并加以整理得：dLdXdB J1dY J1AdaddHdZ式中顾及〔10-21〕式及(10-22)J1sin L(N  H )cos Bsin Bcos LM  Hcos Bcos Lcos L(N  H )cos Bsin Bsin LM  Hcos Bsin Lcos BM  H (10-23)sin B 0〔10-22〕式可写为：(10-24)上式通常称为广义坐标微分公式或广义变换椭球微分公式。

如略去旋转参数和尺度变化参数的影响，即简化为一般的坐标微分公式根据 3 个以上公共点的两套坐标值，可列出 9 个以上(10-24)式的方程，可按最小二乘法求得 8 个转换参数。