异面直线所成的角的方法归纳老师专用.doc

异面直线所成的角的方法归纳(1) 求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转 化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识(余弦定理、正 弦定理、射线定理(cosQ = cos0cos0))求解，整个求解过程可概括 为：一找二证三求2) 求异面直线所成角的步骤：%1 选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线， 这里的点通常选择特殊位置斩点1 求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算1 因为异面直线所成的角的范围是0 VOW90所以在三角 形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角3、 “补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问 题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所 成的角也是常用的方法之一4、 利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角 也是常用的方法之一g方法总结：直接平移法、中位线平移、补形平移法、向量法例：长方体 ABCD—AiBiGD 1 中，若 AB=BC=3, AA1=4,求异面 直线B]D与BCi所成角的大小选题意图，通过该题，让学生进一步理解异面直线所成角的概念, 熟练掌握异面直线所成角的求法。

分析：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直 线所成的角转化为平面问题，解三角形求之解法一：如图①连结BiC交BCi于0,过0图①点作OE〃DBi，则ZBOE为所求的异面直线DB|与BQ所成的角连 结 EB,由已矢OW B)D= 734 , BC!=5, BE=^ , A cos ZB0E=^^ Z.2 170/Dnr?— 7V34/ BOE= arc cos 170解法二：如图②，连DB、AC交于点，过0点作OE〃DB“过E点 作EF〃CB,则匕OEF或其补角就是两异面直线所成的角，过点作0M 〃 DC ,连结 MF、OFo 则 0F二遮，cos Z20EF=-嘤，.•・异面直线BJ)与BG所成的角为1707^34arc cos 170解法三：如图③，连结DiB交DB】于0,连结DA,贝U四边形ABCD为平行四边形在平行四边形ABCtDi中过点0作EF〃BG交AB、DG于E、F,则ND0F或其补角就是异面直线DBi与BG所成的角在ZSADF中DF*,cos ZD0F= 7^^，ZD0F=o/rcos 170 170解法四：如图④，过Bi点作BE〃BC】交CB的延长线于E点。

则ZDB.E就是异面直线DBi与BG所成角,连结 DE 交 AB 于 M, DE=2DM=3V5 ,cos NDBiE=Ki^170/.匕DBiE=rccos 7^^ o170解法五：如图⑤，在平面DiDBB］中过B点作BE〃DB】交DB的延长线于E,则ZC^E就是异面直线DB】与BCi所成的角，连结GE,在ABCE中,匕CBE=135 , GE-3V5 ,cos ZCiBE= 7NCiBE=orccos 12/里.o170 170分析：在已知图形外补作一个相同的 儿何体，以例于找出平行线一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2,连结D2B,则DlBC.解法六：如图⑥，以四边形ABCD为上底补接DB/DB .••NQBD2或其补角就是异面直线DB】与BG所成的角,连 CB, !HiJAC 为 &△, cosZcosa2D2>?z.图⑥B,异面直线DBi与BG所成的角是吹cos嚅解法七：如图⑦,连结DB、DG,设异面直线DBi与BG所成的角为DB| Bq~DB, ~BC.,而函 瓯二西.（两+瓦U）二西 硒+函 福cos〈 DB］， B|C］〉DB\\BB\ cos 〈 DB\ , BB［〉+|DB,| \B}C}* BB】〃DDi. 〈DB、, BB。

