[工学]第8章 曲线和曲面.ppt

第八章 曲线和曲面万 斌 机械设计制造及其自动化教研室提出问题由离散点来近似地决定曲线和曲面，即通过测量或实验得到一系列有序点列，根据这些点列需构造出一条光滑曲线，以直观地反映出实验特性、变化规律和趋势等简介工业产品的几何形状： • 初等解析曲面• 复杂方式自由变化的曲线曲面模线样板法计算机辅助几何设计CAGD（Computer Aided Geometric Design）8.1 曲线曲面基础8.1.1 曲线曲面数学描述的发展• 弗格森双三次曲面片 • 孔斯双三次曲面片 • 样条方法 • Bezier方法 • B样条方法 • 有理Bezier • 非均匀有理B样条方法8.1.2 曲线曲面的表示要求1.唯一性2.几何不变性3.易于定界4.统一性5.易于实现光滑连接6.几何直观8.1.3 曲线曲面的表示非参数表示参数表示显式表示隐式表示例如： y = mx + b 例如： 例如： 参数表示方法的优点： 1．点动成线2．选取具有几何不变性的参数曲线曲面表示 形式 3．斜率方便计算曲线的参数表示形式：4．t∈[0,1] ，使其相应的几何分量是有界的5．可对参数方程直接进行仿射和投影变换6．参数变化对各因变量的影响可以明显地表示出来8.1.4 插值和逼近样条• 采用模线样板法表示和传递自由曲线曲面的形状称为样条。

• 样条曲线是指由多项式曲线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特定的连续条件• 曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定曲线曲面的形状时，形状完全通过给定的型值点列• 曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点列逼近:构造一条曲线，使它在某种意义上最佳逼近这些型值点，称之为对这些型值点进行逼 近(approximation)• 求给定型值点之间曲线上的点称为曲线的插值• 将连接有一定次序控制点的直线序列称为控制多边形或特征多边形8.1.5 连续性条件假定参数曲线段pi以参数形式进行描述：• 参数连续性• 几何连续性1.参数连续性0阶参数连续性，记作C0连续性，是指曲线的几何位置连接，即1阶参数连续性记作C1连续性，指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一阶导数：2阶参数连续性，记作C2连续性，指两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶和二阶导数 2.几何连续性0阶几何连续性，记作G0连续性，与0阶参数连续性的定义相同，满足： 1阶几何连续性，记作G1连续性，指一阶导数在相邻段的交点处成比例2阶几何连续性，记作G2连续性，指相邻曲线段在交点处其一阶和二阶导数均成比例。

8.1.6 样条描述n次样条参数多项式曲线的矩阵：基函数(blenging function)，或称混合函数基矩阵几何约束条件8.2 三次样条给定n+1个点，可得到通过每个点的分段三次多项式曲线： 8.2.1 自然三次样条定义：给定n+1个型值点，现通过这些点列构造一条自然三次参数样条曲线，要求在所有曲线段的公共连接处均具有位置、一阶和二阶导数的连续性，即自然三次样条具有C2连续性还需要两个附加条件才能解出方程组特点：1.只适用于型值点分布比较均匀的场合2.不能“局部控制” 8.2.2 三次Hermite样条定义：假定型值点Pk和Pk+1之间的曲线段为p(t),t∈[0,1]，给定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，则满足下列条件的三次参数曲线为三次Hermite样条曲线： 推导：Mh是Hermite矩阵Gh是Hermite几何矢量三次Hermite样条曲线的方程为：通常将T•Mk称为Hermite基函数（或称混合函数，调和函数）： 特点分析：1.可以局部调整，因为每个曲线段仅依赖于端点约束2.基于Hermite样条的变化形式：Cardinal样条和Kochanek-Bartels样条3.Hermite曲线具有几何不变性8.3 Bezier曲线曲面8.3.1 Bezier曲线的定义定义：Bernstein基函数具有如下形式：注意：当k=0，t=0时，tk=1，k!=1。

1．一次Bezier曲线(n=1)2．二次Bezier曲线(n=2)3．三次Bezier曲线(n=3)8.3.2 Bezier曲线的性质 1．端点 2．一阶导数三次Bezier曲线段在起始点和终止点处的一阶导数为：3．二阶导数三次Bezier曲线段在起始点和终止点处的二阶导数为：4．对称性5．凸包性6．几何不变性7．变差减少性8．控制顶点变化对曲线形状的影响8.3.3 Bezier曲线的生成1．绘图一段Bezier曲线2．Bezier曲线的拼接问题的提出：如何保证连接处具有G1和G2连续性在两段三次Bezier曲线间得到G1连续性为实现G1连续，则有：亦即：在两段三次Bezier曲线间得到G2连续性：8.4 B样条曲线曲面Bezier曲线的不足：一是控制多边形的顶点个数决定了Bezier曲线的阶次二是不能作局部修改8.4.1 B样条曲线的定义定义：de Boor点、B样条控制多边形、B样条基函数 参数说明• m是曲线的阶数，(m-1)为B样条曲线的次数，曲线在连接点处具有(m-2)阶连续• 节点矢量：节点矢量分为三种类型：均匀的，开放均匀的和非均匀的当节点沿参数轴均匀等距分布，即tk+1-tk=常数时，表示均匀B样条函数。

