高考数学重点知识点之对称问题.docx

2019高考数学重点知识点之对称问题　　 佚名对称问题是高中数学的重要内容之一 ,在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵活的对称问题 ,为使对称问题的知识系统化 ,京翰高考网小编特作以下归纳一、点关于点或直线对称点问题1、设点P〔x ,y〕关于点〔a ,b〕对称点为P′〔x′ ,y′〕 ,x′=2a-x由中点坐标公式可得：y′=2b-y2、点P〔x ,y〕关于直线L：Ax+By+C=O的对称点为x′=x-〔Ax+By+C〕P′〔x′ ,y′〕那么y′=y-〔AX+BY+C〕事实上：∵PP′⊥L及PP′的中点在直线L上 ,可得：Ax′+By′=-Ax-By-2C解此方程组可得结论〔-〕=-1〔B≠0〕特别地 ,点P〔x ,y〕关于1、x轴和y轴的对称点分别为〔x ,-y〕和〔-x ,y〕2、直线x=a和y=a的对标点分别为〔2a-x ,y〕和〔x ,2a-y〕3、直线y=x和y=-x的对称点分别为〔y ,x〕和〔-y ,-x〕例1光线从A〔3 ,4〕发出后经过直线x-2y=0反射 ,再经过y轴反射 ,反射光线经过点B〔1 ,5〕 ,求射入y轴后的反射线所在的直线方程解：如图 ,由公式可求得A关于直线x-2y=0的对称点A′〔5 ,0〕 ,B关于y轴对称点B′为〔-1 ,5〕 ,直线A′B′的方程为5x+6y-25=0｀C〔0 ,〕｀直线BC的方程为：5x-6y+25=0二、曲线关于点或直线的对称曲线问题求曲线F〔x ,y〕=0关于点或直线的对称曲线方程时 ,只须将曲线F〔x ,y〕=O上任意一点〔x ,y〕关于点或直线的对称点的坐标替换方程F〔x ,y〕=0中相应的作称即得 ,由此我们得出以下结论。

1、曲线F〔x ,y〕=0关于点〔a ,b〕的对称曲线的方程是F〔2a-x ,2b-y〕=02、曲线F〔x ,y〕=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F〔x-〔Ax+By+C〕 ,y-〔Ax+By+C〕〕=0特别地 ,曲线F〔x ,y〕=0关于〔1〕x轴和y轴对称的曲线方程分别是F〔x ,-y〕和F〔-x ,y〕=0〔2〕关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F〔2a-x ,y〕=0和F〔x ,2a-y〕=0〔3〕关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是F〔y ,x〕=0和F〔-y ,-x〕=0除此以外还有以下两个结论：对函数y=f〔x〕的图象而言 ,去掉y轴左边图象 ,保存y轴右边的图象 ,并作关于y轴的对称图象得到y=f〔|x|〕的图象；保存x轴上方图象 ,将x轴下方图象翻折上去得到y=|f〔x〕|的图象例2〔全国高考试题〕设曲线C的方程是y=x3-x将C沿x轴y轴正向分别平行移动t ,s单位长度后得曲线C1：1〕写出曲线C1的方程2〕证明曲线C与C1关于点A〔 ,〕对称〔1〕解知C1的方程为y=〔x-t〕3-〔x-t〕+s〔2〕证明在曲线C上任取一点B〔a ,b〕 ,设B1〔a1 ,b1〕是B关于A的对称点 ,由a=t-a1 ,b=s-b1 ,代入C的方程得：s-b1=〔t-a1〕3-〔t-a1〕｀b1=〔a1-t〕3-〔a1-t〕+s｀B1〔a1 ,b1〕满足C1的方程｀B1在曲线C1上 ,反之易证在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上｀曲线C和C1关于a对称我们用前面的结论来证：点P〔x ,y〕关于A的对称点为P1〔t-x ,s-y〕 ,为了求得C关于A的对称曲线我们将其坐标代入C的方程 ,得：s-y=〔t-x〕3-〔t-x〕｀y=〔x-t〕3-〔x-t〕+s此即为C1的方程 ,｀C关于A的对称曲线即为C1。

三、曲线本身的对称问题曲线F〔x ,y〕=0为〔中心或轴〕对称曲线的充要条件是曲线F〔x ,y〕=0上任意一点P〔x ,y〕〔关于对称中心或对称轴〕的对称点的坐标替换曲线方程中相应的坐标前方程不变例如抛物线y2=-8x上任一点p〔x ,y〕与x轴即y=0的对称点p′〔x ,-y〕 ,其坐标也满足方程y2=-8x ,｀y2=-8x关于x轴对称例3方程xy2-x2y=2x所表示的曲线：A、关于y轴对称B、关于直线x+y=0对称C、关于原点对称D、关于直线x-y=0对称解：在方程中以-x换x ,同时以-y换y得〔-x〕〔-y〕2-〔-x〕2〔-y〕=-2x ,即xy2-x2y=2x方程不变｀曲线关于原点对称函数图象本身关于直线和点的对称问题我们有如下几个重要结论：1、函数f〔x〕定义线为R ,a为常数 ,假设对任意x∈R ,均有f〔a+x〕=f〔a-x〕 ,那么y=f〔x〕的图象关于x=a对称这是因为a+x和a-x这两点分别列于a的左右两边并关于a对称 ,且其函数值相等 ,说明这两点关于直线x=a对称 ,由x的任意性可得结论例如对于f〔x〕假设t∈R均有f〔2+t〕=f〔2-t〕那么f〔x〕图象关于x=2对称。

假设将条件改为f〔1+t〕=f〔3-t〕或f〔t〕=f〔4-t〕结论又如何呢？第一式中令t=1+m那么得f〔2+m〕=f〔2-m〕；第二式中令t=2+m ,也得f〔2+m〕=f〔2-m〕 ,所以仍有同样结论即关于x=2对称 ,由此我们得出以下的更一般的结论：2、函数f〔x〕定义域为R ,a、b为常数 ,假设对任意x∈R均有f〔a+x〕=f〔b-x〕 ,那么其图象关于直线x=对称我们再来探讨以下问题：假设将条件改为f〔2+t〕=-f〔2-t〕结论又如何呢？试想如果2改成0的话得f〔t〕=-f〔t〕这是奇函数 ,图象关于〔0 ,0〕成中心对称 ,现在是f〔2+t〕=-f〔2-t〕造成了平移 ,由此我们猜测 ,图象关于M〔2 ,0〕成中心对称如图 ,取点A〔2+t ,f〔2+t〕〕其关于M〔2 ,0〕的对称点为A′〔2-x ,-f〔2+x〕〕∵-f〔2+X〕=f〔2-x〕｀A′的坐标为〔2-x ,f〔2-x〕〕显然在图象上｀图象关于M〔2 ,0〕成中心对称其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记〞之后会“活用〞不记住那些根底知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从根底知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记〞名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。

这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的成效假设将条件改为f〔x〕=-f〔4-x〕结论一样 ,推广至一般可得以下重要结论：死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力开展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心其实,只要应用得当,“死记硬背〞与提高学生素质并不矛盾相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和根底3、f〔X〕定义域为R ,a、b为常数 ,假设对任意x∈R均有f〔a+x〕=-f〔b-x〕 ,那么其图象关于点M〔 ,0〕成中心对称单靠“死〞记还不行,还得“活〞用,姑且称之为“先死后活〞吧让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出这样,即稳固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,到达“一石多鸟〞的效果。