扭摆的非线性振动.docx

扭摆的振动摘要：本实验在了解扭摆线性振动的基础上，研究其非线性振动，探讨力学中的非线性现象 在无配重的情况下，扭摆将做线性振动，如阻尼振动和受迫振动在扭摆圆盘上施加适当配 重，即构成非线性扭摆调解配重位置后，分别固定驱动频率、改变励磁电流和固定励磁电 流、改变驱动频率，均可观察到扭摆的周期振荡、二分频、三分频、混沌运动等现象，可用 波形图和相图描述关键词：扭摆，非线性振动，扭摆的非线性现象1、 引言本实验在掌握简谐振动、阻尼振动、受迫振动等线性振动的基础上，施加配重构造非线 性扭摆，利用传感器采集数据并显示动态状态的方法获得扭摆非线性振动的波形图和相图 物理上常用波形图和相图相结合的方法研究非线性振动固定周期驱力频率①、改变阻尼系 数5 （通过改变励磁电流I实现）和固定阻尼系数6、改变周期驱动力频率® （通过改变电 机电压U实现），均可观察到扭摆的周期振荡、二分频、三分频、混沌运动等一系列现象 其原因在“理论”部分有所体现由于能力有限，本次实验只实现了观察周期振荡、二分频、三分频这部分实验内容，并 没有调节观察到混沌现象，故在实验部分不能给出其实验结果2、 理论2.1、扭摆的装置扭摆的装置示意如图［2-1］：一方面，电机转动时，带动装在电机轴上的偏心轮T转动，从而带动与偏心轮T相连 的摆杆L做周期摆动，这就为扭摆提供了周期驱动力。

摆杆L摆动时牵动与其相连的摇杆 M，进而带动卷簧S，当卷簧S发生形变后会对扭摆的均质圆形铜盘R施加弹性力矩，即动 力矩T 2z，使圆盘绕垂直于纸面的水平轴O转动（O轴过圆盘的圆心）改变电机的电压U （通过电机上的调节旋钮调节电压U）,便可以改变摆杆L的摆动频率，即周期驱动频率e另一方面，扭摆的铜制圆盘R摆动时穿过其下方的电磁铁线圈D,受到安培力，所以 可以通过调节加在电磁铁线圈上的励磁电流I,改变其间磁场强度，从而改变圆盘所受的阻 力矩工iz，达到改变阻尼系数5的目的此外，若在圆盘边缘，即距圆心r处的适当位置加适当配重W （可以多于一个配重）， 就可构造成非线性扭摆调节配重的大小和位置，使扭摆在水平轴O正上方有不稳定平衡 位置，且在左右两侧各有一个稳定平衡位置，进一步调节驱动力频率①或阻尼系数，便可 以观察到周期震荡、二分频、三分频、混沌等一系列非线性现象研究扭摆的线性振动时不 需要施加配重图［2-1］：扭摆装置示意图2.2、扭摆的线性振动扭摆的线性振动的原因和机理相对比较简单下面首先建立如图［2-2］所示的坐标系，结 合扭摆实验的装置图，简述简谐振动、阻尼振动、受迫振动的原理，并建立其运动方程。

如图［2-2］,非线性振动中，扭摆的平衡位置在水平轴O的正上方，e为扭摆摆动时， 其偏离平衡位置的角位移Z轴垂直于纸面图［2-2］：坐标图2.2.1、 在无配重、无周期驱动力、无阻尼的情况下，扭摆做简谐振动2.2.2、 在无配重、无周期驱动力、有阻尼的情况下，扭摆此时可视为有阻尼的谐振子,d0t 1 = —丫 做阻尼振动阻力矩1Z dt，其中中为阻矩系数；卷簧的线性恢复力矩T 2 z = —kQ， 其中k为弹簧的劲度系数；并社扭摆对Z轴的转动惯量为J根据转动定理，可以得到运动 方程:d 20 d0+ 2 P + o2 = 0...(2 — 1 /dt 2 dt 0ko 2 =° 0是扭摆振动的固有频率0 J称©是阻尼常量,定义阻尼度 °0，按照阻尼度大小不同,方程<2-1）有三种不同形式的解析解，相应代表了扭摆的三种运动形式A>1，过阻尼振动，振动方式没有周期性，经过相当长的时间扭摆才能到达平衡位置;A =1，临界阻尼振动，，振动方式没有周期性，扭摆很快回到平衡位置;Av1，周期性运动方式在相空间里其相轨迹是一个逐渐收缩的螺旋曲线2.2.3、在无配重、有周期驱动、有阻尼的情况下，扭摆做受迫振动。

