
数学物理方法课件:第四章留数定理及其应用.ppt
123页第四章第四章 留数定理及其应用留数定理及其应用§4·1 留数定理留数定理一、留数定义一、留数定义((1)设)设 f((z))在以孤立奇点在以孤立奇点 z0 为中心的环为中心的环域域 内解析,将内解析,将f((z))展成洛朗级展成洛朗级数:数:积分路径积分路径C是位于环域是位于环域内按逆时针方向绕内按逆时针方向绕z0点点一周的任一闭合曲线一周的任一闭合曲线称为称为f((z)在)在z0点的留数点的留数记记作:作:积分路径积分路径C是位于环域是位于环域内按顺时针方向绕内按顺时针方向绕z0点点一周的任一闭合曲线一周的任一闭合曲线记记作:作:((2)设)设 f((z))在无限远点在无限远点 邻域邻域内解析,将内解析,将f((z))展成洛朗级数:展成洛朗级数:称为称为f((z))在在 点的留数点的留数二、留数定理二、留数定理[定理定理] 设函数设函数f((z))在闭合回路在闭合回路l所围区域所围区域B上除有限个孤立奇点上除有限个孤立奇点b1,,b2,,···,,bn外解析;外解析;在闭区域在闭区域B上除上除b1,,b2,,···,,bn外外连续,则:连续,则:[证明证明]((1)若)若l只包围一个孤立奇点只包围一个孤立奇点z0::在在z0邻域将邻域将f((z))展成洛朗级数展成洛朗级数·z0在在R内作包围内作包围z0的小圆形回路的小圆形回路l0逐项积分:逐项积分:·z0((2)若)若l包围包围b1,,b2,,···,,bnn个孤立个孤立奇点奇点·b1·b2·b3·bn作作包围各孤立奇点的小圆形回包围各孤立奇点的小圆形回路路l1、、 l2 、、l3 、、···、、ln根据柯西定理根据柯西定理((3)对)对 点,若点,若f((z))在在 环域上解析环域上解析对对 环域中一个正向环域中一个正向(顺时针)回路(顺时针)回路l’,,另作一另作一个围绕个围绕 点半径点半径r很大的圆很大的圆形环路形环路C。
根据柯西定理:根据柯西定理:[推论推论] 函数函数f((z))在全平面上所有各点在全平面上所有各点 (有限远和无限远)的留数和为零有限远和无限远)的留数和为零三、留数的计算三、留数的计算 根据定义,设根据定义,设 f((z))在以孤在以孤立奇点立奇点 z0 为中心的环域为中心的环域 将将f((z))展成洛朗级数:展成洛朗级数:内解析,内解析,※对本性奇点一般只能用此法对本性奇点一般只能用此法2、极点留数的计算:、极点留数的计算: 设设 z0 是是f((z)的)的m阶极点阶极点1、一般方法:、一般方法:对单极点(对单极点(m=1):):对对m阶极点阶极点::[定理定理]设设 z0 是是f((z)的)的m阶极点,则阶极点,则[证明证明]z0 是是f((z)的)的m阶极点阶极点在在z=z0点解析,且点解析,且······[推论推论] 若若 ,其中,其中 和和z0点解析,且点解析,且都在都在则:则:[证明证明]z0是是f((z))的单极点的单极点3· 无限远点留数的计算无限远点留数的计算[例例1] 求求的极点及留数的极点及留数[解解]是是f((z))的单极点的单极点是是f((z))的三阶极点的三阶极点[例例2] 求求在在z0=1的留数的留数[解解1]是是f((z))的单极点的单极点[解解2][例例3] 求求的极点及其留数的极点及其留数[解解]是是f((z))的单极点的单极点[例例] 求求的极点及其留数的极点及其留数[解解]是是f((z))的单极点的单极点是是f((z))的三阶极点的三阶极点[例例5] 计算计算其中闭合回路其中闭合回路C::((1)圆周)圆周((2)圆周)圆周((n为正整数)为正整数)[解解]以以为单为单极点极点((1)在圆周)在圆周 