DD} , DB、〉=ZDiDBicos 匕DiDB［=- V34〈DB[,片G〉二 180 — ZDBiCi•「cos ZDBC=3V34「• cos 〈 DB、, B]C])-—cos Z^DBiCi=— — V34DB. BC,二7...海迥,Marccos迥170 170解法八：如图⑧，建立如图所示的空间 直角坐标系，则 B (3, 3, 0), Bi (3, 3, 4), D (0, 0, 0), C, (3, 0, 4)o设瓦;和万U的夹角为们商 力 DB. • BC, 7 J34贝 IJ cos ^ =——DB】BQ170异面直线函与而所成的角为7^34arccos 170总之，异面直线所成的角是立体几何中的重要概念，也是我们学 习的笫一个空间角，它的求法体现了立体儿何将空间图形问题化归为 平面图形问题的基本思想例 2：长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=AAl=2cm, AD= 1cm,求异面 直线A1C1与BD1所成的角解法1：平移法设A与BQ】交于0,取BiB中点E,连接0E,因为0E//D.B,所以ZCjOE或其补角 就是异面直线A】C］与BD］所成的角左C,OE中OC, =-A,C,=—1 2 1 1 20E = -BD. =L 奶 +2、+1 =己2 1 2 2C|E = JB|C「+bB = +F =扼所以 c、CQE=C「+OE2-E2OC|OE2 2_V5一 5所以 ZC|OE = arccos 寸a 八 inc arccos所以异面直线A】与BD】所成的角为V55图1解法2：补形法在长方体ABCD—A|B］C|D|的面BC】上补上一个同样大小的长方体，将AC平移到BE, 则NDiBE或其补角就是异面直线A与BD】所成的角，在ABDiE中，BD,=3, BE = &, D|E =加 +22 =2 际_ E BD,- +BE2 -D.E2 cos ZD, BE = —! !—1 2BD]BE二 32 + （国一（2国2x3x75__V5-5所以异面直线A]G与BD|所成的角为arccos —— 5c^解法3：利用公式cos0 = cosS • cos02设OA是平Ifli a的一条斜线，OB是OA在a内的射影，OC是平面a内过0的任意一条 直线，设OA与OC、OA与OB、OB与OC所成的角分别是。

\、" 则cos = cos -cos % （注：在上述题设条件中，把平面a内的0C换成平面a内不经过0点的任意一条直线，则 上述结论同样成立）DjB在平面ABCD内射影是BD, AC看作是底面ABCD内不经过B点的 一条直线，BD与AC所成的角为匕AOD, DiB与BD所成角为匕D|BD,设D|B与AC所成cosZD1BD = ^- = —角为 , cos0 = cos ZD|BD - cos ZAOD BD】 5cosZAOD =cos 0 = cos ZD ] BD • cos ZAODOD? +0A2 - AD?20D • OAV5 3= 3 5_V5_ 5A M0 = arccos ——所以 5arccos——所以异面直线AiG与B所成的佑为 5B图3八 a • b cos Q = 解法4：向量儿何法： 用II bl—> —> ―>设AB、AD、AA|为空间一组基向量―> —> —>AB = a, AD = b, AA] = c lal= 2,1 bl= 1,1 c 1=2 a・b = 0,a・c = 0,b・c = 0—> —> —> —>BDi =BA+AA] + A]D] =b + c — a-)A jC] = a + bA ]C| = Jl a + b I = V22 + 1 = V5IBD|『Jib + c-aF = JlbF + la|2 +lc|2 = 3BD「A|C| =(b + c-a)(a + b)=lb|2 -|al2 = l-4 = -3—>cos vBD]-> —>A^〉= BD「AC =三=_也— T 3^5 5IB IIA|G I北arccos ——所以异面直线A]C]与BD|所成的角为 5功 Ct解法5：向量代数法:cos。

a.b, +a2b2 +a3b32 , 2 , 2+ a 2 + a 3^/b|2 + b22 + b32以D为坐标原点，DC、DA、D分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系,则A (0,1,-> ->0)、C (2, 0, 0), B (2, 1,0)、D] (0, 0, 2), BD】=(-2,-1,2),AC = (2,-1,0)cos v BD[, AC >= —；=■— 3V5 5arccos——所以异面直线A】C]与BD】所成的角为 5图5解法6：利用公式八 AD2 +BC2 - AB2 - DC2 cos 0 = 2ACBD定理：四面体A—BCD两相对棱AC、BD间的夹伯必满足z) AD2 +BC2 - AB2 - DC2 cos u = 2ACBD解：连结BC】、A]B在四面体B-A]C]D|中，异面直线A与BD】所成的角是易求 得 A]C] = BC| = Vs, A|B = 2V2, BDj = 3图7. A.D, +BC,2 -A.B^D.C.2 cos 0 = —!~! ! ! 由定理得:2A1C1 BD,_ 12+（妨_（2次）2_222x^5 x33 = arccos 所以。