弹性力学基础教学课件.pdf

弹性力学基础大连理工大学机械工程学院滕儒民mail:tengrumin@Call:0411-84709387 MP：13500706273第一篇 弹性力学n 第一章弹性力学基本方程1.1 绪论1.2 弹性力学的基本假定1.3 几个基本概念1.4 弹性力学基本方程n 第二章弹性力学平面问题2.1 平面应力问题2.2 平面应变问题2.3 平面问题的基本方程n 第三章弹性力学问题求解方法简述n 第一章弹性力学基本方程1.1 绪论1.2 弹性力学的基本假定1.3 几个基本概念1.4 弹性力学基本方程应力应变位移弹性体外界作用弹性力学基本内容外力温度变化n弹性力学，又称弹性理论n 是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备n弹性力学的研究对象：n 是完全弹性体，包括构件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛n研究的内容：n 外力作用下应力、应变、位移1.1 弹性力学绪论n物体变形——弹性变形、塑性变形n弹性变形：n 当外力撤去以后恢复到原始状态，没有变形残留，材料的应力和应变之间具有一一对应的关系。

与时间无关，也与变形历史无关n塑性变形：n 当外力撤去以后尚残留部分变形量，不能恢复到原始状态，——即存在永久变形应力和应变之间的关系不再一一对应，与时间、与加载历程有关n弹性：假定“完全弹性”关系，是抽象出来的理想模型n完全弹性是指在一定温度条件下，材料的应力和应变之间具有一一对应的关系n应力—应变关系称为本构关系n材料模型包括：n 线性弹性体n 非线性弹性体1.2 弹性力学的基本假定1. 连续性假设根据这一假设，物体的所有物理量，例如位移、应变和应力等均成为物体所占空间的连续函数2. 均匀性假设假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的，物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变在处理问题时，可以取出物体的任意一个小部分讨论3. 各向同性假设n 假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，物体的弹性常数不随坐标方向变化像木材、竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料，它们是复合材料力学研究的对象4. 完全弹性假设n 应力和应变之间存在一一对应关系，与时间及变形历史无关满足胡克定理5. 小变形假设n 在弹性体的平衡等问题讨论时，不考虑因变形所引起的几何尺寸变化，使用物体变形前的几何尺寸来替代变形后的尺寸。

采用这一假设，在基本方程中，略去位移、应变和应力分量的高阶小量，使基本方程成为线性的偏微分方程组1.3 几个基本概念1. 外力2. 一点的应力状态3. 一点的形变4. 位移分量n作用于物体的外力可以分为3种类型：体力、面力、集中力n体力——就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力例如物体的重力，惯性力，电磁力等等n面力——是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等n集中力——作用物体一点上的力在弹性力学中一般不用，而在有限元中经常出现）1 外力①体力物体任意一点P 所受体力的大小和方向，在P点区域取一微小体积元素△V，设△V 的体力合力为△F，则△V 的平均体力为当△V 趋近于0，则为P点的体力n 体力是矢量：一般情况下，物体每个点体力的大小和方向不同n体力分量：将体力沿三个坐标轴xyz 分解，用X、Y、Z表示，称为体力分量n符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位体积的力n体力的因次：[力]/[长度]^3n 表示：F={X Y Z}② 面力与体力相似，在物体表面上任意一点P 所受面力的大小和方向，在P点区域取微小面积元素△S ，当△S 趋近于0，则为P点的面力•面力分量•符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。

•面力的因次：[力]/[长度]^2 ③ 集中力体力与面力都是分布力，集中力则只是作用在一个点上，作用区域△V或△S很小，但数值很大，这种形式的力可以认为是集中力n 集中力分量：集中力直接将其沿三个坐标轴分解，用X0、Y0、Z0表示，即集中力力分量n 符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负n 体力的因次：[力]2 一点的应力状态n ①应力表示方法材料力学中接触过斜截面上的应力，斜截面上应力可以分成正应力、剪应力；复杂物体任意截面上的应力可分为1个与平面垂直的正应力、2个平面内剪应力X面Z面•正应力分量3个：xyzsss、、xyxzyxyzzxzytttttt、、、、•剪应力分量6个：正面负面X面Z面•②应力符号意义xyzsss、、xyt•剪应力：•正应力：由法线方向确定作用面作用方向•符号规定：正面上与坐标轴正向一致，为正；负面上与坐标轴负向一致，为正•③剪应力互等定理xyzxyyzzxsssttt、、、、、剪应力不再区分哪个是作用面或作用方向•应力分量：xyyxyzzyxzzxtttttt===相等{}xyzxyyzzxssssttt= 3 一点应变分量n ①微分单元体的变形：n 微分单元体棱边的伸长和缩短；正应变n 棱边之间夹角的变化；剪应变{}xyzxyyzzxeeeeggg= 正应变分量3个：剪应变分量3个：xyzeee、 、xyyzzxggg、、n②应变的定义（自学）设平行六面体单元，3个轴棱边：n 变形前为MA，MB，MC；n 变形后变为M'A'，M'B'，M'C'。

