高中数学知识点汇总(高二).pdf

高中数学知识点汇总（高二）高中数学知识点汇总（高二）.1七、数列与数学归纳法.3八、平面向量的坐标表示.10九、矩阵和行列式初步.15（一）矩阵.15（二）行列式.17十、算法初步.20十一、直线的方程.21十二、曲线的方程.25（一）曲线的方程概论.25（二）圆的方程.26第 1页（共 44页）（三）椭圆.28（四）双曲线.32（五）抛物线.36（六）圆锥曲线的相关知识.39（七）参数方程和极坐标.40十三、复数.42第 2页（共 44页）七、数列与数学归纳法七、数列与数学归纳法1 1、等差数列、等比数列的常用公式：、等差数列、等比数列的常用公式：/递推公式等差数列(AP)an1andana1(n1)d等比数列(GP)an1qanana1qn1anamqnmqn1ana1anam通项公式an am(nm)daadn1(n1)n1aadnm(nm)nmn(a1an)2n(n1)na1d2ddn2(a1)n22中项项数公差（比）qnmSn前n项和公式a1(1qn)a1anqSn(q1)1q1qaa11qn(q1)1q1qavvqn(q1)，其中v11qSnna1(q1)N ab(ab 0)（等比中项公式）an1aaq(q为常数)或n1nananan1中项公式Mab（等差中项公式）2an1and(d为常数)或判别方法an1ananan12 2、等差数列的性质：、等差数列的性质：（1）若数列an是首项为a1，公差为d的等差数列，则d 0时，an是递增数列；d 0时，an是递减数列；d 0时，an是常数列若mn pq(m,n,p,qN*)，则aman apaq数列man是首项为ma1，公比为md的等比数列下标成等差数列且公差为m的项ak,akm,ak2m,(k,mN*)组成公差为md的等差数列Snd是首项为S1，公差为的等差数列n2第 3页（共 44页）Sn，S2nSn，S3nS2n是等差数列若Sn Sm,m n，则Smn0若an m,am n,m n，则amn0；若Sn m,Sm n,m n，则Smn(mn)dd2n(a)nm122证明：由等差数列的前n项和公式，可得dm2(ad)mn122d2d(m2mnn2)(a1)(mn)mnmnd22ddmn2nm22；由可得ad2由可得a1d1nmddmn2nm2mn22于是，化简可得d 2nmmn，可得Smn将式代入式，可得Smn(mn)（2）若等差数列an的公差为d，前n项和为Sn；等差数列bn的公差为d，前n项和为Tn，则anS2n1aSSn1aSd(nN*)；nn；limn limnnbnTbnT2n1bmTmTm1dnn（3）项数为偶数n(nN*)的等差数列an有：SnSnnn(a1an)(anan)(an,an为中间的两项)；S偶S奇d；奇2112222S偶an22221an（4）项数为奇数n(nN*)的等差数列an有：Snnan1(an1为中间项)；S奇S偶an1；222S奇S偶n1n1注意：注意：S奇、S偶分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和3 3、等比数列的性质：、等比数列的性质：若数列bn是首项为b1，公比为q的等比数列，则若mn pq(m,n,p,qN*)，则bmbnbpbq数列logabn是首项为logab1，公差为logaq的等差数列下标成等差数列且公差为m的项bk,bkm,bk2m,(k,mN*)组成公比为qm的等比数列第 4页（共 44页）Sn，S2nSn，S3nS2n是等比数列4 4、根据递推公式求通项公式：、根据递推公式求通项公式：an1anf(n)（类等差数列），通过a1,a2,an逐式相加（累加法），可求出通项公式；例：数列an中，a12，且an1 an2n n，求通项an解析：由an1an2nn，结合累加法，可得an2nn(n1)2an1anf(n)（类等比数列），通过a1,a2,an逐式相乘（累乘法），可求出通项公式；例：数列an中，a12，且(n 1)an1 nan，则其通项an_解析：由an1n2，结合累乘法，可得anann1nf(an1)f(an)d(d 0)或f(an2)f(an1)f(an1)f(an)（复合等差数列），通过求出f(an)的通项公式，从而求出an的通项公式其中，比较典型的就是取倒数法例：数列an中，a11且an12an111，求an解析：an2an1an2f(an1)f(an2)f(an1)（复合等比数列），通过求出f(an)的通项公式，从而求出anq(q 0)或f(an)f(an1)f(an)的通项公式对于an1sant(s1)（线性数列），通过设an1s(an)，可逐步求出通项公式例：已知数列an中，a11，an12an3，求an答案：an2n13对于anpan1r型：例：数列an中，a13,an1an(nN*)，求数列的通项公式答案：an32n12anpan1rns型：例：设数列an：a1 4，an3an12n1，n 2，求an答案：an63n1n1anpan1rqn型，其中pq(p 1)(q 1)0第 5页（共 44页）例：已知数列an中，a1答案：an32nn23511，an1an()n1，求an632an2pan1qan型：21例：已知数列an中，a11，a2 2，an2an1an，求an3331答案：an11()n143解析：方法一：令an2an1(an1an)，然后就出，；方法二：特征根法：对于递推公式an2pan1qan，a1，a2给出的数列an，方程x2 pxq 0，叫做数列an的特征方程令anAx1n1Bx2n1，其中x1、x2是特征方程的根，然后求出A、B即可an1k3ank4型：k1ank2k3ank4(an)bn令bn an，则bn1，两边取倒数，an1k2k2k1ank2anbnk1k1解析：于是an1可得1bn1k2k111 bn1，则a2008等于（an132周期数列：和年份有关，代几项，看周期例：数列an满足a12,an1 A2答案：AS1a15 5、Sn与与an的关系：的关系：*SnSn1an(n2,nN)）B13CD1例 1：已知数列an的前n项和为Snn22n，求数列an的通项公式解析：由题可知，a1 S1 3，且Sn1(n1)22(n1)，于是anSnSn12n1，n 2经验证，a1 3也符合an 2n1该步很重要，不可缺少所以该数列的通项公式为anSnSn12n1第 6页（共 44页）6 6、数列求和的常用方法：、数列求和的常用方法：（1）倒序相加法：Sna1a2an1an已知数列an满足a1ana2an1，则，Snanan1a2a1由+得Sn（2）错位相减法：n(a1an)2例 2：求和：Sn12x3x2nxn1(x1且x0)2n1Sn12x3xnx解析：由题可得2n1nxSnx2x(n1)xnx1xnnxnn1xnxn，即Sn1x然后，可得(1x)Sn1xx2xn1nxn1x1x（3）裂项相消法：an11 11()；n(nk)k nnkan1nkn1(nkn)；kn11；(n1)!n!