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第一章 弹性波的基本理论 第一节 弹性理论概述 一、弹性介质的概念 地震勘探中将地层叫做介质 由于地震勘探是研究人工激发的地震波在岩层中的传播规律来探测地 下地质体的的存在和确定岩土物理力学参数的地球物理方法， 它的地球物理前提 是岩矿石间的弹性差异，因此需要研究介质的弹性性质人工激震后，岩石附近 的质点发生破碎，介质产生的是塑性形变；远离震源的介质质点会发生振动，发 生体积和形状的变化，但由于受到的作用力极小，且作用时间极短，随着外力的 消失而消失，岩层的这种随外力消失而恢复原形的形变称为弹性形变产生弹性 形变的介质叫弹性介质在弹性介质内传播的地震波称地震弹性波研究地震弹 性波可用弹性波理论，如虎克定律等 （一）各向同性介质和各向异性介质 对某一特定岩层， 如果沿不同方向测定的物理性质均相同， 称各向同性介质， 否则是各向异性介质 （二）均匀介质、层状介质 若介质的弹性性质不仅与测定方向无关，而且与坐标位置无关，就称为均 匀介质；如速度v=c（常数） 非均匀介质中，介质的性质表现出成层性，称这种介质为层状介质；其中 每一层是均匀介质；不同介质层的分界处称界面（平面或曲面） ；两个界面之间 的间隔称为该层的厚度。

将速度 v 是空间连续变化函数的介质定义为连续介质 连续介质是层状介质的一 种极限情况即当层状介质的层数无限增加，每层厚度无限减小，层状介质就过 渡为连续介质，如 v=v0 (1+βz) 叫线性连续介质 （四）单相介质和双相介质 只考虑单一相态的介质称单相介质， 即把组成地层的岩石都视为单一固体相由于 岩石往往由两部分组成，一部分是构成岩体的骨架，称基质，另一部分是由各种 流体或气体充填的孔隙，由于地震波经过岩石基质和流体孔隙传播的速度不同， 因此从波传播来说，这种岩石是由两种相态组成，称这种岩石为双相介质 二、弹性模量 （一）应力与应变 1. 应力：弹性体受力后产生的恢复原来形状的内力称内应力，简称为应力 应力和外力相抗衡，阻止弹性体的形变对于一个均匀各向同性的弹性圆柱体， 设作用于s面上的法向应力为N，若力f在s面上均匀分布，则应力pn定义为 Pn=f/s （1.1—1） 若外力 f 非均匀分布，则可以取一小面元△S,作用于小面元上的力为△f，则应力 定义为 上式表示导数 因此应力的数学定义为： 单位横截面上所产生的内聚力称为应力根据力的分解定理， 可以将力分解成垂直于单元面积的应力—法向应力 dsdflinP=sf nΔΔ=（正应力） ；相切于单元面积的应力—切向应力（剪切应力）。

转载国家精品课程正应力用σxx ，σyy ，σzz ；切应力用σxy , σxz 、 σyz ; σij 、 i 表示应力方向，j 表示应力作用于垂直于 j 轴的平面 2. 应变 物理定义：弹性体受应力作用，产生的体积和形状的变化称为应变只发生 体积变化而形状不变的应变称正应变；反之，只发生形状变化的应变称切应变 数学定义：弹性理论中，将单位长度所产生的形变称应变 例如，柱体原长为 L ,长度的变化量位△L, 则应变等于△L/L, 3. 应力与应变的关系 应力与应变成正比关系的物体叫完全弹性体， ，虎克定律表示了应力与应 变之间的线性关系对于一维弹性体，虎克定律为： F=kx F: 外力； x: 形变； k: 弹性系数 对于三维弹性体，用广义虎克定律表示应力与应变之间的关系 （二）弹性模量 1. 杨氏弹性模量（E） 表示膨胀或压缩情况下应力与应变的关系，所以又叫压缩模量数学定义：物体 受胀缩力时应力与应变之比设沿 x 方向受应力为 f/s ,产生的应变为 △L/L, 则 杨氏弹性模量 LLsf // ΔE =物理定义：杨氏弹性模量表示固体对所受作用力的阻力的度量。

