版高考数学大二轮复习4.2递推数列及数列求和的综合问题学案(理).docx

    版高考数学大二轮复习4.2递推数列及数列求和的综合问题学案(理)    第2讲 递推数列及数列求和的综合问题考点1 由递推关系式求通项公式(1)累加法：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，利用a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)，求其通项公式．(2)累积法：形如a n ＋1a n ＝f (n )≠0，利用a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1，求其通项公式． (3)待定系数法：形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q1－p，再转化为等比数列求解．(4)构造法：形如a n ＋1＝pa n ＋q n(其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先在原递推公式两边同除以qn ＋1，得a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q ，构造新数列{b n }?????其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q ，接下来用待定系数法求解．[例1] 根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式： (1)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1； (2)a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.【解析】 (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋(n －1)(2＋n )2＝n (n ＋1)2＋1.又a 1＝2＝1×(1＋1)2＋1，符合上式，因此a n ＝n (n ＋1)2＋1.(2)∵a n ＝n －1na n －1(n ≥2)， ∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1. 以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时，a 1＝1，上式也成立．∴a n ＝1n.(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2， ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3， ∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2， ∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.由数列递推式求通项公式的常用方法『对接训练』1．根据下列条件，确定数列{a n }的通项公式： (1)a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n； (2)a 1＝1，a n ＋1＝2na n ； (3)a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2. 解析：(1)a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.(2)∵a n ＋1a n＝2n，∴a 2a 1＝21，a 3a 2＝22，…，a n a n －1＝2n －1， 将这n －1个等式叠乘，得a n a 1＝21＋2＋…＋(n －1)＝2+12n n ()，∴a n ＝2-12n n ().(3)∵a n ＋1＝2a na n ＋2， 取倒数得：1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝1a n ＋12， ∴1a n ＋1－1a n ＝12， ∵a 1＝1，∴1a 1＝1，∴??????1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列，∴1a n ＝1＋(n －1)·12＝n ＋12， ∴a n ＝2n ＋1.考点2 错位相减法求和错位相减法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列．[例2] [2019·天津卷]设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0.已知a 1＝b 1＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3.(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }满足c n ＝?????1，n 为奇数，b n2，n 为偶数.求a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *)．【解析】 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .依题意，得?????3q ＝3＋2d ，3q 2＝15＋4d ，解得?????d ＝3，q ＝3，或?????d ＝－3，q ＝－1，(舍)故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3×3n －1＝3n.所以{a n }的通项公式为a n ＝3n ，{b n }的通项公式为b n ＝3n. (2)a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2b 1＋a 4b 2＋a 6b 3＋…＋a 2n b n ) ＝??????n ×3＋n (n －1)2×6＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n ×3n )＝3n 2＋6(1×31＋2×32＋…＋n ×3n)． 记T n ＝1×31＋2×32＋…＋n ×3n，① 则3T n ＝1×32＋2×33＋…＋n ×3n ＋1，②②－①得，2T n ＝－3－32－33－ (3)＋n ×3n ＋1＝－3(1－3n)1－3＋n ×3n ＋1＝(2n －1)3n ＋1＋32.所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝3n 2＋6T n ＝3n 2＋3×(2n －1)3n ＋1＋32＝(2n －1)3n ＋2＋6n 2＋92(n ∈N *).所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1,2进行验证.『对接训练』2．[2019·山东青岛一模]已知公比为q 的等比数列{a n }满足2a 1＋a 3＝3a 2，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(1)求q 的值；(2)若b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，依题意，有?????2a 1＋a 3＝3a 2，a 2＋a 4＝2(a 3＋2)，即?????a 1(2＋q 2)＝3a 1q ①，a 1(q ＋q 3)＝2a 1q 2＋4 ②，由①得q 2－3q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝1. 代入②知q ＝1不成立，故舍去，所以q ＝2. (2)由(1)知a 1＝2，所以a n ＝2n，b n ＝a n log 2a n ＝2n log 22n ＝n ·2n ，所以S n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n，所以2S n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，两式相减得－S n ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2，所以S n ＝(n －1)2n ＋1＋2.考点3 裂项相消法求和裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于??????1a n a n ＋1或??????1a n a n ＋2(其中{a n }为等差数列)等形式的数列求和．[例3] [2019·湖南省湘东六校联考]已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，且a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)记b n ＝1a n ·a n ＋1，T n 为{b n }的前n 项和，求使T n ≥2n成立的n 的最小值．【解析】 (1)由已知有S n －S n －1＝1(n ≥2，n ∈N *)，∴数列{S n }为等差数列，又S 1＝a 1＝1，∴S n ＝n ，即S n ＝n 2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又a 1＝1也满足上式，∴a n ＝2n －1.(2)由(1)知，b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12? ????12n －1－12n ＋1，∴T n ＝12? ????1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12? ????1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 由T n ≥2n得n 2≥4n ＋2，即(n －2)2≥6，∴n ≥5，∴n 的最小值为5.利用裂项相消法求和的注意事项(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项； (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ? ????1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ? ????1a n －1a n ＋2.『对接训练』3．[2019·安徽池州期末]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＝23S n ＋13(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1log 3a n ＋1＋log 3a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)由a n ＝23S n ＋13，可得S n ＝32a n －12，当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－12，则a n ＝S n －S n －1＝? ????32a n －12－? ????32a n －1－12＝32a n －32a n －1，整理得a n ＝3a n －1(n ≥2)，而a 1＝S 1＝32a 1－12，即a 1＝1， 所以数列{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，则a n ＝1×3n －1＝3n －1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)得b n ＝1log 3a n ＋1＋log 3a n ＋2＝1log 33n －1＋1＋log 33n －1＋2＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1.考点4 分组转化求和分组求和法一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分即能分别求和，然后再合并．[例4] [2019·天津南开附中期中]已知数列{a n }是等比数列，满足a 1＝3，a 4＝24，数列{b n }是等差数列，满足b 2＝4，b 4＝a 3.(1)求数列{a n 。