小升初奥数常考内容十讲.doc
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第一讲 计算综合 1．n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]3； 2．从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式： 3．平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)．1． 已知a=试比较a、b的大小.【分析与解】其中A=99,B=99+因为A
再除以100．方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差2，于是我们容易想到裂项的方法． 0.10.3+0.20.4+0.30.5+0.40.6+…+9.79.9+9.810.0=(13+24+35+46+…+9799+98100)100=[(l2+1)+(23+2)+(34+3)+(45+4)+…+(9798+97)+(9899+98)]100=[(12+23+34+45+…+9798+9899)+(1+2+3+4+…+97+98)]100=(9899100+9899)100=3234+48.51=3282.51方法二：可以使用平方差公式进行计算． 0.10.3+O.20.4+0.30.5+0.40.6+…+9.79.9+9.810.0=(13+24+35+46+…+9799+98l00)100=(12-1+22-1+32-1+42-1+52-1+…+992-1)100=(11+22+32+42+52+…+992-99)100=(99100199-99)100=16.5199-0.99=16.5200-16.5-0.99 =3282.51 评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的．下面简单介绍一下整数裂项． 12+23+34+…+(n-1)n=[123+233+343+…+(n-1)n3]={123+23(4-1)+34(5-2)+…+(n-1)n[n+1-(n-2)]}==6.计算下列式子的值： 【分析与解】 虽然很容易看出可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不像分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)，于是我们又有减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢?=======7．计算下列式子的值：【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律.显然12+1=2;所以原式=1980122=396024．习题计算1718+1819+1920+…+2930的值．提示：可有两种方法，整数裂项，利用1到n的平方和的公式.答案：(293031-161718)3=291031-16176=7358. 第二讲 数字谜综合内容概述各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题． 典型问题 1．ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字．已知ABCD+EFG=1993，问：乘积ABCDEFG的最大值与最小值相差多少? 【分析与解】 因为两个数的和一定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小． A显然只能为1，则BCD+EFG=993， 当ABCD与EFG的积最大时，ABCD、EFG最接近，则BCD尽可能小，EFG尽可能大，有BCD最小为234，对应EFG为759，所以有1234759是满足条件的最大乘积； 当ABCD与EFG的积最小时，ABCD、EFG差最大，则BCD尽可能大，EFG尽可能小，有EFG最小为234，对应BCD为759，所以有1759234是满足条件的最小乘积； 它们的差为1234759—1759234=(1000+234)759一(1000+759)234=1000（759—234)=525000．2.有9个分数的和为1，它们的分子都是1．其中的5个是,,,,另外4个数的分母个位数字都是5．请写出这4个分数． 【分析与解】 l一(++++)== 需要将1010拆成4个数的和，这4个数都不是5的倍数，而且都是3371l的约数．因此，它们可能是3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693． 经试验得693+231+77+9=1010．所以，其余的4个分数是：,,,.3. 请在上面算式的每个方格内填入一个数字，使其成为正确的等式． 【分析与解】 1988=2277l=4497，+＝，在等式两边同时乘上，就得+＝．显然满足题意． 又+=，两边同乘以，就得+＝．显然也满足． +＝，+＝均满足. 4．小明按照下列算式： 乙组的数口甲组的数○1= 对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号他将计算结果填入表14—1的表中．有人发现表中14个数中有两个数是错的请你改正．问改正后的两个数的和是多少? 【分析与解】 甲组的前三个数0.625，，都是小于1的数，2与这三个数运算后，得5.05，4，4；不论减1还是加l后，这三个数都比2大，而这是2与小于1的数运算的结果，因此可以猜想方框内是除号．现在验算一下：20.625===4.05；2==3；2===3；23=. 从上面四个算式来看，圆圈内填加号，这样有三个结果是对的，而4是错的． 按照算式 乙组的数甲组的数+1…………………………* 23+1=1，显然不为1.5，上面已认定3是正确的，因此，只有把2改为1.5，才有1.53+1=1，而1.50.625+l=3.4，1.5+1=3.25． 由此可见，确定的算式*是正确的．表中有两个错误，4应改为4，2应改为1.5，4+1=5+=6．改正后的两个数的和是6． 5．图14—3中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形．现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个项点上． (1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能，请给出填数方法：如果不能，请说明理由． (2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由． 【分析与解】 (1)无论怎样填法，都不可以使八个三角形顶点上数字之和相等． 事实上，假设存在某种填法使得八个三角形顶点上数字之和都相等，不妨设每个三角形顶点上数字之和为k． 在计算八个三角形顶点上数字之和时，大正方形四个顶点上每个数字恰好使用过一次；中正方形四个顶点上每个数字各使用过三次；小正方形四个顶点上每个数字各使用过二次． 因此，这八个三角形顶点上数字之和的总和为： 8k=(1+2+3+4)+3(1+2+3+4)+2(1+2+3+4)，即8k=60,k不为整数，矛盾，所以假设是错误的． (2)易知：不可能做到三角形的三个顶点上数字完全相同，所以三角形顶点上数字之和最小为1 +1+2=4，最大为3+4+4＝11． 而4～11共8个数，于是有可能使得8个三角形顶点上数字之和各不相同，可如下构造，且填法不惟一．图(a)和图(b)是两种填法． 6．图14—5中有11条直线．请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等．求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数．【分析与解】 表述1：设每行的和为S，在左下图中，除了a出现2次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有4S=(1+2+3+…+11)+a=66+a； 在右上图中除了a出现5次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有5S=(1+2+3+…11)+4a＝66+4a． 综合以上两式， ①5-②4得66-11a=0，所以a=6，则S=18． 考虑到含有*的五条线，有4*+(1+2+3+4+…+11)-t=5S=90．即4*-t=24，由t是1～11间的数且t≠*，可知*=7，而每行相等的和S为18.表述2：如下图所示，在每个圆圈内标上字母，带有*的圆圈标为x， 首先考虑以下四条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(x、d、b)，(j、e、c)，除了标有a的圆圈外，其余每个圆圈都出现了一次，而标有a的圆圈出现了两次，设每条直线上数字之和为S，则有： (1＋11)112+a=4S，即66+a=4S． 再考虑以下五条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(j、x、a)，(e、d、a)，(c、b、a)，同理我们可得到66+4a=5S． 综合两个等式，可得。