内无奇点内无奇点((2)在圆周)在圆周内内有有2n个单极点个单极点[例例] 计算沿单位圆计算沿单位圆 的回路积分的回路积分[解解]令令解解得:得:z1,,z2 是是 f((z))的两个单极点的两个单极点z2在在回路外回路外z1在回路内在回路内[例例] 计算沿单位圆计算沿单位圆 的回路积分的回路积分[解解] z0=0是是f((z))的唯一奇点(本性奇点)的唯一奇点(本性奇点)[例例] 计算回路积分计算回路积分f((z))的奇点由的奇点由确定确定[解解]是三阶是三阶极点极点在积分回路在积分回路 内只有极点内只有极点§4·2 应用留数定理计算实变函数的定积分应用留数定理计算实变函数的定积分基本方法:基本方法:··容易求出或等于零容易求出或等于零类型一类型一特征:特征:被积函数是关于被积函数是关于的有理函数的有理函数积分区间积分区间方法:方法:作作变量代换变量代换一、一、[例例1] 计算计算[解解][例例2] 计算计算[解解]单极点单极点:类型二类型二特征:特征:在上在上半半平面除有限个奇点外解析。
平面除有限个奇点外解析1) 在实轴上无奇点在实轴上无奇点,(2) 在上半平面和实轴上在上半平面和实轴上解析延拓解析延拓若若为有理分式为有理分式则上述两条件即:则上述两条件即: (1) 无无实数根;实数根;关于关于x的次数至少高的次数至少高两两次2)二、二、方法:方法:解析延拓解析延拓考虑积分回路考虑积分回路当当(可以证明)(可以证明)[引理引理]设设f((z))在圆弧在圆弧CR::连续,且满足连续,且满足;则;则当当[证明证明]由长大不等式由长大不等式[例例1]计算计算[解解]f((z))有单极点:有单极点:[解解]f((z))有三阶极点:有三阶极点:[例例2]计算计算[解解]f((z)有)有n阶极点:阶极点:[例例3]计算计算[例例4]计算计算[解解]f((x))为偶函数为偶函数类型三类型三特征:特征:在上在上半半平面除有限个奇点外解析平面除有限个奇点外解析3) F((z)、)、 G((z))在实轴上无奇点在实轴上无奇点,三、三、(2)F((x))是偶函数,是偶函数,G((x))是奇函数是奇函数(1) 积分区间积分区间(4) 在上半平面和实轴上当在上半平面和实轴上当方法:方法:应用奇、偶函数性质作变换应用奇、偶函数性质作变换两两积分变为积分变为“类型二类型二”。
根据根据[约当引理约当引理],其,其条件可放宽为:当条件可放宽为:当时时,,则有:则有:[约当引理约当引理] ((p.60)设设m为正数,为正数,CR为以原点为圆心,为以原点为圆心,R为半径,为半径,位于上半平面的半圆周;若当位于上半平面的半圆周;若当z在上半平面或在上半平面或实轴上趋于实轴上趋于 时时考虑积分回路考虑积分回路当当(约当(约当引理引理))[例例1] 计算计算[解解]判断条件:判断条件:(1) 积分区间积分区间(2) 是偶函数是偶函数在上在上半半平面只有单极点平面只有单极点(3) F((z))在实轴上无奇点在实轴上无奇点,(4)[例例2] 计算计算[解解]判断条件:判断条件:(1) 积分区间积分区间(2) 是奇函数是奇函数(3) G((z))在实轴上无奇点在实轴上无奇点,在上在上半半平面只有二阶极点平面只有二阶极点(4)四、实轴上有单极点的情况四、实轴上有单极点的情况满足类型二满足类型二满足类型三满足类型三f((z)、)、F((z)、)、G((z))在实轴上有单极点在实轴上有单极点·a考虑积分回路(绕过奇点)考虑积分回路(绕过奇点)·a当当(留数(留数定理)定理)((约当引理)约当引理)[结果结果]若实轴上有有限个单极点若实轴上有有限个单极点[解解] [例例] 