xyzeee、 、•③正应变（小变形）（自学）•符号规定：正应变以伸长为正•④剪应变（自学）•符号规定：正应变以伸长为正；剪应变以角度变小为正4 位移分量n 位移：由于载荷作用或者温度变化等外界因素等影响，物体内各点在空间的位置将发生变化，位置移动即产生位移n 位移——刚体位移、变形n 刚体位移——物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位置不变，由于物体整体在空间做刚体运动引起的位置改变n 变形——物体整体位置不变，弹性体在外力作用下发生形状的变化，而改变了物体内部各个点的相对位置，引起位移n 后者与弹性体的应力有着直接的关系——弹性力学研究的主要变形，通常叫位移u=x'（x，y，z）-x=u（x，y，z）v=y'（x，y，z）-y=v（x，y，z）w=z'（x，y，z）-z=w（x，y，z）根据连续性假设，弹性体在变形前和变形后仍保持为连续体弹性体中某点在变形过程中由M（x，y，z）移动至M’(x’，y’，z’)，这一过程也是连续的，为 x、y、z的单值连续函数{}ufvw= 形变和位移之间的关系：n位移确定→形变完全确定：从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变确定。

从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定n形变确定，位移不完全确定：从物理概念看，ε、γ确定，物体还可作刚体位移从数学推导看，ε、γ确定，求位移是积分运算，出现待定函数应力应变位移弹性力学各个量之间的关系平衡方程物理方程 几何方程外力n弹性力学分析过程中：n 通过静力平衡、几何变形和本构关系建立起外力、应力、应变、位移之间相互关联n 再必须根据已知物理量，（一般外力、结构几何形状和约束条件等），推导和确定基本未知量（应力、应变、位移)1.4 弹性力学基本方程1. 平衡方程（应力——外力之间的关系）2. 物理方程（应变——应力之间的关系）3. 几何方程（柯西方程）（应变——位移之间的关系）4、变形协调方程5、边界条件•如果物体表面的面力已知，则称为应力边界条件：第一类边界条件•如果物体表面的位移已知，则称为位移边界条件：第二类边界条件•混合边界条件= 第一类+第二类5、边界条件应力边界条件： 位移边界条件：( )()()cos,cos,cos,NxlNymNzn===外法线的方向余弦方程数量：平衡方程——3个物理方程——6个几何方程——6个合计 15xyzxyyzzxsssttt、、、、、未知量：应力分量——6个应变分量——6个位移分量——3个u、v、w合计 15xyzxyyzzxeeeglg、、、、、空间问题n 第二章弹性力学平面问题2.1 平面应力问题2.2 平面应变问题2.3 平面问题的基本方程2.1 平面应力问题1、平面应力问题的概念平面应力问题讨论的弹性体为薄板。

薄壁厚度远小于结构另外两个方向的尺度薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面O-xy面内，并沿厚度方向z不变而且薄板的两个表面不受外力作用平面应力问题n①几何特征n 薄壁厚度为h远小于结构另外两个方向的尺寸n 等厚度n 中心层平直n②受力特征n 外力平行于中心层n 外力沿厚度不变化根据薄板的表面面力边界条件，即表面不受外力作用，则由于板很薄，外力沿厚度均匀分布，因此应力分量也沿厚度均匀分布，应力分量不随z改变2、平面应力问题的应力n 应力分量n 应变分量xyxysst、、{}xyxyssst=ze ≠ 0xyxyeeg、、{}xyxyeeeg= 0yzzxlg==3、平面应力问题应力、应变1 平面应变问题的概念n 弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束n 可以认为柱体是无限长的如果从中任取一个横截面，则柱形物体的形状和所受载荷将对此横截面是对称的因此物体变形时，横截面上的各点只能在其自身平面内移动2.2 平面应变问题n几何特征n 一个尺寸远大于结构另外两个方向的尺寸n 中心轴平直n 沿中心轴截面不变化n受力特征n 外力垂直于中心轴n 外力沿中心轴长度方向不变化平面应变问题2、平面应变问题的位移n 沿纵向轴的位移恒等于零；n 由于无限长，所以任一个横截面都是一样的，与z轴无关。

n 只要是x、y坐标函数n 应力分量xyxysst、、{}xyxyssst= xyxyeeg、、{}xyxyeeeg=0zyzzxelg===•应变分量0zyzzxstt≠==0 3、平面应变问题的应力、应变2.3 平面问题的基本方程1.平衡方程（应力——外力之间的关系）2. 几何方程（应变——位移之间的关系）3. 物理方程（应变——应力之间的关系）•平面应力与平面应变问题的：平衡方程、几何方程相同但物理方程不同从空间问题推得n①平面应力的物理关系n ①平面应力的物理关系21 μ 0[] μ101 μ1 μ002ED= −−{ } [ ]{ }s e= Dn②平面应变的物理关系0zyzzxelg===n ②平面应变的物理关系{ } [ ]{ }s e= D 1 μ 0[] μ 10(1)(1-2)12002ED mmmm m−=−+−平面应变问题平面应力问题z向应力分量 s z =n (s x + s y ) s z＝0z向位移分量 w＝0 w≠0正应变分量二者主要不同在于z向应变，位移和正应力的计算公式n ③两种平面问题的区别n ④两种平面问题的内在关系平面应力 平面应变.1 ,1 2 mmmm −→−→ EE.1 ,)1( )21( 2 mmmm m +→++→ EE平面应力 平面应变平面应变 平面应力n 。