固体介质对拉伸 力的阻力越大，则杨氏弹性模量大，物体越不易变形；反过来说，坚硬的不易变 形的物体，杨氏弹性模量大 2. 泊松比（σ） 在拉伸变形中，物体的伸长总是伴随着垂直方向的收缩，所以把介质横向应变与 纵向应变之比称泊松比， LLdd // ΔΔ=σ显然泊松比是表示物体变形性质的一个参数，如果介质坚硬， ，在同样作用力下， 横向应变小，泊松比就小，可小到 0.05 而对于软的未胶结的土或流体，泊松 比可高达 0.45 —0.5一般岩石的泊松比为 0.25 左右 3. 体变模量（K） 设一物体，受到静水柱压力 p 的作用，产生体积形变， △v/v, 其中 v 是物体 的原体积， △v 是体积变化量但形状未发生变化则在这种情况下的应力与 应变的比称为体变模量 负号表示随 p 的增大，K 反而减小体变模量表示物体的抗压性质，有时也称 为抗压缩系数，其倒数称为压缩系数 vvpK/Δ−=4. 剪切模量（μ） 指物体受剪切应力作用，并发生形状变化，应力与应变之比如图所示，受剪切 力为σxy , 切变角为ϕ，则剪切模量为 μ= σxy / ϕ因tg ϕ= ϕ 转载国家精品课程μ是阻止剪切应变的度量。

液体的μ=0，没有抗剪切能力 5. 拉梅常数（λ） 横向拉应力与纵向应变之比以上五个弹性常数E, k ,σ, μ ,λ,中的任一个，均可用 其余两个常数表示，常见关系如下： ;2623;)1 (2;)21 ( 3;39μμσσμμμμ+−=+=−=+=KKEEKkkE三、波动方程 假设地震波在完全弹性和各向同性的均匀介质中传播， 地层介质受力后发生 小形变，在远离震源处震源作用已全部结束这时纵波和横波位移位所满足的波 动方程为: 其中纵波速度vp 和横波速度Vs 分别为 ψψϕϕ22 2222 22∇=∂∂∇=∂∂spvtvtρμρμλ=+=spvv)2(第二节第二节 弹性波的形成与分类 弹性波的形成与分类 一、纵波一、纵波 在点震源激发后，弹性介质中存在两种扰动，在胀缩力作用下，产生体积形变， 体积形变的传播形成纵波 由于震源可看成球腔震源，见图1.2-1所示 图1.2-1球腔激发纵波示意图 地震波的传播具有球对称性， 只研究沿半径 r方向上的波动， 于是得到球坐标系 的波动方程： 波动方程在球坐标系中的形式： ) 1 . 2 . 1 (0)()(2222 =∂∂−∂∂ rrvtrpϕϕ 转载国家精品课程令 ϕ1 =rϕ ,得到 )2 . 2 . 1 (0212 2 212 =∂∂−∂∂ rvtpϕϕ用付里叶变换法求解得 ) 3 . 2 . 1 ()()(211 ppvrtCvrtCr++−==ϕϕ若令 pvrt −和 pvrt + 为常数， 则代表波动的某一状态。

由分析，满足物理前提的波动方程的解是 )(11 pvrtC−=ϕ其中c1是待定常数对胀缩点震源来说，纵波位移解是 0, 1122)](1)(1[41rtrvtrvupppρφφπ+−=纵波的传播特点：φ1(t)是震源强度 1．质点位移大小与震源强度和震源变化率有关； 2．质点位移大小与传播距离r或r 2有关； 3．质点位移与r方向一致； 4．纵波是线性极化波； 5．沿纵波传播路径会交替出现压缩带和稀疏带，如下图所示： 图1.2-2 纵波的传播特征 6.纵波的传播速度: )21)(1 ()1 (2 σσρσ ρμλ −+−=+=Evp二、横波 在球腔壁上施加旋转力，这时只产生横波横波是形变的传播 图1.2-3 球腔激发横波示意图 转载国家精品课程根据纵波位移解，可写出横波位移位的解： )(4112 ssvrtrv−Ψ=Φπ由于横波只产生剪切应变，横波位移在球坐标系（α，β，r）中的r 分量为零， 如果只研究某一平面位移，则β分量也为零只有沿 α方向的位移： )]cossin(1)cossin(1[41111122ββββπα′Ψ+′Ψ−+Ψ+Ψ=yx syx ssrvrrvUρ式中r是横波传播方向。

