电磁场与电磁波理论(第二版)(徐立勤,曹伟)第3章习题解答.doc

1第第 3 3 章习题解答章习题解答3.13.1 对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度：对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度：(1)(1)；； (2)(2)；；2, ,x y zAxBxC, ,x y zAxyz(3)(3)；； (4)(4)2, ,sinzAB z  2, ,sincosrAr 解：解：已知空间的电位分布，由和可以分别计算出电场强度和体电荷密度E 2 0/  (1) 2xEeAxB   02 02A(2) xyzEA e yze xze xy  02 0(3) (2sin)coszEeABze Ae B  2 0004 sinsin3 sinBzBzAAA   (4) 2sincoscoscossinrEeAre Are Ar  2 00cos2 coscos6 sincossinsinAAA  3.53.5 如题如题 3.53.5 图所示上下不对称的鼓形封闭曲面，其上均匀分布着密度为图所示上下不对称的鼓形封闭曲面，其上均匀分布着密度为的面电的面电0S荷。

试求球心处的电位试求球心处的电位解：解：上顶面在球心产生的电位为2200 11111 00()()22SSdRdRd下顶面在球心产生的电位为2200 22222 00()()22SSdRdRd侧面在球心产生的电位为 00 3 001 4π4πSSSS RR式中因此球心总电位为 2 12124π2π ()2π ()2π ()SRR RdR RdR dd0 123 0SR3.63.6 有有和和的两种介质分别分布在的两种介质分别分布在和和的半无限大空间已知的半无限大空间已知时，时，02050z 0z 0z 试求时的时的201050xyzEeeeV/m0z D解：解：由电场切向分量连续的边界条件可得1t2tEE000520510xyzDD 代入电场法向方向分量满足的边界条件可得1n2nDD050zzD于是有0001005050xyzzDeee3.93.9 如题如题 3.93.9 图所示，有一厚度为图所示，有一厚度为的无限大平面层，其中充满了密度为的无限大平面层，其中充满了密度为2d的体电荷。

若选择坐标原点为零电位参考点，试求平面层的体电荷若选择坐标原点为零电位参考点，试求平面层 0πcosxxd之内以及平面层以外各区域的电位和电场强度之内以及平面层以外各区域的电位和电场强度2解：解：由对称性可知，即设各区域中的电位和电场强度分别0yz2222 2 2222d dxyzx为，，和，，由电位所满足的微分方程1231E2E3E2 01 2dπcosdx xd  2 2 2d0dx2 3 2d0dx解得01 1dπsindπdxCxd  2 2d dCx3 3d dCx2 0 1112πcosπdxC xDd222C xD333C xD由于理想介质分界面没有面电荷，所以边界条件为时 dx 1212 0dd ddxx时 dx1331 0dd ddxx又根据对称性可知，在的平面上，电场强度是为零的，即时，。

最后再选择零电位参考点0x0x1d0dx使得时，联立解得0x 1000321CCC2 0 12πdD  2 0 2322 πdDD  只要利用就可以得到d dxEex   时， dx2 0 322 πd 3 3d0dxEex 时 dxd22 00 122πcosππdxd d01 1dπsindπxxdxEeexd  时， dx 2 0 222 πd 2 2d0dxEex  选择不同的零电位参考点，得到的电位不同，但电场强度仍是相同的 根据对称性只需求出的解，即和0x1233.103.10 位于位于和和处的两个无限大导电平面间充满了处的两个无限大导电平面间充满了的体电荷若将的体电荷若将处的导电平处的导电平0x xd01x d0x 板接地，而将板接地，而将处的导电平板加上电压处的导电平板加上电压。