(n1)!an f(n1)f(n)（4）常见数列的前n项和公式：n(n1)123n；2n(n1)(2n1)122232n2；6证明：令Sn122232n2，则由(k 1)3k33k23k 1，依次令k 1,2,n可得23133123113323232321(n1)3n33n23n1累加可得(n1)313(1222n2)3(12n)n即(n1)313Sn3(12n)n整理可得Sn122232n2132333n3n(n1)22n(n1)(2n1)6第 7页（共 44页）证明过程同上7 7、数列中的最值：、数列中的最值：当f(n)0,nD时,an,nD单调递增an1anf(n)，；当f(n)0,nD时,an,nD单调递减an g(n)的图像，或table功能；8 8、常用数列的极限：、常用数列的极限：1q1limqn01q1；n不存在q 1或q1nlim10nn注意：limqn存在的充要条件是1 q 1，且q不一定代表公比，所有不需要q 0例 3：求出以下数列的极限：2n25n1（1）lim3；n5n3n42n29n1（2）lim；2n5n42n31_（3）lim2n5n5n4解析：若分子、分母都是多项式时，该分式数列的极限如下：0分母的多项式次数 分子的多项式次数分子的最高次项系数分母的多项式次数=分子的多项式次数分母的最高次项系数不存在分母的多项式次数 分子的多项式次数2所以该题的答案：（1）0；（2）；（3）不存在53n24n3例 4：计算：limnn1n433n24n33n9()64nn90644lim4 64解析：原式lim4nn1n4n33130n13()44n4nacxyaxnbynabxy0来直接得出答案另外，该题还可以用limncxndyncdbdyx9 9、极限的运算法则：、极限的运算法则：lim(anbn)limanlimbn；注意：该式只用于有限个数列相加的情况；nnnlim(anbn)limanlimbn；nnn第 8页（共 44页）anAanlimn(B 0)limnblimbnBnn特别地，如果C是常数，那么由可得lim(C an)limC liman C Annn1010、无穷等比数列各项的和：、无穷等比数列各项的和：SlimSnna1，其中0 q 11q1111、数学归纳法：、数学归纳法：证明与正整数n有关的数学命题的步骤：证明当n取第一个值n0（n0N*，例如n01或n0 2）时命题成立；假设当n k(k N*,k n0)时命题成立，证明当n k 1时命题也成立在完成了上面两个步骤后，就可以断定这个命题对于从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法叫做数学归纳法n(n1)(2n1)61231，等式成立；解析：当n 1时，左边121，右边6例 5：用数学归纳法证明122232n2假设当n k(k N*,k 1)时，等式成立，即122232k2k(k1)(2k1)6k(k1)(2k1)(k 1)(k 2)(2k 3)(k1)2；66那么当n k 1时，左边122232 k2(k1)2(k 1)(k 2)(2k 3)；6于是证明，n k 1时等式也成立右边根据和可以断定，122232n2n(n1)(2n1)对任何nN*都成立6第 9页（共 44页）八、平面向量的坐标表示八、平面向量的坐标表示1 1、平面向量的正交分解及坐标表示：、平面向量的正交分解及坐标表示：（1）已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB (x2 x1,y2 y1)；（2）AB xi y j (x,y)，其中i、j分别是平行于x轴、y轴的单位向量；（3）向量AB的模AB(x2 x1)2(y2 y1)22 2、定比分点的坐标公式：、定比分点的坐标公式：（1）若P1P PP2(1)，且P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P(x,y)，则xP1xP1Px12，即y12y1y12（2）特别地，当1时，P为有向线段P1P2的中点，则xPP1P1xx22，即22yy1y22平行四边形顶点关系式：如图所示，平行四边形ABCD，A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，AC B D，即x1x3x2x4yy13y2y4（3）已知ABC，A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，重心G(x,y)，则xGA1x2xBCx33，即y3；y1y2y33AG1 1 3AB3AC第 10页（共 44页）D(x4,y4)，则3 3、平面向量的的运算及关系：、平面向量的的运算及关系：若a x1i y1j(x1,y1)，b x2i y2j (x2,y2)，a与b的夹角为，则（1）平面向量的运算：a b(x1 x2,y1 y2)；a (x1,y1)（2）向量的数量积及运算性质：数量积：ab a b cos x1x2 y1y2，其中0,；特别地，aa a a；对于 R，有aa a 0，当且仅当aa 0时，a 0；ab ba；(a)b a(b)(ab)；a(b c)ab ac222 a。