计算计算除在实轴上有单极点除在实轴上有单极点 z = 0 外,外,满足满足“类型三类型三”条件条件第五章第五章 傅里叶变换傅里叶变换§5·1 傅里叶级数傅里叶级数一、周期函数的傅里叶展开一、周期函数的傅里叶展开若若函数函数f((x))以以2l为周期为周期则:则:三角函数族:三角函数族:是正交的是正交的也是完备的也是完备的展开系数是用三角函数族的正交性求得展开系数是用三角函数族的正交性求得傅里叶傅里叶级数的收敛条件(狄里希利定理)级数的收敛条件(狄里希利定理)若若函数函数f((x))满足条件:(满足条件:(1)处处连续,)处处连续,或在每个周期(或在每个周期(-l,,l))中只有有限个第一中只有有限个第一类间断点;(类间断点;(2)在每个周期()在每个周期(-l,,l))中只中只有有限个极值点,则级数有有限个极值点,则级数收敛;且收敛;且级数和级数和(在(在连续点)连续点)(在(在间断点)间断点)[例例] 交流电压交流电压经半波整流后经半波整流后削去负压。
求半波整流电压的傅里叶级数削去负压求半波整流电压的傅里叶级数[解解]二、奇、偶函数的傅里叶展开二、奇、偶函数的傅里叶展开1·若周期函数若周期函数f((x))是奇函数是奇函数则:则:2·若周期函数若周期函数f((x))是偶函数是偶函数则:则:[例例] 将矩形波展为傅里叶级数将矩形波展为傅里叶级数[解解]奇奇函数函数[例例] 将三角波展为傅里叶级数将三角波展为傅里叶级数[解解]偶函数偶函数三、定义在有限区间上的函数的傅里叶展开三、定义在有限区间上的函数的傅里叶展开若若函数函数f((x))定义在有限区间(定义在有限区间(0,,l))内,内,可将可将f((x)延拓为)延拓为周期函数周期函数g((x),),令在令在区间(区间(0,,l))内有:内有: g((x))= f((x););对对g((x)作)作傅里叶级数展开,则傅里叶级数展开,则1· 无附加边界条件:无附加边界条件:或或延拓为奇函数延拓为奇函数2· f((x))满足边界条件:满足边界条件:3· f((x))满足边界条件:满足边界条件:延拓为偶函数延拓为偶函数[例例] 设函数设函数 f(x)=x 定义在区间定义在区间( 0,l )上上试将它展为傅里叶级数试将它展为傅里叶级数[解解] (1) 看作三角波的一段看作三角波的一段(2) 看锯齿波的一段看锯齿波的一段四、复数形式的傅里叶级数四、复数形式的傅里叶级数可以复指数函数作为基本函数族可以复指数函数作为基本函数族:将周期函数将周期函数f(x)展开为复数形式傅里叶级数展开为复数形式傅里叶级数※复指数函数族具有正交性复指数函数族具有正交性利用复指数函数族的正交性求展开系数利用复指数函数族的正交性求展开系数:※展开系数展开系数 [例例] 将矩形波展开为复数形式傅里叶级数将矩形波展开为复数形式傅里叶级数[解解]§5·2 傅里叶积分与傅里叶变换傅里叶积分与傅里叶变换周期函数周期函数 f(x) 可以展开为傅里叶级数可以展开为傅里叶级数非周期函数非周期函数 f(x) 可以展开为傅里叶积分可以展开为傅里叶积分一、实数形式的傅里叶变换一、实数形式的傅里叶变换时的极限时的极限;对对g(x)作傅里叶级数作傅里叶级数设设 f(x) 是定义在是定义在上的非周上的非周期函数,将期函数,将 f(x) 看成是周期函数看成是周期函数 g(x)在其在其周期周期展开展开:令令傅里叶积分傅里叶积分傅里叶变换傅里叶变换上上绝对可积绝对可积[傅里叶积分定理傅里叶积分定理]若函数若函数 f((x))在区间在区间 满足:满足:((1)狄里希利条件;()狄里希利条件;(2)) f((x))在区间在区间 则则 f((x)可)可表示成傅里叶积分。