试求板间的电位分布及电场强度为零的位置试求板间的电位分布及电场强度为零的位置xd0U解：解：由于无限大导体极板之间电荷分布是只与有关，忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与有关，且满xx足一维泊松方程32 0 2 0d(1)dx xd  其通解为3200 12 00( )62xxxC xCd 由 而由 (0)002C0( )dU 000 132 d dUC因此板间电位分布为3200000002( )623Udxxxxdd 板间电场强度为200000002()23xUdEexxdd 从该式可以求出电场强度为零的位置为2 00000 22 0000000000024()232241()23Ud ddUdbbacxddadd d      由于我们是讨论极板内电场强度，因此零点位置为)32(21 00000  d dU dddx3.113.11 如题如题 3.113.11 图所示的平板电容器中，分别以两种不同的方式填充两种不同的介质图所示的平板电容器中，分别以两种不同的方式填充两种不同的介质和和。

当两极板之间外当两极板之间外12加电压加电压时，试求电容器中电位和电场的分布以及电容器的电容时，试求电容器中电位和电场的分布以及电容器的电容0U解：对于图解：对于图 a a：：忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与有关，均满足一维拉普拉斯方程且由介质分界面x的边界条件可知，两种介质中的电位分布是相同的，其通解为 CxD根据已知条件和，解得00x02xdU和，即平板电容器中的电位分布为0D 0 2UCd0 2Uxd根据，可以得到平板电容器中的电场分布E 为0d d2xxUEeexd   对平板上，面电荷密度分别为0xnxee0 1nn 0 222SUySdeDeEUySd   上下总电量为 00 12120222UUSQSSUddd  电容器的电容为412 02QSCUd对于图对于图 b b：：忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与有关，均满足一维拉普拉斯方程两种介质中的电x位分布的通解可以分别设为和 111C xD222C xD根据已知条件和，以及分界面处的边界条件和100x202xdU12x dx d可以解得12x dx dxx和 20 1 12Ux d20 20 12UxdUd根据，可以得到平板电容器中两种介质中的电场分布为E 和 012 11 12d dxxUEeexd   021 22 12d dxxUEeexd   对平板上，面电荷密度为0xnxee012 nn1 12SxUeDeEed  总电量为 12 0 1222SSQSUd  电容器的电容为 120122QSCUd  3.123.12 已知在半径为已知在半径为的无限长圆柱形体内均匀分布着电荷密度为的无限长圆柱形体内均匀分布着电荷密度为的体电荷。

圆柱体内外的介电常数分别为的体电荷圆柱体内外的介电常数分别为a0和和若取圆柱体的表面为零电位的参考面，试利用直接积分法求出圆柱体内外的电位和电场强度若取圆柱体的表面为零电位的参考面，试利用直接积分法求出圆柱体内外的电位和电场强度0解：解：取定圆柱坐标系，使轴与圆柱体的中心轴线相重合，由电位和电场的对称性可知与和无关圆柱zz 体内外的电位和分别满足12和 01d1 d dd 020d1 d dd 它们的通解可以分别表示式为和  20 111ln4CD 222lnCD由轴线上的电位应为有限值可得而由圆柱体的表面电位为零可得10C 和 20 104aD 22ln0CaD即 和 20 14Da 22lnDCa 于是有 和  220 14a 22lnCa代入圆柱体表面电位的法向导数的边界条件得到，即12 0 r ar arr02 02aC a 2 0 2 02aC  最后得到圆柱体内外的电位分别为和  220 14a2 0 2 0ln2a a 5而圆柱体内外的电场强度分别为和 01 11 0d d2Eee   2 02 22 0d d2aEee   3.133.13 如题如题 3.133.13 图所示，半径为图所示，半径为的无限长导体圆柱，单位长度的带电量为的无限长导体圆柱，单位长度的带电量为。

其其al一半埋于介电常数为一半埋于介电常数为的介质中，一半露在空气中试求各处的电位和电场强的介质中，一半露在空气中试求各处的电位和电场强度解：解：根据题意，空间中电位分布与和无关，均满足一维的拉普拉斯方程，即z21 122 2d1 d0ddd1 d0ddrr介质中空气中将上述两方程分别直接积分两次，得出通解为和 111lnCD 222lnCD 根据不同介质分界面电位的连续性可知和，即12CCC12DDD12lnCD若设无限长导体圆柱上电位为 0，也即，可得，即( )0alnDCa lnCa导体圆柱的面电荷密度为  0SC C。