设所受周期驱动为"I — amC0"® "，在这种情况下扭摆的运动方程为：Jd^ + 丫 理 + kB = M cos (ot)...(2 - 2)dt 2 dt 0其中,M = ka0 mo o =Jo 2 一 2 B 2调节扭摆频率°，使其达到共振频率R V 0 时，振幅有极大值，发生共振现象2.3、扭摆的非线性振动2.3.1、运动方程和非线性因素在扭摆的适当位置加一大一小两个配重，即可构造一个非线性扭摆，使配重的总效果加在O 轴正上方，则扭摆在O轴正上方存在一个不稳定平衡位置，在O轴左右两侧各存在一个稳 定平衡位置建立动力学方程如下：——+ 丫 ——+ kB = M cos(ot)+ a' sin0...(2-3) dt 2 dt 0与方程(2-2)相比，多了重力矩a'sin0，其中"'=rmgsin0 »0 -—当摆角很小时， 6，这就引入了非线性因素这里的3次方项，及当角度变大时，方程中还会出现的5次方、7次方项，是导致混沌运动的主要原因2.3.2、势能和平衡位置 设摆在卷簧未发生形变时重力势能为零，则系统的势能为：V = i k— 2 一 mgr (1 - cos0)0 2 0 4将cos 0展开为cos 0 -1-空+才,带入上式得V〜匕严0 2 +弩0 4…(2 - 4 )—V = 0 k当系统处于平衡态时,0 = 0,i平衡位置，即势能最小，由d0 ，且当mgr > k时，可求出势能曲线的三个0 =± 6 123 Y 1 mgr丿，如下图所示。

图［2-3］:势能曲线（v-e）左一线性摆，右一非线性摆3、实验 3.1、实验装置及操作实验装置如图［3-1］所示：可通过电机上的旋钮调节驱动频率计算机通过CASSY Lab软件和位移传感器采集数据实验操作：一、如图所示连接实验装置（注意：线在金属圆盘上的切点与位移传感器等高）；用两 个一大一小的砝码作为配重，固定在圆盘边缘适当位置，选择位置时转动扭摆，使其在左右 两边均有平衡位置，且在5〜7之间运行CASSY Lab软件，了解使用方法要得到波形图，则纵坐标选位移，记为变量SA1， 横坐标选时间t ；要得到相图，则纵坐标选位移对时间的微分，记为变量fl,横坐标选择 时间；如果图像不合理，可以进行傅立叶变换，以便较清楚地观察；调节图像大小可通过改 变坐标轴范围实现二、 固定励磁电流，改变扭摆的频率，观察扭摆的振动状态并记录典型的波形图这里 记录了周期振荡、二分频、三分频时的波形图，观察到扭摆的振动状态与相应的波形图相符注意调节频率时，最好先找到周期振荡，然后再调二分频等；调节时缓缓转动旋钮，并 不断观察波形图或相图，也可间或观察扭摆的振动状态当波形出现非线性迹象时，便在该 频率附近调节；可适当地通过与电机相连的电压表示数记忆所需频率频率出现的位置。

三、 固定驱动频率，改变电流，观察扭摆的振动状态，并记录典型的波形图与相图注 意励磁电流不宜加得过大，改变量也不宜太大，因为改变电流是为了改变阻尼系数5而电 流改变很小时，阻力都会有很大变化3.2、结果分析及实验体会结果分析：所得周期振动的图像比较理想但所得二分频的图像应当是二分频和三分频过度时的非线性 图像，不是很典型二分频一个周期内有两个明显的峰值，三分频有三个实验体会：由实验装置图中可以看到，线与扭摆的圆盘相切，当扭摆振动时，带动线团一起振动， 线团的位移变化反映了扭摆的位移变化，通过位移传感器被采集因此，线和滑轮之间的摩 擦及空气阻力可能会造成微小误差一方面，按照决定论，若不施加其他影响，物体以后的运动状态是完全由其初始状态决 定的，就是说当其初始状态（含位移、速度等因素）确定后，物体以后的运动状态便确定了 当对扭摆施加配重后，引入非线性重力距，决定了扭摆会出现混沌现象的是这种初始状态， 而不是实验系统或周围环境的随机因素，也不是量子力学中的不确定性另一方面，混沌本 身没有规律可循，具有随机性所以说，混沌是决定性和随机性的统一，也是有序和无序的 统一也许可以这样说：混沌是这样一个人，你知道怎样见到他，却不知到怎样看清他，把 握他。

4、结语：扭摆振动的研究不仅在理论，而且在工程技术上都具有重要的意义。