表示成傅里叶积分二、奇、偶函数的傅里叶积分表示二、奇、偶函数的傅里叶积分表示1·奇函数的傅里叶积分表示奇函数的傅里叶积分表示设设且且2·偶函数的傅里叶积分表示偶函数的傅里叶积分表示设设且且[例例] 将矩形脉冲将矩形脉冲展为傅里叶展为傅里叶积分积分[解解]偶函数偶函数[例例] 将有限正弦波展为傅里叶积分将有限正弦波展为傅里叶积分[解解]奇函数奇函数三、复数形式的傅里叶变换三、复数形式的傅里叶变换写成写成对称形式:对称形式:f((x))=F 原函数原函数F(( ))=F 像函数像函数[例例] 求矩形脉冲求矩形脉冲复数形式傅复数形式傅里叶里叶积分积分[解解]四、傅里叶变换的基本性质四、傅里叶变换的基本性质1·导数定理导数定理F 2·积分定理积分定理F F 设设则则有:有:3·相似性定理相似性定理4·延迟定理延迟定理5·位移定理位移定理6·卷积定理卷积定理F F F F 卷积运算卷积运算五、三维傅里叶积分和傅里叶变换五、三维傅里叶积分和傅里叶变换若若 f(x) 是三维空间上的非周期函数,可将是三维空间上的非周期函数,可将其展为三维傅里叶积分其展为三维傅里叶积分其三维傅里叶变换为其三维傅里叶变换为§5·3 函数函数为了描述质点、点电荷、瞬时冲量的密度为了描述质点、点电荷、瞬时冲量的密度分布,引入广义函数分布,引入广义函数——函数函数一、一、函数的定义函数的定义[质点的质量密度质点的质量密度]质量质量m均匀分布段均匀分布段上上对对x = 0处质点处质点[点电荷的电荷密度点电荷的电荷密度]电荷电荷Q均匀分布段均匀分布段上上对对x = 0处点电荷处点电荷冲量冲量K均匀分布在时间均匀分布在时间内内[瞬时冲量的力瞬时冲量的力]对对t = 0时瞬时力时瞬时力函数函数 描述描述引入引入、、、、将自变量将自变量x平移至平移至x0,得得x0处处 函数函数位于位于x0处质量为处质量为m的质点的质量线密度的质点的质量线密度位于位于x0处电量为处电量为Q的的点电荷的电荷线密度点电荷的电荷线密度作用于作用于t0时刻冲量为时刻冲量为K的瞬时力的瞬时力二、二、函数的性质函数的性质1·函数的挑选性函数的挑选性2·函数是阶跃函数的导数函数是阶跃函数的导数阶跃函数阶跃函数3·函数的奇偶性函数的奇偶性4·5· 设设的实根的实根全为单全为单根根,则则:[例例]三、三、函数和某些函数的关系函数和某些函数的关系四、四、函数的傅里叶积分与傅里叶变换函数的傅里叶积分与傅里叶变换第六章第六章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换§6·1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、拉普拉斯变换的定义一、拉普拉斯变换的定义[定义定义] 设设 f(t)是定义在是定义在[0, )上的实上的实(或复或复) 函数,则由积分定义的复函数函数,则由积分定义的复函数称为函数称为函数 f(t) 的的拉普拉斯变换函数(像函数)拉普拉斯变换函数(像函数) f(t)称为原函数,该积分称为拉普拉斯变换。
称为原函数,该积分称为拉普拉斯变换记记作:作:L或:或:=··二、拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系二、拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系L令令则则F Lf((t))拉普拉斯变换等于拉普拉斯变换等于的傅里叶变换的傅里叶变换乘以乘以可以应用拉氏变换和傅氏变换的关系求拉氏变换可以应用拉氏变换和傅氏变换的关系求拉氏变换的逆变换:的逆变换:F LLg((t))=F 记作:记作:L 