新教材2022学年湘教版数学必修第一册学案-3.2.1第二课时函数的最大（小）值.doc

第二课时 函数的最大(小)值 科考队对“早穿棉袄午穿纱， 围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查， 如图是某天气温随时间的变化曲线 问题 (1)该天的最高气温和最低气温分别是多少？ (2)设该天某时刻的气温为 f(x)，则 f(x)在哪个范围内变化？ (3)从函数图象上看，气温的最大值(最小值)在什么时刻取得？ 知识点 函数的最大值与最小值 前提条件：设 D 是函数 f(x)的定义域 (1)最大值：如果有 aD，使得不等式 f(x)f(a)对一切 xD 成立，就说 f(x)在 xa 处取到最大值 Mf(a)，称 M 为 f(x)的最大值，a 为 f(x)的最大值点 (2)最小值：如果有 bD，使得不等式 f(x)f(b)对一切 xD 成立，就说 f(x)在 xb 处取到最小值 mf(b)，称 m 为 f(x)的最小值，b 为 f(x)的最小值点 最大值和最小值统称为最值 对函数最大值(最小值)定义的再理解 (1)M(m)首先是一个函数值，它是值域中的一个元素； (2)最大(小)值定义中的“对一切 xD 成立”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有 f(x)M(f(x)m)成立 1判断正误(正确的画“”，错误的画“”) (1)任何函数都有最大(小)值( ) (2)函数 f(x)在a，b上的最值一定是 f(a)或 f(b)( ) (3)函数的最大值一定比最小值大( ) 答案：(1) (2) (3) 2函数 yf(x)在2，2上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是_，_ 答案：1 2 3函数 f(x)2x，x2，4，则 f(x)的最大值为_，最小值为_ 答案：1 12 图象法求函数的最值 例 1 已知函数 f(x)x2，1x1，1x，x1.求 f(x)的最大值、最小值 解 作出函数 f(x)的图象(如图)由图象可知，当 x 1 时，f(x)取最大值为 f(1)f(1)1. 当 x0 时，f(x)取最小值为 f(0)0， 故 f(x)的最大值为 1，最小值为 0. 用图象法求最值的 3 个步骤 跟踪训练 已知函数 f(x)1x，0 x1，x，1x2. (1)画出 f(x)的图象； (2)利用图象写出该函数的最大值和最小值 解：(1)函数 f(x)的图象如图所示 (2)由图象可知 f(x)的最小值为 f(1)1，无最大值. 单调性法求最值 例 2 (链接教科书第 80 页例 2)已知函数 f(x)2x3x1. (1)判断函数 f(x)在区间0，)上的单调性，并用定义证明； (2)求函数 f(x)在区间2，9上的最大值与最小值 解 (1)f(x)在区间0，)上单调递增 证明：设 x1，x2是区间0，)上任意两个实数，且 x1x2， 则 f(x1) f(x2) 2x13x112x23x21（2x13）（x21）（x11）（x21）（2x23）（x11）（x11）（x21）5（x1x2）（x11）（x21）. 因为 x1x20， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)0 成立，且f(3)1，f(1)2，则 f(x)在3，1上的最大值是_ 解析：由题意可知函数 f(x)在 R R 上为增函数，则其在3，1上的最大值应为 f(1)2. 答案：2 2已知函数 f(x)x1x2，x3，5 (1)判断函数 f(x)的单调性并证明； (2)求函数 f(x)的最大值和最小值 解：(1)f(x)是增函数，证明如下： 设 x1和 x2是区间3，5上任意两个实数，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2)x11x12x21x223（x1x2）（x12）（x22）， 因为 3x10 恒成立，试求实数 a 的取值范围 解 (1)当 a12时，f(x)x22x12xx12x2.设 x1和 x2是区间1，)上任意两个实数，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2)(x1x2)112x1x20， 所以 f(x1)0 在1，)上恒成立， 即 x22xa0 在1，)上恒成立 记 yx22xa，x1，)， 由 y(x1)2a1 在1，)上为增函数， 知当 x1 时，y 取得最小值 3a. 所以当 3a0 即 a3 时，f(x)0 恒成立 于是实数 a 的取值范围为(3，) 法二：依题意 f(x)x22xax0 在1，)上恒成立，即 x22xa0 在1，)上恒成立 所以 ax22x 在1，)上恒成立 令 g(x)x22x，x1，)， 因为 g(x)x22x 在1，)上为减函数， 所以 g(x)maxg(1)123， 所以 a3， 故实数 a 的取值范围为(3，) 分离参数法解决恒成立问题 在求参数 a 的取值范围时， 可将参数 a 单独分离出来求解： 若对区间 I 上的任意 x， af(x)恒成立，则 af(x)max；若对于区间 I 上的任意 x，af(x)恒成立，则 af(x)成立，则 af(x)min；若在区间 I 上存在 x 使 af(x)成立，则 af(x)max，其他(如af(x)等)情形类似可得相应结论 跟踪训练 设函数 f(x)x1x，x1，)，则使 f(mx)mf(x)0，由函数 f(x)的单调性可知 f(mx)和 mf(x)均为增函数，此时不符合题意若 m0，则 f(mx)mf(x)0 可化为 mx 1mxmxmx0，所以 2mxm1m1x0，即 11m22x2.因为 y2x2在 x1，)上的最小值为 2，所以 11m21，得 m1. 答案：(，1) 1二次函数 yax24xa 的最大值是 3，则 a( ) A1 B1 C2 D12 解析：选 A 二次函数 yax24xa 的最大值是 3，则a0，4a2164a3，解得 a1. 2若函数 f(x)1x在区间1，a上的最小值为14，则 a_ 解析：f(x)1x在区间1，a上单调递减， 函数 f(x)的最小值为 f(a)1a14，a4. 答案：4 3函数 f(x)kx2x3k1，若对于任意 x4，1，不等式 f(x)0 恒成立，则实数 k 的取值范围是_ 解析：f(x)kx2x3k1(k2)x3k1.由对于任意 x4，1，不等式 f(x)0恒成立，可得4k83k10，k23k10，解得9k14.所以 k 的取值范围是9，14. 答案：9，14 。