横波的传播特点如下： 1． 横波传播速度是vs )1 (2σρρμ +==Evs2．横波传播方向与质点振动方向垂直； 3．横波是线性极化波； 4．横波质点位移主要决定于旋转激发力的强度，形状及变化率； 5．横波质点位移还决定于离开震源的距离r; 6．纵波与横波速度比 σσ 21)1 (2 −−=sp vv一般岩石的泊松比为0.25, 所以vp/vs是1.73； 7．液体介质中，切变模量为零，所以在液体内没有横波 8．横波类型分为SH型波和SV型，见下图 图1.2-4 横波的传播特征 三、面波 在介质体内传播的波叫体波，纵波和横波都是体波； 在弹性分界面存在着另一类波—面波，从能量说，它只分布在弹性界面附近有 瑞雷面波和拉夫面波两类 瑞雷波是英国学者瑞雷（Rayleigh）在理论上确定的， （一）瑞雷面波的形成及传播特点 在岩土介质和空气的分界面（自由界面）传播的波叫瑞雷面波设x、y 轴为自 由表面，z轴垂直向下，面波沿x轴方向传播，速度为vR为方便，仅讨论二维问 题预测面波满足波动方程，且振幅沿z轴方向迅速衰减， ，其位移位有如下形式 的解： )(2 Rvxtfikzeae−−=π ϕ经研究，瑞雷波沿z轴的传播深度是有限的，传播深度几乎集中在一个波长深度 转载国家精品课程范围内。

图1.2-5 面波波前示意图 面波传播特点如下： 1．波前面是高度为z=λR的柱体； 2．面波振幅A随距离r衰减比体波慢， rA1∞3．面波能量强于体波； 4． sRvv955. 0≈ 5.面波是椭圆极化波; 图1.2-6 瑞雷面波传播示意图 图1.2-7 勒夫波传播示意图 （二）瑞雷波具有频散现象，即速度是频率的函数v=v(f); 图1.2-8 瑞雷面波的传播及质点反向运动 （二）瑞雷波具有频散现象， 即速度是频率的函数v=v(f); 见下图 转载国家精品课程图图 1.2-9 面波的相速度和群速度面波的相速度和群速度 二、拉夫波二、拉夫波 1．属SH型的波，没有垂直和沿传播方向的位移； 2．出现在覆盖层内部和该层与下面介质的分界面上； 3．其速度介于上界面速度和下界面速度之间； 4．拉夫波也有频散现象； 5．一般很难从地震记录上辨认拉夫波 第三节 弹性波的描述弹性波的描述 一． 振动图形和波剖面一． 振动图形和波剖面 （一）振动图形振动图形：在波传播的某一特定距离上，该处质点位移随时间变 化规律的图形称振动图形 1．在振动图形上相邻极值之间的时间间隔称为视周期； 2．视周期的倒数称视频率； 3．振动图形上极值的大小称波的振幅； 4．振动图的极值（正或负）称为波的相位； 5．图上质点振动的起始时间t1和终了时间t2之间的时间长度 （t2-t1） 即位 波的时间延续长度； （二）若在某一确定的时刻t，位移随距离变化关系的图形称波剖面。

转载国家精品课程1．波剖面上具有极大正位移的点称波峰，极大负位移的点称波谷，两相 邻波峰（谷）之间的距离称视波长λ*； 2．视波长的倒数称波数，即单位距离内波的数目k=1/λ*; 3．视波长λ*、波数分量k和视速度之间有如下关系： λ*=v*T=v*/f k=1/λ*=f/ v* 二、波前面和等相位面波前面和等相位面 振动状态的传播形成地震波，波在介质中传播将介质分为三个球形层，球层内的 质点以各自的状态振动，称扰动区，横截面即波剖面如图 图1.3-3 球面波传播示意图 1． 扰动区的最前端刚开始振动的与尚未振动的质点间的分界面称为波前面； 2．扰动区的另一个面将要停止振动与已经停止振动的质点间的分界面称波 尾面； 3．在同一时。