或:或:=··=··=··三、拉普拉斯变换存在的条件三、拉普拉斯变换存在的条件[定理定理] 拉普拉斯变换拉普拉斯变换((1)函数)函数 f((t)在)在实轴实轴 的任一有的任一有 限区间内逐段光滑即:限区间内逐段光滑即: f((t))及其及其 导数除有限个第一类间断点外,处处导数除有限个第一类间断点外,处处 连续存在的条件是:存在的条件是:((2)存在常数)存在常数M > 0 和和 ,使对任何,使对任何t 值值 ,有:,有:四、常见函数的拉普拉斯变换四、常见函数的拉普拉斯变换1·=··=··2·=··=··3·=··4·=··=··5·=··设设则则=··即:即:L同理同理=··五、拉普拉斯变换的基本性质五、拉普拉斯变换的基本性质1· 线性定理线性定理=··若若=··则则=··[例例]LLLLL2· 导数定理导数定理LLL若若=··则则=··=··=··3· 积分定理积分定理若若=··则则=··4· 相似性定理相似性定理若若=··则则=··6· 延迟定理延迟定理若若=··则则=··5· 位移定理位移定理若若=··则则=··7·卷积定理卷积定理若若则则=··=··=··卷积运算卷积运算§6·2 拉普拉斯变换的反演拉普拉斯变换的反演拉普拉斯变换:拉普拉斯变换:由原函数由原函数 f((t),),求像函数求像函数由像函数由像函数 ,求原函数,求原函数 f((t ))拉普拉斯变换的反演:拉普拉斯变换的反演:一、有理分式反演法一、有理分式反演法若像若像函数是有理分式,可将其分解成最简函数是有理分式,可将其分解成最简分项分式,然后用拉普拉斯变换基本公式分项分式,然后用拉普拉斯变换基本公式得到相应原函数。
得到相应原函数[例例] 求求的的原函数原函数[解解] ((1)将分母分解因式)将分母分解因式((2)将有理分式分解成几个最简分式的和)将有理分式分解成几个最简分式的和通分展开,比较分子系数求待定常数:通分展开,比较分子系数求待定常数:((3)找出每一项分式的原函数)找出每一项分式的原函数=··=··=··二、查表法二、查表法[例例] 求求的原函数的原函数[解解]查表得查表得=··=··由延迟定理由延迟定理=··[解解]查表得查表得=··由位移定理由位移定理[例例] 求求的原函数的原函数和和=··=··=··=··[解解]查表得查表得=··由延迟定理由延迟定理[例例] 求求的原函数的原函数=··=··由卷积定理由卷积定理=··=··[例例] 求求的原函数的原函数和和[解解]=··=··=······§6·3 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换的应用应用拉普拉斯变换求解微分、积分方程应用拉普拉斯变换求解微分、积分方程[步骤步骤]::((1)对方程并初始条件施行拉普拉斯变换,)对方程并初始条件施行拉普拉斯变换, 得到像函数满足的代数方程或降一阶得到像函数满足的代数方程或降一阶 后的微分方程。
后的微分方程2)从变换后的方程解出像函数从变换后的方程解出像函数3)对求出的像函数进行反演,原函数即)对求出的像函数进行反演,原函数即原方程的解原方程的解[例例] 求解常微分方程求解常微分方程[解解]=··=··=··=··=··[例例] 求解求解RL电路方程电路方程[解解]=··=··=··=··[解解]=··=··=··=··=··=··=··[例例] 求解互感电路中的电流方程求解互感电路中的电流方程??((1))((2))为求原函数,将其分解成分项分式令:为求原函数,将其分解成分项分式令:通分展开分子:通分展开分子:比较系数得:比较系数得:解解得:得:··=式式中:中:。












