马尔可夫链讲.ppt

定义定义 对于状态对于状态i，若正整数集合，若正整数集合 非空，非空，则称该集合的最大公约数则称该集合的最大公约数L为状态为状态i的周期，记作的周期，记作 若 ，则称状态，则称状态i是周期的，若是周期的，若 ，则称状态，则称状态i是非周期的是非周期的如果上述集合为空集，则约定如果上述集合为空集，则约定一、马氏链中的状态性质一、马氏链中的状态性质1.周期性周期性2.常返性常返性 为为 自状态自状态i i出发经过出发经过n n步首次进入状态步首次进入状态j j的概率 定义定义 设设 为一马氏链，对任一状态为一马氏链，对任一状态i i与与j j，称，称 从而计算公式计算公式显然有显然有 定义定义 设设 为一马氏链，对任一状态为一马氏链，对任一状态i i与与j j，称，称经有限步（迟早）到达状态经有限步（迟早）到达状态j j的概率。

的概率 为为自状态自状态i出发出发定义定义 如果如果 ，则称状态，则称状态i i是常返的如果是常返的如果 ，则称状，则称状态态i i是非常返的（或称为瞬时的）如果马尔可夫链的任一状是非常返的（或称为瞬时的）如果马尔可夫链的任一状态都是常返的，则称此链为常返马尔可夫链态都是常返的，则称此链为常返马尔可夫链定义定义 设设i是一常返态，则从是一常返态，则从i出发可经过出发可经过n 步首次返步首次返回回i，， 在在 的条件下的条件下 的分布列为的分布列为12…nP………由数学期望的定义，可得由数学期望的定义，可得 称称 为状状态i的平均返回时间的平均返回时间 定义定义 设设i是常返态，如果是常返态，如果 ，则称状态，则称状态i是正常返态；是正常返态； 如果如果 ,则称状态则称状态i是零常返态是零常返态 如果状态如果状态i是非周期且正常返的，则称状态是非周期且正常返的，则称状态i是遍历的。

是遍历的定理定理 对任何状态，有 证明：因为 定理定理 状态状态i是是常返（常返（ ）的充要条件为）的充要条件为系：系：如果状态如果状态i是非常返的充要条件是是非常返的充要条件是系：系：如果如果i是常返态，则是常返态，则（（1））i零常返当且仅当零常返当且仅当（（2））i遍遍历当且当且仅当当定理：定理： 设设i为常返状态，为常返状态， 有周期有周期 ,则则此时有此时有马氏状态分类图马氏状态分类图 状态分类判别法：状态分类判别法： （（1）） i非常返非常返（（2））i零常返零常返且且（（4））i遍历遍历 且（（3））i正常返正常返二、马氏链中的状态关系二、马氏链中的状态关系定定义 （可达）：（可达）：如果如果对于状于状态 i和和 j,总存在某个总存在某个 ，，使得使得 ，则称自，则称自i状态经过状态经过n步步可可以到以到达达j状态，状态，并记为并记为反之，若反之，若对所有的所有的 有有 ，则自，则自i状态不可以到状态不可以到达达j状态，并记为状态，并记为可达具有传递性，即若 , ,则证明 : 由 知，存在 使得再由C-K方程可知，因此1.可达与互通可达与互通 例例 设一两状一两状态 马氏链具有以下转移概率矩阵马氏链具有以下转移概率矩阵 解：要讨论这一马氏链两个状态的可达性，可先求出它的 n步转移概率矩阵。

由于对于所有的n, ，故状态“1”不能到达状态“0”；而存在n使得故状态“0”可以到达状态“1”讨论其状态的可达特性讨论其状态的可达特性注：此题画状态转移图更直观定义定义 （互通）：（互通）：若自状态i可达状态j，同时自状态j也可达状态i，则称状态和状态互通，记为 互通是一种等价关系，即满足： （1）若 ，则 ,自返性（2）若 ，则 ，对称性（3）若 ， ，则 ，传递性我们把任何两个互通的状态归为一类然后定义：定义定义 若Markov链只存在一个类，就称它是不可约的； 否则称为可约的例例 无限制的随机游走问题考虑一个质点在直线上作随机游走．如果在某一时刻质点位于i,则下一步质点将以概率 向前游走一步到达i+1处，或以概率 向后游走一步到达i-1处现规定，这一质点只能“向前”或“向后”游走一步，并且经过一个单位时间它必须“向前”或“向后”游走讨论其状态的互通性。

解：如果以 表示n时刻质点的位置，则 是一个随机过程而且，当 时， 等在时刻n后质点所处的状态仅与 有关，而与质点在时刻n以前是如何到达i的无关．故它是一个齐次马尔可夫链状态空间 ，一步转移概率为从而一步转移概率矩阵为 下面求n步转移概率 如在n次转移的结果是从i到j,n次转移中恰好向前游走m次，向后游走k次，则有 联立上两式求解可得 根据概率法则，不难求得n步转移概率为 其中 时， 反映了在n，i，j之间存在的一种约束关系由于对于满足要求的n，i，j， ，所以无限制的随机游走中的各个状态是互通的 引理1 对任意i和j，若 ，则存在正数 、及正整数l、m，使对任一正整数n，有 、定理定理 若 ，则（1）i与j同为常返或同为非常返；（2）若i与j常返，则i与j同为正常返或同为零常返；（3）i与j或同为非周期的，或同为周期的且有相同的周期。

定理定理的充要条件是证明：充分性：若 ，则根据到达的定义，总存在某个 ，使所以这样 ，至少有一个为正（不为0），所以必要性：若，则由至少有一个使，故 表示自状态i出发，在有限步内迟早要返回状态i的概率， 是在0与1之间的一个数三、状态空间分解三、状态空间分解 定义定义 设 ，若从V中任一状态出发不能到达V外的任一状态，则称V为闭集显然，对一切 和 有 若V中仅含有单个状态，则此闭集称为吸收态它构成了一个较小的闭集而整个空间构成一个较大的闭集除了整个状态空间外，没有别的闭集的马尔可夫链称为不可约的马尔可夫链此时整个空间的所有状态皆是相通的闭集内任一状态，不论转移多少步，都不能转移到闭集之外的状态上去，即随着时间的推移，闭集内任一状态只能在闭集内部的状态之间转移 定理定理 马尔可夫链的所有常返状态构成的集合是一闭集有限状态分解定理有限状态分解定理定理（分解定理）定理（分解定理）状态空间E必可分解为 其中N是全体非常返态组成的集合， 是互不相交的常返态闭集组成。

而且 （1）对每一确定的k, 内任意两状态相通；（2） 与 ( )中的状态之间不相通；例例 设齐次马氏链 的状态空间 ， 其一步转移概率矩阵如下，试对该空间进行分解解：根据一步转移概率矩阵，可画出如图所示的状态转移图 由图可知， ，而当 时， ，所以 ， 可见状态1为正常返，且周期 含有状态1的常返闭集为 同理，因为 ， ，在 时， ，所以可见状态6为正常返，且是非周期的含有状态6的常返闭集为 状态2，6为遍历状态. 由于 ，在 时， ，所以 可见状态4为非常返。