高三数学专题02解析几何综合题解题思路案例分析.docx
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解析几何综合题解题思路案例分析北京中国人民大学附中梁丽平陕西省咸阳市永寿中学安振平解析几何综合题是高考命题的热点内容之一.这类试题往往以解析几何知识为载体,合函数、不等式、三角、数列等知识，所涉及到的知识点较多，对解题能力考查的层次要求 较高，考生在解答时，常常表现为无从下手，或者半途而废据此笔者认为：解决这一类问 题的关键在于：通观全局，局部入手，整体思维.即在掌握通性通法的同时，不应只形成一个一个的解题套路，解题时不加分析，跟着感觉走，做到那儿算那儿.而应当从宏观上去把握，从微观上去突破，在审题和解题思路的整体设计上下功夫，不断克服解题征途中的道道运算又t关.1 判别式----解题时时显神功2案例1 已知双曲线C :—22•x— = 1 ,直线l过点A（V2,0）,斜率为k ,当0 < k < 1时,2双曲线的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为22，试求k的值及此时点B的坐标分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点 B 作与l平行的直线，必与双曲线C相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式 0=0. 由此出发，可设计如下解题思路：解题过程略.分析2:如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线l的距离为22 \相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路:问题关于x的方程=72 (0
其实, 应该想到轨迹问题可以通过参数法求解 .因此，首先是选定参数，然后想方设法将点 Q的横、 纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的^由于点Q(x, y)的变化是由直线 AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率k作为参 数，如何将x,y与k联系起来？ 一方面利用点 Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件:AP AQ4(xA xB) — 2xAxB—二7来转化.由A B P、Q四点共线，不难得到 x=-PB QB8-(xa xb)立X与k的关系，只需将直线 AB的方程代入椭圆 C的方程，利用韦达定理即可已经做通过这样的分析， 可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题, 到心中有数.V,利用韦达定理y = k (x 4)+1,消去参数k在得到x= f(k)之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到y 1关于x, y的万程(不含k),则可由y = k(x -4) +1解得k = 丫 ，直接代入x = f (k )即 x - 4可得到轨迹方程从而简化消去参的过程简解：设 A(xi, Vi )B(x2, V2),Q(x, y),则由 空=—"AQ可得： --x1 = --土，PB QB x2 - 4 x2 - x解之得：x = 4(xi+x2)-2xix2(1)8 -(xi x?)设直线AB的方程为：y = k(x-4)+1,代入椭圆C的方程，消去y得出关于x的一 元二次方程：(2k2 +1 x2 +4k(1-4k)x+2(1 -4k)2 -8 = 0(2)Xi +X2X1X2 =4k(4k -1) 2 ，2k2 12(1 -4k)2 -82k2 1代入（1）,化简得:4k 3 x =k 2与 y =k(x—4)+1 联立，消去 k得：(2x+y —4(x—4) = 0.2 - , 10210在（2）中，由△ = 一64k +64k +24 > 0 ,解得< k <,结合（3）4416 -2 J016 2.10可求得：二x :二.99故知点 Q的轨迹方程为：2x + y—4 = 0 （ 16 ~2x；10 < x<16+2v10 ）. 99点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、 韦达定理模块思维易于想到 .这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道^3 求根公式-----呼之欲出亦显灵x2 y2AP案例3 设直线l过点P （0, 3）,和椭圆——十==1顺次交于A、B两点，试求——的94PB取值范围. AP x 八分析：本题中，绝大多数同学不难得到：——二—',但从此后却一筹莫展，问题的PB xB根源在于对题目的整体把握不够 .事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所 求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程） ，这只需利用对应的思想实施； 其二则是构造关于所求量的一个不等关系 .……… 、一 AP x分析1：从第一条想法入手， =-——已经是一个关系式，但由于有两个变量PBxBxa,xb,同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量一一直线 AB的斜率k.问题就转化为如何将 xa,xb转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于x的一元二次方程，其求根公式呼之欲出. AP简解1:当直线l垂直于x轴时，可求得 PB当l与x轴不垂直时，设 A(x1,y1 )B(x2, y2),直线l的方程为：y = kx + 3 ,代入椭 圆方程，消去y得9k2 4 x2 54kx 45 = 0解之得xi,2-27k _6 9k2 -529k2 4因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑 k>0的情形.当k >0时,xi-27k 6 9k2 -59k2 4-27k-6 9k2 -59k2 4所以APPB% -9k 2,9k2 -5 彳 18k 彳 18—= =1 =1 x2 9k 2 9k2 -5 9k 2 9k2 -5 9 2 9- 5k2由△ = (—54k)2 —180(9k2 +4)之 0,解得 k2 >-, 9181所以 -1 £1 • 8<929-55kAP 1综上 一1MAPM--.PB 5分析2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定k的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原一，一 AP x因在于 ——不是关于Xi,X2的对称关系式.原因找到后，解决问题的方法自然也就有PB x2了，即我们可以构造关于 Xi,X2的对称关系式.简解2：设直线l的方程为：y = kx +3 ,代入椭圆方程，消去 y得9k2 4 x2 54kx 45 = 0(*)x1 ”2xix2 =-54k一 ~29k 4452.9k2 42人 xi1324k令 一 =h,则，九+ —+2=.x2■45k2 20在(*)中，由判别式△之0,可得k2之5,92324 k2.. 36从而有 4 士2 W —,45k2 205一136所以4
望长城内外，惟余莽莽；大河上下，顿失滔滔山舞银蛇，原驰蜡象，欲与天公试比高须晴日，看红装素裹，分外妖娆江山如此多娇，引无数英雄竞折腰惜秦皇汉武，略输文采；唐宗宋祖，稍逊风骚一代天骄，成吉思汗，只识弯弓射大雕俱往矣，数风流人物，还看今朝。