当节点沿参数轴的分布不等距，即(tk+1-tk)≠常数时，表示非均匀B样条函数1．均匀周期性B样条曲线T=(-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2)T=(0,1,2,3,4,5,6,7)均匀B样条的基函数呈周期性：均匀二次（三阶）B样条曲线 取n=3，m=3，则n+m=6，不妨设节点矢量为：T=(0,1,2,3,4,5,6)：曲线的起点和终点值：均匀二次B样条曲线起点和终点处的导数：结论： • 对于由任意数目的控制点构造的二次周期性B样条曲线来说，曲线的起始点位于头两个控制点之间，终止点位于最后两个控制点之间• 对于高次多项式，起点和终点是m-1个控制点的加权平均值点若某一控制点出现多次，样条曲线会更加接近该点三次（四阶）周期性B样条取m=4，n=3，节点矢量为：T=(0,1,2,3,4,5,6,7)： 三次周期性B样条的边界条件为：2．开放均匀B样条曲线 节点矢量可以这样定义：令L=n-m，从0开始，按ti≤ti+1排列开放均匀的二次（三阶）B样条曲线假设m=3，n=4，节点矢量为：T=(t0 ,t1,,tn+m) =(t0 ,t1, t2, t3, t4, t5, t6, t7) =(0,0,0,1,2, 3,3,3)。

3．非均匀B样条曲线4．反求B样条曲线控制点及其端点性质问题：所谓反求B样条曲线控制点是指已知一组空间型值点Qi(i=1,2,,n)，要找一条m次B样条曲线过Qi点，也即找一组与点列Qi对应的B样条控制顶点Pj(j=0,1,,n+1)用分段三次B样条曲线pi来拟合，其上型值点和控制点的位置矢量之间有关系： 假定需求首末两点过Q1和Qn的非周期三次B样条曲线，则有P1=Q1,Pn=Qn，于是求解控制点Pj (i=2,3,.,n-1)的线性方程组为：补充两个边界条件为：P0 =P-1=Q1 Pn+1=Pn+2= Qn 8.4.2 B样条曲线的性质1．局部支柱性 B样条的基函数是一个分段函数，其重要特征是在参数变化范围内，每个基函数在tk到tk+m的子区间内函数值不为零，在其余区间内均为零，通常也将该特征称为局部支柱性2．B样条的凸组合性质B样条的凸组合性和B样条基函数的数值均大于或等于0保证了B样条曲线的凸包性，即B样条曲线必处在控制多边形所形成的凸包之内 3．连续性 • 若一节点矢量中节点均不相同，则m阶（m-1次）B样条曲线在节点处为m-2阶连续• B样条曲线基函数的次数与控制顶点个数无关。

• 重节点问题 4．导数5．几何不变性6．变差减少性8.4.3 B样条曲面定义：• 控制顶点、控制网格（特征网格）、B样条基函数• B样条曲面具有与B样条曲线相同的局部支柱性、凸包性、连续性、几何变换不变性等性质双三次B样条曲面8.5 有理样条曲线曲面 NURBS方法：非均匀有理B样条（Nonuniform Rational B-Spline）方法8.5.1 NURBS曲线曲面的定义定义：例：假定用定义在三个控制顶点和开放均匀的节点矢量上的二次（三阶）B样条函数来拟合，于是，T=(0,0,0,1,1,1)，取权函数为： 则有理B样条的表达式为：然后取不同的r值得到各种二次曲线： NURBS曲面可由下面的有理参数多项式函数表示： 8.5.2 有理基函数的性质NURBS曲线也可用有理基函数的形式表示：1．普遍性2．局部性3．凸包性4．可微性5．权因子8.5.3 NURBS曲线曲面的特点 8.6 曲线曲面的转换和计算8.6.1 样条曲线曲面的转换 例： 三次Hermite样条矩阵：三次Bezier样条矩阵：三次均匀B样条矩阵：8.6.2 样条曲线曲面的离散生成1．Horner规则2．向前差分计算3．细分The End!。