欧几里得空间2.ppt

1,一、正交向量组,二、标准正交基,,,,,三、正交矩阵,§2 标准正交基,2,设Ｖ为欧氏空间，非零向量,① 若 则 是正交向量组.,② 正交向量组必是线性无关向量组.,一、正交向量组,定义：,如果它们两两正交，则称之为正交向量组.,注：,3,证：设非零向量 两两正交.,令,则,由 知,故 线性无关.,4,④ 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数,③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组．,但 不是正交向量组.,5,维欧氏空间中，由 个向量构成的正交向量组,称为正交基；,1. 标准正交基的定义,由单位向量构成的正交基称为标准正交基.,注：,① 由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准,正交基.,二、标准正交基,6,② 维欧氏空间V中的一组基 为标准正交基,③ 维欧氏空间V中的一组基 为标准正交基,当且仅当其度量矩阵,④ 维欧氏空间V中标准正交基的作用:,设 为V的一组标准正交基，则,7,(i) 设,由(1) ，,这里,(iii),8,,(定理1) 维欧氏空间中任一个正交向量组都能,扩充成一组正交基.,证：设 欧氏空间Ｖ中的正交向量组，,对 作数学归纳法．,当 时,,3. 标准正交基的构造─施密特(Schmidt)正交化过程,就是一组正交基了.,1）,9,使,假设 时结论成立，即此时可找到向量,成为一组正交基.,现在来看 的情形.,所以必有向量 不能被 线性表出，,因为,作向量,待定．,10,从正交向量组的性质知,于是取,即 为正交向量组．,由归纳法假设知，对这 个向量构成的正交组,可得,可扩充得正交基.,于是定理得证．,11,,2）,都可找到一组标准正交基 使,证：,基本方法─逐个构成出满足要求的,(定理2) 对于 维欧氏空间中任一组基,首先，可取,12,一般地，假定已求出 是单位正交的 ，且,(4),当 时，因为有,由(4)知 不能被 线性表出．,按定理1证明中的方法，作向量,13,再设,可知 是单位正交向量组．,从(4)和(5)知 与,是等价向量组，,因此，有,由归纳原理，定理2得证.,则 且,14,则过渡矩阵 是上三角形（即 ）,注：,且,① 由,知，若,15,② Schmidt正交化过程:,化成正交向量组,先把线性无关的向量组,再单位化得标准正交向量组,16,例1. 把,变成单位正交的向量组.,解：令,正交化,17,再单位化,即为所求．,18,设 与 是 维欧氏空间V中的,两组标准正交基，它们之间过渡矩阵是,即,,4. 标准正交基间的基变换,或,由于 是标准正交基，所以,（6）,19,由公式（6），有,（7）,把A按列分块为,由（7）有,（8）,20,则称A为正交矩阵.,2）由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交,矩阵.,三、正交矩阵,1．定义,2．简单性质,1）A为正交矩阵,21,3）设 是标准正交基，A为正交矩阵，若,则 也是标准正交基.,4） 为正交矩阵,6） 为正交矩阵,。